Практикум по спецглавам высшей математики (ТФКП, ОИ, ТП). Учебное пособие

f x, y

P x, y, f x, y

П

x

D

f x, y

Q x, y, f

x, y R x, y, f x, y dxdy

y

Если уравнение поверхности есть r r u,v , u,v G ,

то

r

,

r

П F x u,v , y u,v , z u,v

v

dudv .

G

u

Линейный интеграл от вектора F по линии L

Fdr Fl dl Pdx Qdy Rdz ,

L

L

L

где Fl - проекция вектора

F на касательную к линии выражает

работу векторного поля F вдоль линии L .

Пр

n

lim

1

rot F

rot F

F

dr ,

n

L Mo s

s o

L

x

Q

z

P cos Q cos R cos ds

y

P

R

dxdydz

T

Теорема. Пусть T - поверхностно-односвязная область, L - ку-

сочно-гладкий контур в T и - кусочно-гладкая поверхность,

натянутая на контур L , лежащая в области T . Пусть в T задано

векторное поле F F

M такое, что F M и rot F M не-

прерывны в области T . Тогда циркуляция поля F по контуру L

равна потоку rot F через поверхность

, т.е.

0

ds ,

F dr

rot F

n

L

i

j

k

rot F

,

n0d

dydz, dxdz, dxdy ,

x

y

z

P

Q

R

формула Стокса примет вид

Q

Pdx Qdy Rdz

R

y

z

dydz

L

P

R

Q

P

z

x

dzdx

x

dxdy .

y

i

j

k

P

Q

rot F

k ,

x

y

z

x

y

P

Q

0

имеет место формула Грина

Q

P

Pdx Qdy

x

y

L

dxdy

D

4. Потенциальные и соленоидальные поля

Векторное поле

F M

-

называется потенциальным в обла-

сти T , если существует такая скалярная

функция u M , что

F

grad u в каждой точке области.

Функция u называется по-

тенциалом векторного поля F . Поле F

P,Q, R потенциально

в поверхностно односвязной области тогда и только тогда, когда

rot F 0 или

Q

Q

R

,

P

R

,

P

.

y

z

z

x

x

y

Потенциал в этом случае можно найти по формуле

u x, y, z

x

y

x

P x, y0 , z0 dx Q x, y, z0 dy R x, y, z dz C .

x0

y0

x0

Потенциальное поле – наиболее прстое векторное поле, т.к.

определяется одной функцией

u M ,

в то время как произволь-

Равносильные утверждения для потенциального поля

F

P,Q, R :

1. Pdx Qdy Rdz du - полный дифференциал скалярной

функции u M ;

Оператор Лапласа

2

2

2

2

.

x2

y2

z2

Операции второго порядка

rot grad u , u 0 , div rot F

0 ,

, F

divgrad u u 2u u ,

2

2

Q

2

R

grad div F

F

P

i

x

2

x y

x z

2

P

2

Q

2

R

2

P

2

Q

2

j

R

k ,

2

x y

y

y z

x z

y z

z

2

rot rot F ,

, F

F F grad div F F

где F Pi Qj Rk .

,

3.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПО ТЕОРИИ ПОЛЯ

Задача 1.

u x2 y3

z4

а) Найти

производную

функции

в точке

M0 (1;1;1)

по направлению вектора n : 1;1;1 .

б) Найти производную функции u z

xy y

5 x2 в точке

M0 (1;1;0)

по направлению вектора n : 2;2; 1 .

в) Найти

производную

функции

u x2 y3

z4

в точке

M0 (1;1;1)

по направлению внешней нормали n к поверхности ,

заданной уравнением x2 y2

z2

3 или

x, y, z x2 y2 z2 3 0 .

г)

Найти

производную

функции

u x, y, z ln 1 x2

y2

x2 z2

в

точке M0 (3;0; 4) по

направлению внешней нормали

n

к поверхности

,

заданной

Направляющие косинусы равны

ny

nx

2

2

nz

1

cos

3

,

cos

3

, cos

3

.

n

n

n

Найдем частные

производные скалярного поля в точке M0 :

u

z

y

1

y

2x

0

1

1

1

2 1

1

,

x

M0

u

2 x

2 5 x2

M0

2 1

2 5 12

2

z

x

1

5 x2

0 2 2,

y

M

0

2 y

M0

u

xy

1 .

z

M0

M0

Производная функции (скалярного поля) u в точке M0 по

направлению вектора n равна

u

u

u

u

n

M0

x

M0

cos y

M0 cos z

M0

cos

1

2

2

1

1

4

1

4

2

3

2 3

1 3

3

3

3

3 .

n0

в) Производная функции (скалярного поля)

u по направлению

cos ,cos ,cos ,

где

cos , cos , cos -

направляющие

косинусы вектора n0 , определяется формулой

u

u

u

u