Теория функций нескольких переменных. Дифференциальное и интегральное исчисление. Учебное пособие

Вариант 27

I. Кратные интегралы

1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок

D

интегрирования, если границы области D: y = x2, y = 7x – 6.

2.Вычислить интеграл:

∫∫(xy + 8)dxdy , ∂D : y = x2+1, y = 0, x = 0, x = 2.

D

3.Найти массу пластинки плотности γ (x, y) =x, ограниченной кривыми

r= a cosϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π2 .

4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями

z = 15 (1 + y ), z = 0, x = 15y, x = 15 y .

5.Вычислить тройной интеграл:

∫∫∫(x 2 + y 2 + z)dxdydz , <: x2 + y2 + z/2 ≤ 1, z ≥ 1.

Ω

6.Найти массу тела Ω плотности ρ , ограниченного данными

поверхностями:

(z - 1)2 = x2 + y2, z = 0 и ρ(x, y, z) = 1- z.

II. Криволинейные интегралы

1.Вычислить криволинейный интеграл II рода ( в декартовых

координатах) ∫ xy5 dx + (2y − x)dy вдоль кривой L: y = 3 x от точки А(-1,-1) до

L

В(8,2).

2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)

плотностью f(x,y) = (x + y)ln(1 + y) . 3x

4.Применяя формулу Грина, вычислить интеграл

(−2,−1)

6.Восстановить функцию по ее дифференциалу du = (y - cosx)dx + (x - siny) dy.

101

Вариант 28

I. Кратные интегралы

1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок

D

интегрирования, если границы области D: xy = 1, y = x , x = 2.

2.Вычислить интеграл:

∫∫(3xy + 8)dxdy , ∂D : y = 2x, y = 3x, x = 4.

D

3.Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями

4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями

5.Вычислить тройной интеграл:

∫∫∫zdxdydz , <:x2 + y2 + z2 ≤ 1, x2 + y2 + (z - 1)2 ≤ 1.

Ω

6.Найти массу тела Ω плотности ρ , ограниченного данными

поверхностями:

x2+y2-z2 = a2, z = 0, z = a и ρ(x, y, z) = 1.

II. Криволинейные интегралы

1.Вычислить криволинейный интеграл II рода ( в декартовых

координатах) ∫ (3y 2 − x)dx + 2xydy вдоль кривой L: y = 1- x от точки А(1,0) до

L

В(2,-1).

2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)

∫ y dx + xdy , L: x = 2t , y = 2t2 , -1 ≤ t ≤ 1.

L x2

3. Найти массу дуги кривой L: y = 4x − x2 , 0 ≤ x ≤ 4 с линейной плотностью f(x,y) = x3y – 3xy 3.

4.Применяя формулу Грина, вычислить интеграл

∫(xy + y + x)dx + (xy + x − y)dy , ABC: A(0,0), B(1,1), C(1,0).

ABC

6.Восстановить функцию по ее дифференциалу

102

Вариант 29

I. Кратные интегралы

1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок

D

интегрирования, если границы области D: x = y, y = -x, y = 2.

2.Вычислить интеграл:

∫∫(5 + x + y)dxdy , ∂D : y = 2x + 6, x = 1, y = -1.

D

3. Найти массу пластинки плотности γ (x, y) =y, ограниченной кривыми

r= a cosϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π2 .

4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями x + z = 3, z = 0, y= 6 3x , y = 3x .

5.Вычислить тройной интеграл:

∫∫∫dxdydz , <: x2 + y2 = 2y, x + y + z ≤ 2, x + y + z ≥ -2.

Ω

6.Найти массу тела Ω плотности ρ , ограниченного данными

поверхностями:

x2 - y2 = az, z = 0, x2 + y2 = a2. и ρ = 1.

II. Криволинейные интегралы

4.Применяя формулу Грина, вычислить интеграл

∫ x2 ydx + x3dy , L: y2 = x, y = x2.

L

103

Вариант 30

I. Кратные интегралы

1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок

D

интегрирования, если границы области D: y = 2 – x 2, y = 2x – 1.

2.Вычислить интеграл:

∫∫(5xy −10)dxdy , ∂D : y = x2, y = 9.

D

3.Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кривой r= a sin 2 ϕ .

4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями z = 3y, z = 0, x + y = 8, y = 4x .

5.Вычислить тройной интеграл:

∫∫∫dxdydz , Ω : x/7 + y/5 + z/3 ≤ 1, x/7 + y/5 - z/3 ≤ 1, x ≥ 0, y≥ 0.

Ω

6.Найти массу тела Ω плотности ρ , ограниченного данными

поверхностями:

L:y = 3x + 2, 0 ≤ x ≤ 2 .

2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)

6.Восстановить функцию по ее дифференциалу

104

Библиографический список

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: –

М.: Наука, 1985. – Т.2.– 560 с.

2.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах/– М.: Высшая школа, 1986. – Ч.2. – 415 с.

3.Гурский Е.Н. и др. Руководство к решению задач по высшей математике // В.2ч. – Мн.: Высшая школа, 1990. – 400 с.

4.Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. – М: Наука,

1965. – 608 с.

5.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М: Изд. технико-теоретической литературы, 1957. – 436 с.

105