Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум по спецглавам высшей математики (ТФКП, ОИ, ТП). Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1010

+ 3.

Ц = a

dr = 1 + 2

i 1

1. Вычислим линейный интеграл 1 по контуру

1 : z 0;

x 3y 3 , от точки (3;0;0) до точки (0;1;0):

y2dx x2dy

zdz

y 1 x / 3

2 dx 1 0 x2dx 4.

dy dx / 3

3 .

2. Вычислим линейный интеграл по контурам

Т.к, в

уравнениях для 2 и 3

присутствуют либо

y 0 ,

либо x 0 , то

y2dx x2dy y2dx x2dy 0 . При этом для контура

2 от

точки (0;0;9) до точки (3;0;0) имеем 2 zdz , а для контура 3

от точки (0;1;0) до точки (0;0;9) будет 3 zdz и, следовательно,

их сумма 2 + 3 обращается в нуль. Таким образом, окончательно, Ц 4 , что совпадает с ранее вычисленным значением с

помощью формулы Стокса.
Итак,	27 / 4,			Ц 4 .
Задача 7. Убедиться в потенциальности поля вектора
a		2x;		1			1
				1		;	1		,
					2	;		2	,
			1 ( y z)		2		1 ( y z)	2
			1 ( y z)				1 ( y z)

найти потенциал u(x, y, z) поля и вычислить работу этого поля

при	перемещении точки	единичной массы от точки
A( 3,	3, 0) до точки B(3,	0, 3) .

Решение.

Для поля a , заданного в односвязной области, критерием потенциальности служит равенство нулю вихря этого поля. Вычис-

лим

rot a

1 ( y z) 2

1 ( y z)2

i y 1 ( y1 z)2 z 1 ( y1 z)2

j x 1 ( y1 z)2 z (2x)

k x 1 ( y1 z)2 y (2x) 0; 0; 0 0 ,

т.е. поле потенциально. Восстановим потенциал поля. Это можно сделать по формуле

z y x

u(x, y, z) az (x0 , y0 , z)dz ay (x 0 , y, z)dy ax (x, y, z)dx

z0 y0 x0

или по одной из аналогичных ей пяти формул, отражающих движение от точки x0 , y0 , z0 к точке x, y, z вдоль отрезков, параллельных осям координат, по той, которая упрощает вычисление

интегралов. По приведенной				выше		формуле	получим
x0 y0 z0 0
z		dz	y	dy		x
u(x, y, z)						2xdx
	1	2		1 ( y z)	2
0		z	0		0

arctg z\|0z arctg( y z)\|0y x2\|0x x2 arctg( y z);
u(x, y, z) x2			arctg( y z) C .

Потенциал поля определяется с точностью до постоянного слагаемого.

В потенциальном поле работа равна приращению потенциала, т.е. разности значений потенциала в двух точках (начальной

и конечной точках пути) и не зависит от формы пути перемещения материальной точки:

A u(B) u(A) u(3,0, 3) u( 3, 3,0)

9 arctg	3 (9 arctg( 3)) 2 3.
u(x, y, z) x2	arctg( y z) C , A 2 3 .

Задача 8. Убедиться в потенциальности поля

		r		x		y		z
a					;		;		,
						r3		r3
	r3		r3

где r x2 y2 z2 , и найти потенциал поля u(x, y, z) .

Решение.

Для поля a , заданного в односвязной области, критерием по-

тенциальности служит равенство нулю вихря (ротора) этого поля. Вычислим

rot a

r 3

x r 3

r 3

3z r

3y r

3x r

3z r

3y r

3x r

; y

;

3zy

3yz

3xz

3zx

3yx

3xy

0 ,

т.е. заданное поле потенциально. Восстановим потенциал поля. Это можно сделать по формуле

u(x, y, z) az (x0 , y0 , z)dz ay (x 0 , y, z)dy ax (x, y, z)dx

или по одной из аналогичных ей пяти формул, отражающих дви-

жение от точки x0 , y0 , z0

к точке

x, y, z

вдоль отрезков, па-

раллельных осям координат, по той, которая упрощает вычисление

интегралов.

По

приведенной

выше

формуле

получим

x0 1, y0 z0 0

zdz

ydy

u(x, y, z)

x2 y2

3/2

x2 y2 z02

3/2

xdx

zdz

ydy

dx2

3/2

x0 x2 y02 z02

2 y2 z2

x2 y2

1 x

z z

y y

z 0

y 0

x2 y2

x2 y2 z2

x2 y2

Итак,

u(x, y, z)

C .

x2 y2 z2

т.к. потенциал поля определяется с точностью до постоянного слагаемого.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1965. 716 с.

2.Гольдфайн И.А. Векторный анализ и теория поля. - М.: Наука, 1968. 129 с.

3.Долгих В.Я. Высшая математика для заочников. Спецглавы математического анализа: Учебное пособие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. 345 с.

4.Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. - М.: Наука, 1974. 542 с.

5.Диткин В.А., Кузнецов П.И. Справочник по операционному ис-

числению. - М.: Л., 1951. 256 с.

6.Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Наука, 1986. 545 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Часть 1. Теория функций комплексного переменного	.......... 3
1.1. Краткие сведения из теории........................................	3
1.2. Примеры решения задач по теории функций	12
комплексного переменного........................................	12
Часть 2. Операционное исчисление........................................	42
2.1. Краткие сведения из теории.......................................	42
2.2. Примеры решения задач по операционному	49
исчислению.................................................................	49
Часть 3. Элементы теория поля...............................................	65
3.1. Краткие сведения из теории.......................................	65
3.2. Примеры решения задач по теории поля..................	74

Cписок рекомендуемой литературы

ПРАКТИКУМ ПО СПЕЦГЛАВАМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ (ТФКП, ОИ, ТП)

Учебное пособие

В авторской редакции

Выпускающий редактор И.П. Брованова Дизайн обложки А.В. Ладыжская

Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)

____________________________________________________________________

Подписано в печать 26.08.2014. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 200 экз.

Уч.-изд. л. 5,58. Печ. л. 6,00. Изд. № 157. Заказ № 971.

Цена договорная

Отпечатано в типографии

Новосибирского государственного технического университета 630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1010

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]