Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы решения задач теплообмена. Учебное пособие.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

825 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Для получения аналитического решения задач теплопроводности (диффузии) в слоистых телах различной формы используем метод разделения переменных или метод Фурье.

Для простоты изложения метода Фурье вначале рассматривается решение задачи теплопроводности в однослойной одномерной бесконечной пластине без внутренних тепловых источников. Для удобства объяснения и записи решения температурное поле и поле концентраций обозначается как поле произвольного потенциала переноса P(x, τ).

Также будут рассмотрены подходы к приближённому решению нелинейных и взаимосвязанных задач переноса интервальными методами.

Рассматриваются решения безградиентных задач переноса для тонких тел в двух основных вариантах:

–при известной температурно-влажностной зависимости (ТВЗ) T(u) – аналитическим интегрированием с последующим вычислением квадратуры численными методами, например, методом Симпсона;

–при известной аппроксимации скорости убыли массы N(u) – непосредственно численным интегрированием получаемого обыкновенного дифференциального уравнения, например, методом РунгеКутта.

Рассмотрим постановку задачи теплопроводности/диффузии (переноса) для случая тел канонической формы.

1.1. ОДНОСЛОЙНАЯ НЕОГРАНИЧЕННАЯ ПЛАСТИНА

Схема несимметричной задачи теплопроводности для однослойной бесконечной пластины представлена на рис. 1.

Примем обозначения, общие для теплопереноса (теплопроводности) и массопереноса (диффузии).

Рис. 1. Схема несимметричной задачи теплопроводности для однослойной бесконечной пластины

Для теплопроводности:

P ≡ T; a ≡ λ/(cρ); h1≡ α1/λ; h2 ≡ α2/λ;

E1 ≡ q1 = α1(T(0, τ) – Tc1); E2 ≡ q2 = α2(T(1, τ) – Tc2).

Для диффузии:

P ≡ С; a ≡ D; h1 ≡ β1/D; h2 ≡ β2/D;

E1 ≡ m1 = β1(C(0, τ) – Cc1); E2 ≡ m2 = β2(C(1, τ) – Cc2).

Постановка задачи переноса в однослойной бесконечной пластине с несимметричными граничными условиями третьего рода (ГУ-3) и функционально заданными начальными условиями будет иметь вид:

∂P(x, τ)

= a

∂2 P(x, τ)

a =

;

(1)

∂τ

∂x2

cρ

∂P(0,τ) −h

(P(0,τ) − P

)

= 0 ;

(2)

∂x

∂P(l,τ) −h

(P(l,τ) − P

)

= 0 ,

h =

αi

;

(3)

∂x

P(x,0) = ψ(x) .

(4)

Решение задачи (1 – 4), полученное методом Фурье, имеет вид:


	P(x, τ)= V(x, τ) + W(x);							(5)
где		W(x) = C1x + C2 ,						(6)
где		С1 = h1(C2 – Pc1);
		С1 = h1(C2 – Pc1);
C2	=	h2 Pc 2 + h1Pc1 + h2h1lPc1					;
C2	=						;
		h2 + h1 + h2 h1l
∞			h1
V (x,τ) = ∑An cosμn x +			h1		sin μn x	exp(−μn2 aτ) ,		(7)
V (x,τ) = ∑An cosμn x +					sin μn x	exp(−μn2 aτ) ,		(7)
n=1			μ	n
				n

где μn (здесь μn – имеет размерность м–1) – n (n = 1, 2, 3, ..., ∞) положительных корней характеристического уравнения вида

2 −h h

ctgμnl =

1 2

;

(8)

)

∫

θ(x) cos

μn x

sin μn x dx ;

(9)

Nn 0

μn

где θ(x) = ψ(x) – W(x);

h2l

Nn =

−

sin 2μnl +

sin

μnl +

(10)

4μ3

2μ

4μ

Таким образом, уравнения (5 – 10) определяют решение задачи (1 – 4). В частном случае начальные условия задаются в виде безградиентных начальных условий, т.е. ψ(x) = Po = сonst и тогда (9) берется аналитически. Аналитическое решение также получается для начальных условий, заданных функционально, т.е. конкретной функцией, в том числе в виде ряда.

Приведём пример аналитического решения для интервального по времени метода для задачи переноса в однослойной пластине с изменяющимися кусочно-ступенчато (линейными на каждом временном шаге) переносными свойствами и размерами с несимметричными ГУ-3 рода и функционально заданными начальными условиями (НУ).

1. Для первого временного интервала при безградиентных НУ

∞	h1
P(x,τ) =W (x) +∑An cosμn x +	h1		sin μn x	exp(−μn2 aτ)	(11)
P(x,τ) =W (x) +∑An cosμn x +			sin μn x	exp(−μn2 aτ)	(11)
n=1	μ	n
		n

значения величин, входящих в (11), определяются из (5 – 10).

2. Для последующих временных интервалов при функционально заданных НУ (индекс bz – начало, ez – конец интервала)

∞	h1bz
Pbz (x,τ) =W (x) +∑Ak cosμk x +	h1bz		sin μk x	exp(−μk2 abz τ) ; (12)
Pbz (x,τ) =W (x) +∑Ak cosμk x +			sin μk x	exp(−μk2 abz τ) ; (12)
k =1	μ	k
		k

где Ak , μk – в начале интервала есть известные из предыдущего интервала численные значения членов ряда и корней характеристического уравнения.

Тогда

∞

h1ez

Pez (x,τ) =W (x) +∑An cosμn x +

sin μn x

exp(−μn2 aez τ) =W (x) +

n=1

∞

h1ez

+∑

∫θ(x) cosμn x+

sin μn x dx cosμn x+

sin μn x exp(−μnaezτ).

μn

n=1

Nn 0

(13)

Таким

образом,

учётом

ψ(x) = Pbz(x, τ)

и,

следовательно,

θ(x)=Pbz(x, τ) – W(x), получаем:

∞ l

∞

h1bz

Pez (x,τ) =W (x) +

∑∫ ∑Ak cosμk x +

sin μk x exp(−μk abzτ) ×

n n=1 0

k=1

h1ez

exp(−μn2 aez τ) . (14)

× cosμn x +

sin μn x dx × cosμn x +

sin μn x

Значения μn, An определяются из (5 – 10), значения Ak, μk уже известны из начала интервала. Значения aez, abz, hez, hbz определяются по кусочно-ступенчатым аппроксимациям для переносных свойств в зависимости от величины Р.

Рациональная величина временного интервала τ устанавливается при отработке счёта, исходя из величин изменения свойств внешних характеристик и геометрии тела.

Рассчитывается также необходимое среднее значение потенциала переноса:

∫Pbz (x,τ)dx

P	bz (τ) =	0		.	(15)

			l

Таким образом, возможно получение аналитических решений для любого числа последовательных временных интервалов без лавинообразного увеличения его громоздкости и без каких-либо рекурсивных функций или рекуррентных соотношений.

При изменении тепломассопереносных характеристик, граничных условий, толщины материала и пр. можно выбирать достаточно малые временные интервалы, чтобы на каждом интервале решать линейные задачи при кусочно-ступенчатом задании переменных характеристик в целом, с начальными условиями i-й зоны, равными начальным услови-

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]