Практикум по спецглавам высшей математики (ТФКП, ОИ, ТП). Учебное пособие

УДК 51 (075.8)

ISBN 978-5-7782- 2499-5

Долгих В.Я., Бутырин В.И.,

Недогибченко Г.В., Шварц Э.Б.., 2014

Новосибирский государственный

технический университет, 2014

z x i y ,

(1)

мнимой частями комплексного числа z

(для этого употреб-

ляется также запись

x Re z , y Im z );

i

называется «мни-

мой единицей» i2

1 .

Комплексное

число

z x i y

называется сопряженным

комплексному

числу

z x i y .

z

z

cos arg z i sin arg z .

(2)

Здесь

величина

z

x2 y2 называется

модулем ком-

плексного числа.

Главное значение аргумента комплексного

числа

arg z ;

определяется

из

равенств

cos arg z

x

, sin arg z

y

. Аргумент комплексного чис-

z

z

k

1, 2,... . Применяется также

ла Arg z arg z

2 k,

0,

показательная форма записи комплексного числа

z

z

ei arg z 2

k

z

ei arg z

2 i период функции еz .

z z

2

x iy

x iy

2

x1 x2 i y1 y2 .

1

1

1

2

x x

2

i y y

2

x x

2

2 y y

2

2 .

1

1

1

1

Деление комплексных чисел z1 x1

i y1 ,

z2 x2 i y2 , z2 0 :

z1

x1 i y1

x1 i y1

x2 i y2

z

2

x

i y

2

x

i y

2

x

i y

2

2

2

2

x1x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2

x1x2 y1 y2 i

x2 y1 x1 y2 .

x2

y2

x

2

y2

x2

y2

2

2

2

2

2

2

2. Вычисление корня, возведение в степень, формулы

Эйлера

Возведение в степень. Формула Муавра

zn

z

n cos n i sin n , Arg z .

(4)

w

n z n

z

cos arg z 2k

isin arg z 2k

, (5)

k

n

n

k 0,1,..., n 1. Здесь

z

x2

y2 - модуль комплексного

числа z . Аргумент arg

z комплексного числа z

определяет-

ся из выражений cos(arg z)

x

, sin(arg z)

y

.

z

z

Формулы Эйлера

eiz cos z i sin z,

e iz cos z i sin z,

(6)

cos z eiz e iz ,

sin z eiz e iz .

(7)

2

2i

3. Связь основных элементарных функций ком-

плексного переменного

cosiz ch z;

sin iz ish z;

(8)

ch iz cos z;

sh iz i sin z;

(9)

ez ch z sh z;

e z ch z sh z;

(10)

eiz cos z isin z;

e iz cos z isin z;

(11)

Ln z ln

z

i arg z 2k ;

(12)

, Arccos z i Ln z z2

(13

Arcsin z i Ln iz

1 z2

1

i

Ln 1 iz

i

z i

)

Arctg z

,

Arcctg z

Ln

;

(14)

z i

2

1 iz

2

Arsh z Ln z

z2 1 ,

Arch z Ln z

z2 1 ; (15)

Arth z 1 Ln

1 z

,

Arcth z 1 Ln

1 z

;

(16)

2

1 z

2

z 1

za ea Ln z ;

az ez Ln a

(17)

(a, z комплексные числа).

4. Аналитические функции. Условия Коши-Римана

Определение. Однозначная функция

f z

называется

Теорема.

Для

того

чтобы

функция

f z u x, y iv x, y

была дифференцируемой в точке z ,

необходимо и

достаточно,

чтобы

функции

u u x, y и

v v x, y

были дифференцируемы в этой точке и выполня-

лись условия Коши-Римана

u

v ;

u v .

(18)

x

y

y

x

Для любой аналитической функции f z

f z ux x, y ivx x, y vy x, y iuy x, y

5. Интеграл по кривой и его вычисление

Пусть

однозначная функция

f z u x, y i v x, y

определена и непрерывна в области D ; L - кусочно-гладкая

замкнутая или незамкнутая кривая, лежащая в D . Тогда вы-

f z dz udx vdy i vdx udy

(19)

L

L

L

Для аналитической функции интеграл вычисляется через

первообразную.

6. Теорема Коши и интегральные формулы Коши

Теорема Коши. Если функция

f z - аналитическая в

f z dz 0 ,

(20)

f

k

z dz f z dz .

(21)

L

m 1 m

f z -

Интегральные формулы Коши. Если функция

аналитическая в D ,

z0 D

и

D - контур, охватываю-

щий точку z0 (обходится так,

чтобы ограниченная им об-

ласть оставалась слева), то

f z0

1

f z dz

,

z .

(22)

2 i z z0

При этом функция

f z

имеет всюду в D производные

любого порядка, для которых справедливы формулы

f n z0

n!

f

z dz

.

(23)

2 i z z0

n 1

Формулы (22) и (23) позволяют вычислять некоторые

интегралы.

7. Ряды Лорана

Определение. Рядом Лорана называется ряд

1

сn z a n

cn z a n cn z a n ;

(24)

n

n

n 0

1

z a n

при этом ряд cn

называется главной частью ря-

n

да Лорана, а ряд cn z a n - правильной частью.

n 0

Теорема Лорана. Если функция

f z аналитическая в

кольце r

z a

R

( r 0

и

не

исключается

случай

R ), то

в этом кольце она единственным образом пред-

с

1

f z dz

r R; n 0, 1, 2,... . (25)

n 1

n

2 i

z a

z a

zn

1) ez

, z z ;

n!

n 0

1 n

z2n

2) cos z

,

z z ;

n 0

2n !

z2n 1

3) sin z 1 n

,

z z ;

n 0

2n 1 !

zn

4) ln 1 z 1 n 1

,

z

1;

n 1

n

1

5) 1 z 1 z

z2

...

1!

2!

1 ... n 1

z

n

...,

z

1,

R

n!

z2n 1

1

6) arctg z 1 n

,

z

1

; 7)

1 n zn ,

z

1;

z

n 0

2n 1

1

n 0

1

1 n 1

d n 1

1

.

8)

1 z n

n 1 !

dzn 1

1 z

(26)

8. Вычеты. Применение их к вычислению интегра-

лов

Определение 1. Точка z0

называется

изолированной

особой точкой функции

f z ,

если существует проколотая

окрестность 0

z z0

этой точки, в которой f z

явля-

ется аналитической

.

в изолированной особой точки

z0 (обозначается res f

z0

или res f z ) называется число,

равное коэффициенту

c 1

z0

1

при члене

в разложении функции f z

в ряд Лорана

z z0

в окрестности этой точки. Из формулы (25) имеем

res f z

c

1

f z dz ,

(27)

0

2 i

1

L

где L - простой замкнутый контур, лежащий в области ана-

литичности функции

f z

и содержащий внутри себя толь-

ко одну особую точку z0 .

z z0

В качестве

L удобно брать окружность

до-

статочно малого радиуса , чтобы внутри нее

не содержа-

Вычет f z

в простом полюсе z0

равен

res f z

0

lim

f z z z

.

(28)

z z

0

0

в полюсе z0 порядка m равен

Вычет функции f z

1

m 1

z z z0 m .

res f z0

lim

d

f

(29)

m 1

m 1 ! z z0

dz

Если z0 – существенно особая точка функции f z , то

для определения

res f z0 необходимо найти коэффициент

c 1

в лорановском разложении функции f z в окрестности

точки z0 .

Теорема Коши о вычетах. Если функция f z

анали-

тическая на границе L области D и внутри области, за ис-

n

f z dz 2 i res f zk .

(30)

P x

n

dx 2 i res R ak ,

(31)

Q x

k 1

где a1,a2 ,..., an

- полюсы функции R z , лежащие в верхней

полуплоскости Im z 0 .

Б) Пусть

R sin x,cos x F z , если положить

eix z .

Тогда