Глава 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМЫ ЖИДКОЙ КАПЛИ, ЛЕЖАЩЕЙ НА ТВЁРДОЙ ПОДЛОЖКЕ

Форма и размеры капли, лежащей на подложке, зависят от краевого угла смачивания, поверхностного натяжения, наклона подложки, фиксации (пиннинга или депиннинга) линии контакта капли с подложкой и пр. Геометрия капель, поверхности жидкости в капиллярах и порах тела, менисков и плёнок представляет большой практический и общенаучный интерес не только для процессов сушки, но для всех гетерофазных процессов в природе, технике и экспериментальных исследованиях (например, процессов смачивания, растекания, адсорбции, экстрагирования, осаждения, коагуляции, флотации, пропитки, нанесения покрытий, в электрохимических процессах, в полярографии, в топливных элементах, в почвенных и геофизических процессах и пр., вплоть до растительных и животных организмов). Исследованиями в этой области занимались крупнейшие ученые, начиная с Юнга и Лапласа и включая Ландау, Дерягина, Левича, Лыкова и др. [9 – 20, 23, 24]. Эти исследования продолжаются и в настоящее время.

В процессе сушки размеры и форма капли изменяются. Для экспериментального изучения мы использовали метод обрисовки формы сидячей на поверхности подложки капли. Капля жидкости дозировалась на фторопластовую (или другую) подложку и производилась макросъёмка капли с оптическим двенадцатикратным увеличением. Затем форма капли анализировалась в графическом редакторе на компьютере с измерением её высоты и угла смачивания. Пиннинг капли обеспечивался острым углом края диска.

Смачиваемость сильно зависит от чистоты жидкости и поверхности, от наличия ПАВ и часто является весьма нестабильной. Поэтому в обычных, не строго контролируемых условиях, надёжных данных по углам смачивания быть не может. В зависимости от свойств жидкости и подложки замеренные углы смачивания послеспиртовой барды и фторопласта меняются от 45 до 90°. Для воды и фторопласта угол смачивания составляет около 103°. Это соответствует немногочисленным имеющимся литературным данным [13, 25].

Изучение формы капель и слоёв жидкости на разных подложках широко проводилось в работах под руководством В. И. Коновалова на кафедре ПАХТ ТГТУ (ТИХМа) и ВНИИРТмаша. Были выполнены большие циклы работ по пропитке, промазке и сушке кордных материалов и по шприцеванию, усадке и охлаждению резиновых загото-

34

вок [26 – 33]. Проекцию капли, края слоя или мениска на резине, ткани, шнуре или волокне фотографировали, в том числе под микроскопом, и затем производили необходимые измерения и расчёты.

Слой жидкости на полубесконечной пластине

Характерным и наиболее надёжным для измерения и анализа является слой жидкости на полубесконечной горизонтальной пластине (см. рис. 11). В. И. Коноваловым [28, 29] были выведены уравнения геометрии такого слоя, а также рассмотрены случаи конечной пластины, наклонной пластины, течения жидкости по пластине, слива с края пластины и гидравлического прыжка при подаче струи жидкости на пластину. Дадим на базе этих работ необходимые расчётные зависимости для наших случаев.

a)

б)

Рис. 11. Слой жидкости на полубесконечной пластине:

а – угол смачивания меньше 90°; б – угол смачивания больше 90°

35

Постановка задачи:

марное общее давление в любом сечении x ≥ 0 равно одному статическому в бесконечно удалённом сечении

36

Приведём вывод решения для поставленной задачи.

Из уранения (61) с учётом (62), (63) можно получить выражение

Перейдём от F к δ (знаки у корня выбираем по физическому смыслу):

C2 −C1 = C .

Подставляем в уравнение (70) ГУ (63) δ′(∞)=0 ; δ(∞)=δm ; С = – 1:

37

Используя ГУ (63) δ′(0)= tg(θ); δ(0)= 0 , получаем максимальную толщину лежащего слоя большой ширины в виде

Уравнение (71), описывающее профиль слоя, относительно δ не решается.

Однако его удаётся проинтегрировать относительно х(δ). С учётом

Если θ ≤ 90° (для случая смачивания, см. рис. 12, a), то при изменении ординаты – толщины слоя от 0 до δ его абсцисса монотонно изменяется от 0 до x. Соответственно решением (76) будет

δ(x )

x = + ∫ B dδ. (77)

0 1− B

Если жидкость не смачивает поверхность подложки и θ > 90° (см. рис. 12, б), то при возрастании δ абсцисса сначала изменяется в отрицательную сторону, что даёт

38

Здесь x1 < 0.

В диапазоне х > x1 , δ > δ1 профиль рассчитывается по получаемой из выражения (76) для этого случая зависимости

Интегралы в этих уравнениях в элементарных или специальных функциях не берутся, поэтому расчёты ведутся численными методами.

Слой жидкости на конечной пластине

Для практических целей наиболее важным является знание профиля слоя жидкости на конечной горизонтальной пластине

Рассмотрим слой жидкости, нанесённый на горизонтальную подложку шириной 2b (рис. 12). Профиль цилиндрического слоя здесь симметричен относительно полуширины. Он будет совпадать также с профилем капли, лежащей на диске радиусом R = b.

Искривлённый слой жидкости здесь стремится изогнуть пластину аналогично надутому пузырю. Общее давление на подложке неизвестно. Ясно только, что оно постоянно в слое, так как иначе в нём должно было бы быть самопроизвольное течение жидкости. Запишем давление в слое в виде ρgC1.

39

В этом случае найти в явном виде δm и δ1 (при θ > 90°) не удаётся. Используя тот же порядок решения, что и выше, получаем:

Величину С1 здесь необходимо находить итерациями из уравнения

Далее профиль слоя или капли рассчитывается по тем же зависимостям (77), (80), (81) с подстановкой вместо B соотношения B1 (88).

Расчёт числа Бонда

Иногда для оценки влияния массовых сил (в том числе сил тяжести) на искривление свободной поверхности используют число Бонда Bo (в Европе – число Этвеша Eo) [2], например, в виде

Bo = ρghr0 . 2σsin θ

При существенном влиянии массовых сил Bo ≥ 1, и искривление сферической поверхности значительно. При лимитирующем влиянии поверхностных сил, наоборот, Bo << 1 и искривлением сферической поверхности можно пренебречь. Для наших случаев достаточно крупных капель обычно Bo ≥ 1, и пренебрежение искривлением поверхности может дать существенные ошибки, что и показано ниже прямыми расчётами.

41

Для исследуемых подложек

r0 = b = 0,004 м;

g= 9,8;

δm = h ≈ 0,0015...0,0025

(из расчётов для капли на конечной пластине);

θ≈50...80°;

δm (50) =1,5 мм;

δm (80) = 2,5 мм;

ρ=1012 кг/м3;

σ= 0,055;

Bo (θ = 50)= 0,706;

Bo (θ =80)= 0,91.

Таким образом, отклонениями от формы сегмента сферы в расчётах пренебрегать нельзя.

Объём капли и площадь её поверхности

В расчётах задач тепломассопереноса необходимо кроме профиля капли знать объём капли и площадь наружной поверхности капли. Эти формулы могут быть получены для капли как для тела вращения с использованием вышеприведённых зависимостей для профиля капли. Получим их.

1. Для θ ≤ 90° при профиле капли δ(х) имеем:

– площадь профиля Sо

0

– периметр, смоченный каплей

Pк = πdкап = 2πb ;

42

– объём капли

2. Для θ >90°при профиле капли δ(х) получаем:

– площадь профиля Sо

Результаты расчёта профиля капли жидкой послеспиртовой барды, нанесенной на ограниченный диск, и сравнение профиля с профилем сегмента шара представлены на рис. 13 – 19. Приведены профили капли жидкой зерновой послеспиртовой барды на фторопластовом диске при разных возможных углах смачивания θ = 45, 70 и 90°. Видно увеличение высоты и объёма капли при увеличении краевого угла.

43

δ, мм

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

х, мм

Рис. 14. Сравнение профиля капли и сегмента шара аналогичных размеров.

Сплошная линия – профиль сегмента шара, пунктирная – профиль капли. Угол смачивания 45°, радиус подложки 4 мм

δ, мм

2

1.5

1

0.5

0

х, мм

Рис. 15. Профили капли жидкой послеспиртовой барды, нанесённой на горизонтальную фторопластовую подложку.

Угол смачивания 70°, радиус подложки 4 мм

45

Максимальная толщина капли (dm) dm = 2,017 мм.

Объём капли (Vk)

Vk = 6,321 10–8 м3.

Площадь поверхности капли (Sk)

Sk = 1,022 10–4 м2.

Объём сегмента шара аналогичных размеров

Vш = 5,582 10–8 м3;

Vk / Vш = 1,225.

Площадь поверхности сегмента шара

Sш = 6,38 10–5 м2;

Sk / Sш = 1,6.

δ, мм

2

1.5

1

0.5

х, мм

Рис. 16. Сравнение профиля капли и сегмента шара аналогичных размеров.

Сплошная линия – профиль сегмента шара, пунктирная – профиль капли.

Угол смачивания 70°, радиус подложки 4 мм

46

δ, мм

2.5

2

1.5

1

0.5

0

х, мм

Рис. 17. Профили капли жидкой послеспиртовой барды, нанесённой на горизонтальную фторопластовую подложку.

Угол смачивания 90°, радиус подложки 4 мм

Максимальная толщина капли (dm) dm = 2,596 мм.

Объём капли (Vk)

Vk = 9,032 10–8 м3.

Площадь поверхности капли (Sk)

Sk = 1,323 10–4 м2.

Объём сегмента шара аналогичных размеров

Vш = 7,63 10–8 м3.

Vk / Vш = 1,277.

Площадь поверхности сегмента шара

Sш = 7,289 10–5 м2;

Sk / Sш = 1,815.

47

δ, мм

2.5

2

1.5

1

0.5

0

Рис. 18. Сравнение профиля капли и сегмента шара аналогичных размеров.

Сплошная линия – профиль сегмента шара, пунктирная – профиль капли (оси инвертированы).

Угол смачивания 90°, радиус подложки 4 мм

δ, мм

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

а)

Рис. 19. Профили капли воды, нанесённой на горизонтальную фторопластовую подложку – диск (а).

Профиль капли воды у края горизонтальной фторопластовой подложки. Угол смачивания 103°, радиус подложки 4 мм (б)

48

δ, мм

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

б)

Рис. 19. Окончание

Максимальная толщина капли (dm) dm = 3,164 мм.

Толщина нависания (dx)

dx = 0,384 мм.

Объём капли (Vk)

Vk = 1,169 10–7 м3.

Площадь поверхности капли (Sk)

Sk = 1,6 10–4 м2.

Объём сегмента шара аналогичных размеров

Vш = 9,742 10–8 м3;

Vk / Vш = 1,2.

Площадь поверхности сегмента шара

Sш = 8,254 10–5 м2; Sk / Sш = 1,942.

49

δ, мм

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

х, мм

Рис. 20. Сравнение профилякаплиисегменташарааналогичныхразмеров.

Сплошная линия – профиль сегмента шара, пунктирная – профиль капли (оси инвертированы).

Угол смачивания 103°, радиус подложки 4 мм

Как следует из проведенных расчётов, разница в объёме капли и сегмента шара от 9,5 до 18%, а разница в площади поверхности составляет от 16 до 85%.

Таким образом, для смачивающих и не смачивающих поверхность твёрдой горизонтальной подложки жидкостей недопустимо принимать форму капли по форме сегмента шара.

На рисунке 21 представлено сравнение рассчитанного и экспериментального профиля капли жидкой послеспиртовой барды, нанесённой на фторопластовый диск. Видно, что совпадение полное, в пределах погрешности измерения угла смачивания и поверхностного натяжения.

d, м

x, м

Рис. 21. Сравнение расчётного и экспериментального профиля капли жидкой послеспиртовой барды, нанесённой на фторопластовый диск.

Сплошная линия – расчёт, пунктир – экспериментальный профиль. Угол смачивания 70°, радиус подложки 4 мм

50