Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум по спецглавам высшей математики (ТФКП, ОИ, ТП). Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

б) x		6x		16x 2sh 2t,	x(0) 0,		4.
						x (0)

Решение.

а) Перепишем уравнение в изображениях, вводя обозначение X(p) для изображения функции x(t) и следуя правилу изображения производных (свойство 3 преобразования Лапласа, “дифференцирование оригинала”):

p2 X ( p) 1 14 pX ( p) 49X ( p) p 7 3.

Из полученного алгебраического уравнения найдем изображение решения поставленной задачи Коши.

X ( p)	7	1	.
	( p 3)( p 7)2	( p 7)2

Для возвращения к оригиналу разложим первое слагаемое на элементарные дроби:


	7				A				B			C	.
	( p 3)( p 7)2				p	3			( p 7)2			p 7	.
	( p 3)( p 7)2				p	3			( p 7)2			p 7
Определяя коэффициенты, получим
X ( p)		7	1	3				1			7	1		.
X ( p)			( p 3)	3			( p	7)2		16				.
16			( p 3)	4			( p	7)2		16		( p	7)

Находим оригинал – искомое решение дифференциального уравнения.

x(t) 167 e3t 34 te7t 167 e7t .

б) Перепишем уравнение в изображениях:

p2 X ( p) 4 6 pX ( p) 16X ( p) p24 4 .

Из полученного алгебраического уравнения найдем изображение решения поставленной задачи Коши.

X ( p)		4		4	.
	( p 8)( p 2)( p 2)2			( p 8)( p 2)
Оригинал найдем с помощью вычетов:
	x(t)	n	Res [X ( p)e pt ],

		p p
		k 1	k

в точке p = 2 первое слагаемое имеет полюс второго порядка,

в точках p = –8 и p = –2 – полюса первого порядка.

x(t)

lim

( p 2)( p 2)2

p 8

( p 2)

p 2

( p 8)( p 2)2

lim

4e pt

;

8)( p 2)

( p

p 2

dp ( p

x(t)

e 8t

e 2t

150

( p

10 p 16) 4e

(2 p 10)

4te

;

( p

10 p

16)

te2t

p 2 10

x(t)

e 8t

e 2t

e2t .

150

200

Задача 12. Решить дифференциальные уравнения с за-

данными начальными условиями.

а) x

2sin 3t,

x(0) 0,

x (0) 0 ;

б)

25 x

10cos

x(0) 0,

x (0)

Решение.

а) Запишем уравнение в изображениях:

p2 3 p X ( p) p2 6 9 ;

отсюда

X ( p)

p( p 3)( p2 9)

Все полюса первого порядка. Используем формулу

Re s

( p)

( p0 )

( p)

( p0 )

p p0

( p0 ) 0. Получим

верную в случае ( p0 ) 0,

( p0 ) 0,

x(t) Res [

e pt ]

p( p 3)( p2

k 1 p pk

;

4 p

9 p

18 p 27)

k 1

p pk

					x(t)						6					6e3t								1		e3it									e 3it

											27						54							9			1	i							1		i
											27						54							9			1	i							1		i
				6			6e					3t		1						1 i e							3it		1 i e												3it
				6																1 i e									1 i e

				27						54						9													2
				27						54						9													2
	x(t)			6					6e3t								1	e3it e 3it													i			2				e3it e 3it

				27						54							9							2																	2i
				27						54			e3t				9							2																	2i
								2					e3t							1 cos3t sin 3t .
								2												1 cos3t sin 3t .
										9				9					9
	б) Запишем уравнение в изображениях:
					p2 X ( p)								2						1			X ( p)									10 p										;
					p2 X ( p)								2						25			X ( p)																	1		;
																			25													p2							1
																		10 p																				25
							X ( p)											10 p															2							.
							X ( p)								p2						1				2			p				2				1				.
																									2							2				1
																																				25
																					25															25
Второе слагаемое легко приводится к табличному виду:
						2													1																						1 t .
						2						10							5														10sin
										1		10											1										10sin
					p2					1								p	2				1																		5
					p2			25										p	2			25																			5
Заметим,			что					25														25																	слагаемого вида
Заметим,			что				при					дифференцировании																											слагаемого вида
		получается											выражение																				2 p									,	которое с
	p2 2	получается											выражение																	p2						2 2						,	которое с

точностью до постоянного множителя совпадает с первым слагаемым в X(p). Воспользуемся этим фактом и свойством 4 преобразования Лапласа “дифференцирование изображения”:

									1	2 p					1
		10 p							1	2 p				d	1
		10 p				25			5				25	d	5
				2		25						2	25			1
				2								2
	p	2	1					p	2		1			dp	p2
		2	1						2		1			dp	p2
			25								25					25
			25			t					25					25
25 ( t)sin						t	.
25 ( t)sin							.
					5
Окончательно,

x(t) (25 t 10) sin 5t .

Задача 13. Решить систему дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями.

	y e	2t	,
x x	y e		,
				x(0) 0,	y(0) 0.
y 4x 4 y e t ;				x(0) 0,	y(0) 0.

Решение. Переведем дифференциальные уравнения для оригиналов в алгебраические уравнения для изображений:

									pX ( p) X ( p) Y ( p)															1				,
									pX ( p) X ( p) Y ( p)														p			2		,
																							p			2
																											1
																											1

									pY ( p) 4X ( p) 4Y ( p) p 1.
Запишем систему для изображений в стандартном виде и
решим ее по правилам Крамера.
											( p 1) X ( p)					Y ( p)								1			,
											( p 1) X ( p)					Y ( p)						p		2			,
																						p		2
																								1
												( p) ( p 4)Y ( p)												1
											4X	( p) ( p 4)Y ( p)												p 1.
	p 1					1												1							1				p2 6 p 2	;
																		1
										p2 3 p;							p 2
										p2 3 p;
	4				p 4											1				1							p 4		( p 2)( p 1)
	4				p 4															1									( p 2)( p 1)
																			p 1
																			p 1
		p 1								1					2
										1
2									p		2			p		7 p 2					.
									p		2			p		7 p 2
											1
			4								1		( p 1)( p 2)
Отсюда			4						p 1
									p 1
											p2	6 p 2
											p2	6 p 2
X ( p)				1														,
X ( p)				1				( p 2)( p 1) p p 3										,
								( p 2)( p 1) p p 3
Y ( p)				2							p2	7 p 2						.
Y ( p)				2			( p			2)( p 1) p p 3								.
							( p			2)( p 1) p p 3

Оригиналы (решения системы) найдем с помощью вычетов.

x(t) lim

( p2

6 p 2)e pt

lim

( p2

6 p 2)e pt

( p

1) p( p 3)

( p

2) p( p 3)

p 2

p 1

lim

( p2

6 p 2)e pt

lim

( p2 6 p 2)e pt

( p 2) p( p 1)

p 0 ( p 2)( p 1)( p 3)

p 3

3 et

1 e t

e 3t ;

y(t) lim

( p2 7 p 2)e pt

lim

( p2 7 p 2)e pt

( p

1) p( p 3)

p 1 ( p 2) p( p 3)

p 2

lim

( p2 7 p 2)e pt

lim

( p2 7 p 2)e pt

( p 2)( p 1)( p 3)

( p 2)( p 1) p

p 0

p 3

e t

e2t

14 e 3t 1 .

ЧАСТЬ 3

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

3.1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

1. Основные понятия

Непрерывная дифференцируемая кривая L : r r t

x t i y t j z t k , где t – параметр, t , , в каждой

точке которой r t 0 , называется гладкой.

Кусочно-гладкая кривая есть непрерывная кривая, составлен-

ная из конечного числа гладких кривых.
0			направлен по касатель-

Единичный вектор	r t /	r t

ной к кривой в сторону возрастания параметра t .

	Вектор 0		для гладкой кривой L определяет положительную
ориентацию L				0	определяет отрицательную ориента-
			, вектор
цию L .
	Кривая L : r r t			t ,			называется замкнутой,	если
r r .			Если существуют			значения параметра t		t	2	,
		, такие, что		r t	r t		1
t ,t	2					2	, то соответствующая точка
1				1

кривой – точка самопересечения.

Замкнутая кривая, не имеющая точек самопересечения, назы-

вается контуром.

Поверхность в трехмерном декартовом пространстве можно задать одним из трех способов:

а) явное задание z f x, y , где	f x, y	- непрерывная функция,
x, y D ;
б) параметрическое задание x x u,v ,		y y u,v , z z u,v ,

u,v D1 ;

в) векторное задание r r u,v x u,v i y u,v j z u,v k ,

u,v D1

Любая непрерывная на поверхности единичная нормаль n0

называется ориентацией этой поверхности. Поверхность с фиксированной ориентацией называется ориентированной.

Поверхность , на которой выбрана единичная нормаль

n0 ( n0 ), обозначается ( ).

Поверхность называется гладкой, если существует непрерывная нормаль n0 n0 0 в каждой точке поверхности.

Кусочно-гладкая поверхность состоит из конечного числа гладких поверхностей.

Плоская область D называется правильной в направлении оси Oy (направлении оси Ox ), если любая прямая, проходящая через

внутреннюю точку D параллельно Oy (параллельноOx ) пересе-

кает		границу L области D ровно		в		двух	точках, при	этом
			1	2
D		x, y	a x b, y x y x y		x
			1	2
	D	x, y	c y d, x y x y x			y	.
	Ориентация контура L , ограничивающего область D , назы-
вается положительной (отрицательной) и обозначается L								L ,

если при обходе контура L , соответствующего возрастанию параметра, область D остается слева (справа).

Замкнутая трехмерная область T , ограниченная поверхностью

, называется правильной в направлении оси Oz ( Ox , Oy ), если

любая прямая, проходящая через внутреннюю точку T параллельно Oz ( Ox , Oy ) пересекает границу ровно в двух точках.

Область T называется правильной, если ее можно разбить на конечное число областей, правильных в направлении осей Oz , Ox , Oy одновременно.

Трехмерная область (тело) T называется односвязной, если любая замкнутая поверхность в ней ограничивает область, целиком лежащую в ней. В противном случае область называется мно-

госвязной.

Примеры односвязных областей: шар, параллелепипед и т.д. Пример многосвязной области: область между двумя концен-

трическими сферами.

Трехмерная область T называется поверхностно-односвязной, если на любой контур L , лежащий в T , можно натянуть поверхность , также целиком лежащую в области T .

Примеры поверхностно-односвязных областей: шар, параллелепипед, все пространство, область между двумя концентрическими сферами и т.д.

Пример поверхностно-неодносвязной области: тор.

Пусть ориентированная поверхность, огранниченная одним или несколькими контурами Ориентацию (направление нормали n к поверхности ) согласуем с направлением обхода L сле-

дующим образом: направление обхода контура L будем считать

положительным (согласованным с ориентацией ) при котором движение по контуру происходит против часовой стрелки относительно наблюдателя, находящегося в конечной точке нормали и при этом область, ограниченная L , остается слева. Противоположное направление обхода считаем отрицательным.

2. Скалярное поле

Определение. Скалярное поле определяется скалярной функцией точки u u M u x, y, z u r , где M x, y, z - точка

пространства, r x, y, z - ее радиус - вектор.

Поверхности уровня u x, y, z C, (С- const). Линии уровня плоского скалярного поля

		u x, y C,					C - const.
Оператор Гамильтона (линейный дифференциальный опера-
тор (набла)):			i			j			k .
		x			y			z

Градиент. Градиент скалярного поля – вектор
grad u	u			u			u
	x		i	y		j	z		k , gradu u .

Свойства градиента grad c 0, c const ,

grad cu c grad u, c const, grad uv vgrad u u grad v,

grad u v grad u grad v,

grad u v grad u u grad v , v v2

grad f u f u grad u ,

grad

r /

Производная скалярного поля u по направлению

l cos ;cos ;cos ,

где cos ,cos ,cos - направляющие косинусы вектора l .

x cos

y cos

z cos ,

grad u l

grad u

cos grad u,l .

grad u

, если l имеет направление grad u .

max

3. Векторное поле

Определение. Векторное поле определяется векторной функ-

цией точки

F F M F r P x, y, z i Q x, y, z j R x, y, z k

где

M x, y, z

- точка пространства; r x, y, z - ее радиус-

вектор.

Векторная линия (силовая линия, линия тока) поля F это кри-

вая, у которой касательный вектор 0 в каждой точке направлен вдоль заданного вектора поля этой точке. Уравнение векторной линии получается из решения системы

	dx	dy			dz .
	P		Q				R
Дивергенция (расходимость) векторного поля
	P		Q				R
div F	x		y				z	F .
	x		y				z
Свойства дивергенции				div r 3 ,
div c 0, c const ,				div r 3 ,
div F1 F2 div F1 div F2 ,					div cF c div F,				c const ,
div uF u div F F gradu ,						div uc c gradu, c const .

Ротор (вихрь) векторного поля

rot F

или в символическом виде

rot F , F

Свойства ротора

rot c

c const , rot r

0 , rot F1 F2 rot F1

rot F2

rot uF u rot F grad u, F , div F1, F2 F2 rot F1 F1 rot F2 .

Поток векторного поля F M через поверхность в сторо-

ну,	определяемую				единичным	вектором	нормали
n0	cos ;cos ;cos ,
			0	ds Fnds P cos		Q cos R cos ds
	П F	n		ds Fnds P cos		Q cos R cos ds

				Pdydz Qdxdz Rdxdy ,

где F -величина проекции вектора F на направление вектора n0 .
n
Связь дивергенции с потоком векторного поля F :
					0	ds
div F M0				F	n	ds
		lim					,
		lim	0		V		,
		M	0		V
		V 0
где V - объем области T ,	ds - дифференциал площади ( M0
означает, что поверхность стягивается в точку).								z f x, y
Если поверхность		задана уравнением						z f x, y

x, y D , поток через верхнюю сторону поверхности можно вычислить по формуле

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]