Практикум по спецглавам высшей математики (ТФКП, ОИ, ТП). Учебное пособие

sin 5t cos 2t

1

sin 7t sin 3t

2

1

7

3

5 p

2

105

.

49

p

p

49

p

9

2

p

2

2

9

2

2

б) Оригинал f2(t) также преобразуем в сумму:

sh 3t sh t

e3t

e 3t

et e t

1

e4t e 4t

e2t

e 2t

2

2

2

2

2

1

ch 4t ch 2t .

2

Применим свойство линейности изображений, взяв изобра-

жение гиперболического косинуса из таблицы.

sh 3t sh t 1 ch 4t ch 2t

2

1

p

p

6 p

.

2

2

p

2

16 p

2

2

16

p

4

4

p

а) f (t) e 2t sh t ch 4t,

б) f

2

(t) et cos3t

t

.

1

4

e 2t sh t

1

,

et cos3t

p 1

,

( p 2)2 1

( p 1)2

9

а затем свойство 1 (линейность):

p3 3 p2 3 p 16

e 2t sh t ch 4t

1

p

;

( p 2)2

1

p2

16

[( p 2)2 1][ p2 16]

et cos3t

t

p 1

1

4 p3 3 p2

2 p 10 .

( p 1)2

9

4 p2

4

4 p2[( p 1)2 9]

t

t

f1(t) t9e 4t dt,

f2 (t) t sh2 2tdt.

0

0

Решение. Для оригинала f1(t) имеем последовательно

t9

9!

(из таблицы);

10

p

t9e 4t

9!

(свойство 8, теорема смещения);

( p 4)10

t

9!

t9e 4t dt

(свойство 5, интегрирование ори-

p( p

10

0

4)

гинала).

2t

2t 2

e

4t

4t

1 ch 4t

1 .

sh2 2t e

e

2 e

2

4

2

Имеем последовательно

sh2 2t 1 ch 4t 1

1

p

1

(линейность);

2

2

2

p

16 p

p

p2 16 2 p2

t sh

2

2t

d

1

1

1

1

2

dp

2

p2

16

p

2

2

p2

p

16

24 p2 128

(свойство

4,

дифференцирование

изображе-

( p

2 16) p2

ния);

t

2

24 p2 128

t sh

2tdt

(свойство 5, интегрирование ори-

( p

2

16) p

3

0

гинала).

f (t) t e3t

(t) t e3t ,

1

найдя сначала его изображение. Имеем последовательно:

t

1

(из таблицы);

p2

t e3t

1

(теорема смещения);

( p 3)2

(t 2)e3(t 2) (t 2)

e 2 p

1

(теорема запаз-

( p

3)2

f (t) t4

,

f

2

(t) sin 2t.

1

По теореме изображения свертки (свойство 9 изображений)

получим

t4

4!

,

sin 2t

2

,

p5

p2

4

t

4

4!

2

48

(t )

sin 2 d

.

p

5

p

2

4

p

5

( p

2

4)

0

h1(t) = 1

t

1

t 2 2

(t 2) 1

t

t 2

(t 2) ,

2

2

2

2

h1(t)

1

1

1

e 2 p 1

1

.

p

2

p2

2

p2

Еще раз применяя теорему запаздывания, получим

1

1

1

2 p

f (t)

e p

1

1 e 2 p

e p 2 p 1 e

.

1

p

2

p

2

2

p

2

2 p

2

Можно провести решение несколько подругому. Можно

сначала записать f1(t) как запаздывающий h1(t):

f1(t) = 1

t 1

(t

1) 1

t 1

(t 3) ,

2

2

что получено подстановкой

t – 1 вместо t в выражении для

для применения теоремы запаздывания:

2

2

f (t)

1

t 1

(t 1)

1 t 3

2

(t

3)

1

(t 1) t 1

(t 1)

t 3 (t

3) .

2

2

Применим теперь свойство линейности изображения и тео-

рему запаздывания к каждому из полученных трех слагае-

мых:

1

1 e p

1

1 e 3 p

1

f (t)

e p

=

1

p

2

p2

2

p2

h2(t)

p

e p

p

;

p2 1

p2

1

f2(t) e

p

p

e p

p

e

p

p(1

e

p

)

.

2

2

2

2

2

1

p

1

p

1

p

Заметим, что f2(t) можно записать в виде

(t

f2(t)= cos t

t

3

2 (t 2 ) cos

2

2

).

Задача 7. Найти изображение оригинала

f(t) = 3t2 12t 4 (t 2).

Решение. Оригинал равен нулю при

t < 2. Следователь-

h(t) = 3t2 – 8 3

2

8

1

;

p3

p

6

1

6

8 p

2

f (t) [3(t 2)2

8] (t 2)

e 2 p

8

e 2 p

.

3

p

3

p

p

Задача 8. Найти оригиналы по известным изображениям,

пользуясь свойствами преобразования Лапласа.

а) F(p) =

4

3

;

б) F(p) =

2

p4

( p

1)3

p3 4 p2 5 p

в) F(p) =

3e 6 p

;

г) F(p) =

d

3( p 1)

.

( p 1)3

dp ( p 1)2 25

а) Оригинал получим применением свойства линейности

изображений и теоремы смещения:

4

4

3!

4

t3

2

t3

;

p4

p4

3

3!

3!

3

3

3

3 t2

;

3

e t 3 t2

;

p3

p3

( p 1)3

2

2

2

4

3

2

t3 –

e t 3 t2 .

( p 1)3

3

p4

2

F( p)

2

2

.

p( p2 4 p 5)

p[( p 2)2 9]

2

2

3

2

sh 3t ;

p2 9

p2

32

3

3

2

2

3

e2t 2

sh 3t ;

( p 2)2 9

( p 2)2 32

3

3

2

2

t

e2t

sh 3t dt .

p[( p 2)

2

9]

3

0

Вычислим интеграл.

t

2t

t

2t

e3t e 3t

1 t

5t

1 t

t

e

sh 3t dt e

dt

2

e

dt 2 e

dt .

2

0

0

1

1

1 e t

0

1 .

0

e5t

10

10

Итак, окончательно,

2

2

1 e t .

2

2

1

e5t

3

p[( p 2)

2

9]

3

10

5

2

в) В третьем примере оригинал для

3e 6 p

получается

( p 1)3

ражения

3

, который равен

e t

3 t2 . Таким образом,

( p

1)3

2

3e 6 p

3 e (t 6) (t 6)2 (t 6) .

( p 1)3

2

г) Оригинал для

d

3( p 1)

получим применением

dp ( p 1)2

25

теорем смещения и дифференцирования изображения:

3 p

3

p

3 cos 5t;

p2 25

p2 25

3( p 1)

3 e t cos 5t;

( p 1)2

25

d

3( p 1)

t 3 e t cos 5t .

dp ( p 1)2

25

F(p) =

1

.

p3 4 p2 29 p