Практикум по спецглавам высшей математики (ТФКП, ОИ, ТП). Учебное пособие

Задача 4. Найти уравнения векторных линий поля градиентов скалярного поля

а) u(x, y, z) x33 x( y2 z2 ) ; б) u(x, y, z) zy xz .

Решение.

а) По заданному скалярному полю u построим поле его градиентов

grad u x2 y2 z2 ;2xy;2xz .

Уравнение векторных линий поля a определяется системой дифференциальных уравнений, которая в симметрической форме имеет вид

Одним из способов решения системы в симметрической форме является метод интегрируемых комбинаций, для нахожде-

ния которых часто используют свойства пропорции. Для записан-

ной системы интегрируемой является комбинация 2dyxy 2dzxz , из

которой получим уравнение dyy dzz - это уравнение первого по-

рядка с разделенными переменными. Интегрируя, найдем первый интеграл y C1 z .

82

Далее можно поступить так: подставить найденный первый интеграл в систему, исключить y и получить еще одну инте-

грируемую комбинацию. Другая возможность получения интегрируемой комбинации заключена в использовании свойств пропорций. Умножив все отношения системы на 2 x , получим

Таким образом, получили еще одну интегрируемую комбинацию. Вычисляя квадратуры, найдем интеграл

x2 y2 z2 C2 z .

Итак, уравнения векторных линий поля градиентов задаются как семейство кривых от пересечения следующих поверхностей:

y C1z,

x2 y2 z2 C2 z.

б) По заданному скалярному полю u построим поле его градиентов

дифференциальных уравнений, которая в симметрической форме имеет вид

83

Одним из способов решения системы в симметрической форме является метод интегрируемых комбинаций, для нахожде-

ния которых часто используют свойства пропорции. Для записан-

ной системы интегрируемой является комбинация dxz dyz , из x2

которой получим уравнение x2dx dy - это уравнение первого порядка с разделенными переменными. Интегрируя, найдем пер-

Далее можно поступить так: подставить найденный первый интеграл в систему и получить еще одну интегрируемую комбинацию

Решение. Запишем уравнение плоскости P в отрезках:

84

3x 1y2 1z 1 и изобразим ее на чертеже.

Найдём нормальный вектор n к поверхности (напомним, что его координаты вычисляются как частные производные от функции

Поток векторного поля через поверхность P определяется, например, через поверхностный интеграл первого рода:

ands ,

P

где an a n0 - проекция вектора поля a на нормаль к поверхно-

сти. Одной из формул для вычисления поверхностного интеграла является двойной интеграл по области D , в которую проецируется поверхность P на плоскость XoY , при этом переменная z выражается с помощью уравнения поверхности через x и y .

здесь nz –третья координата вектора нормали n к поверхности P . Итак,

85

ность, ограничивающую тело T в сторону внешней нормали (воспользоваться формулой Остроградского);

86

б) циркуляцию поля вектора a y2 ; x2 ; z вдоль ли-

нии пересечения поверхности Q с плоскостями координат в направлении от точки пересечения Q с осью Ox к точке пересечения Q с осью Oy (воспользоваться формулой Стокса).

Решение.

а) Изобразим (схематично) тело T и линии пересечения поверхности Q с плоскостями координат (речь идет только о части по-

верхности Q , расположенной в первом октанте).

1. Линия пересечения поверхности Q с плоскостью XoY

1 : z 0; (x 3y)2 9 ,

откуда следует, что x 3y 3 – пара параллельных прямых. В первом октанте поверхность Q пересекается с плоскостью z 0 по пря-

пересечение происходит по параболе. Нормаль к поверхности Q

образует острые углы с осями координат (для замкнутой поверхности положительным считается направление нормали изнутри тела наружу). Обозначим замкнутую поверхность, ограничивающую

тело T (т.е. поверхность Q и координатные плоскости) через .

87

Для нахождения потока поля a y2 , x2 , z через замкнутую

поверхность воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского. Приведем формулировку этой теоремы: поток поля a через внешнюю сторону замкнутой поверхности равен интегралу от дивер-

генции поля a , взятому по области, ограниченной поверхностью

:

ands div adv .

Т

Найдем div a , которая в декартовой системе координат вычисляется по формуле

div a axx ayy azz .

Для нашего поля a имеем div a 1 и для потока получимdv , т.е. поток численно равен объему данного тела.

Т

Тройной интеграл распишем как повторный и вычислим

Заметим, что часто в подобных задачах бывает удобнее другой порядок интегрирования. Например, в случае, когда одна из проекций тела на координатные плоскости представляет собой часть окружности или эллипса (пусть это будет проекция Dyz на

плоскость YoZ ), удобнее проинтегрировать так:

лярные или обобщенные полярные (эллиптические) координаты.

88

б) Вычислим циркуляцию поля вектора a y2 , x2 , z

0;0; 2(x y) .

Для вычисления потока вихря можно исходить из поверхностного интеграла первого, либо второго рода. Приведем оба решения.

1. Будем исходить из представления потока вихря в виде поверхностного интеграла первого рода

Ц (rot a) (rot a)n ds .

Q

Этот интеграл, как известно, сводится к двойному:

причем в двойном интеграле z необходимо заменить на z 9 (x 3y)2 ; знак “+” перед двойным интегралом потому, что

89

n образует острый угол с осью Oz , т.к. нормаль к поверхности Q есть

n 2(x 3y);6(x 3y);1 .

Скалярное произведение rot a n 2(x y) . Таким образом, для

циркуляции получим

Ц (rot a) 2(x y)dxdy

(9 12 y 3y2 )dy 9 y 6 y2 y3 10 4 .

0

2. Исходя из выражения для потока через поверхностные интегралы второго рода, имеем

Ц (rot a) (rot a)x dydz (rot a)y dxdz (rot a)z dxdy

Q

2(x y)dxdy.

Q

В этом выражении поверхностный интеграл по Q сводится к двойному по области Dxy :

Ц (rot a) 2(x y)dxdy .

Dxy

Сведем его к повторному, как и в случае 1, но изменим внешнюю переменную интегрирования (изменим порядок интегрирования):

90