Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы решения задач теплообмена. Учебное пособие.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

825 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

− J

= N

−

α a2

(39)

Таким образом, уравнения (35 – 39) определяют решение задачи переноса в двухслойном цилиндре.

1.4. ДВУХСЛОЙНЫЙ ШАР

Пример решения задачи теплопроводности (диффузии) в двухслойном шаре с несимметричными ГУ-3 и функционально заданными начальными условиями. Схема двухслойного шара представлена на рис. 4.

Постановка задачи:

∂P

(r,τ)

∂2P

(r,τ)

∂P (r,τ)

= a

, a =

;

∂τ

∂

∂r

c ρ

∂P1(0,τ)

= 0 ;

∂r

∂P2 (R2 ,τ)

−h (P (R ,τ) − P )= 0 , h =

;

∂r

λ2

P1(R1,τ) = P2 (R1,τ) ;

∂P1(R1,τ)

= λ

∂P2 (R1,τ)

;

∂r

Pi (r,0) = ψi (x) ,

i = 1, 2.

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

Рис. 4. Схема двухслойного шара

Решение задачи (40 – 45), полученное методом Фурье, имеет вид:

∞

μnr

Pi (r,τ) = Pc +∑Ain

sin

+ϕin

exp(−μnτ),

(46)

n=1

где

ϕ1n = nπ;

(47)

ϕ2n = arcctg(arg)−

μn R1

;

(48)

arg =

ctg

+ϕ

+λ

−λ

;

(49)

2 1

μn R2

μn

−h tg

+ϕ

(50)

Система (47 – 50) позволяет определить n последовательных зна-

чений ϕin, μn:

A2n = A1n M n ;

(51)

sin

+ϕ

M n

;

(52)

sin

+ϕ

μ r

∫θ1(r) r

sin

+ϕ1n dr+ a

∫θ2(r) r sin

+ϕ2n dr

A1n =

;

(53)

μ r

∫sin

+ϕ1n dr+ a

+ϕ2n

θi (x) = ψi (x) − Pc .

(54)

Уравнения (46 – 54) определяют решение задачи теплопроводности (диффузии) в двухслойном шаре с несимметричными ГУ-3 и функционально заданными начальными условиями.

1.5. ОГРАНИЧЕННЫЙ ЦИЛИНДР z

Для решения задачи теплопроводности в			D
ограниченном цилиндре примем следующие
допущения.	L	λ	α
1. В начальный момент времени цилиндр	L	λ
имеет постоянную температуру Т0.		с	Тс
		ρ	Тс
		ρ
2. Коэффициент теплоотдачи к боковой и			r
торцевой поверхности одинаков и равен α.			r
торцевой поверхности одинаков и равен α.
Графически задача представлена на рис. 5.
Уравнение теплопроводности:

		∂T (r, z,τ)			=
				∂τ					Рис. 5. Схема
	∂2T (r, z,τ)		1 ∂T (r, z,τ)				∂2T (r, z,τ)		Рис. 5. Схема
	∂2T (r, z,τ)		1 ∂T (r, z,τ)				∂2T (r, z,τ)		ограниченного
		+				+			цилиндра
= a	∂r 2	+	r	∂r		+	∂z2	.	цилиндра
	∂r 2		r	∂r			∂z2

Начальное условие: T (r, z,0)=T0 . Граничные условия 3 рода:

−λ ∂T (R, z,τ)+α[Tс −T (R, z,τ)]= 0 ; ∂r

−λ ∂T (r, L,τ)+α[Tс −T (r, L,τ)]= 0 . ∂z

Условия симметричности в центре цилиндра:

∂T (r,0,τ) = 0;

∂z

∂T (0, z, τ) = 0.

∂r

Решение, полученное методом разделения переменных [13]:

T −T (r, z,τ)	∞ ∞						μn1
с	= ∑∑An1 Am2 J0						μn1
с
Tс −T0	n=1 m=1
		μ2			μ2
	×exp −	n1		+	m2
	×exp −	R	2	+	l	2		a
		R			l


r
	cos	μm2
	cos	μm2
R

τ .

z × l

Значения Аn1 определяются по формуле

An1	=		2 Bi1		;
		J0	(μn1 )[μn21 +Bi12	]

где μn1 – n (n = 1, 2, …, ∞) положительных корней характеристического уравнения вида

J0 (μn1 ) = μn1 . J1 (μn1 ) Bi1

Значения Аm2 определяются по формуле:

A	= (−1)m+1	2 Bi2 Bi22 +μm2 2	,

m2		μm2 (Bi22 +Bi2 +μm2 2 )

где μm2 – m (m = 1, 2, …, ∞) положительных корней характеристического уравнения вида

	μ2	−Bi2
ctgμm2 =	m2		.

	2 Bi μm2

1.6. ОГРАНИЧЕННАЯ ПЛАСТИНА

Для решения задачи теплопроводности в ограниченной пластине примем следующие допущения:

1.В начальный момент времени пластина имеет постоянную температуру Т0.

2.Коэффициент теплоотдачи к боковой и торцевой поверхности одинаков и равен α.

Графически задача представлена на рис. 6. Постановка задачи:

∂T (х, y, z,τ) = a 2T (х, y, z,τ).

∂τ

Начальное условие:

T (х, y, z,0)=T0 = const;

а= 2R1; b = 2R2; c = 2R3;

x[− R1 , R1 ];

y[− R2 , R2 ];

z[− R3 , R3 ].

z				TC
			α
	α			с
				с

				α
		a		b
				x

Рис. 6. Схема ограниченной пластины

Граничные условия 3 рода:

−λ ∂T (R1, y, z,τ)+α[Tс −T (R1, y, z,τ)]= 0; ∂x

λ∂T (−R1, y, z,τ)+α[Tс −T (− R1, y, z,τ)]= 0; ∂x

−λ ∂T (x,R2 , z,τ)+α[Tс −T (x, R2 , z,τ)]= 0; ∂y

λ∂T (x, − R2 , z,τ)+α[Tс −T (x, − R2 , z,τ)]= 0; ∂y

−λ ∂T (x, y,R3 ,τ)+α[Tс −T (x, y,R3 ,τ)]= 0; ∂z

λ∂T (x, y,−R3 ,τ)+α[Tс −T (x, y,−R3 ,τ)]= 0. ∂z

Решение задачи, полученное методом разделения переменных [13], имеет вид:

T (x, y, z,τ) −T0

∞

=1−∑∑∑;

Тс −Т0

n=1 m=1k =1

cos

cos μ

cos

n1 R

k 3

μ2

×exp −

n1 +

k 3

τ.

Значения Аn1 определяются по формуле:

An1 =

2sin μn1

μn1 +sin μn1 cosμn1

где μn1 – n (n = 1, 2, …, ∞) положительных корней характеристического уравнения вида

ctgμn1 = λμn1 . aR1

Значения Аm2 определяются по формуле

Am2	=	2sin	μm2	,
		μm2 +sinμm2 cosμm2

где μm2 – m (m = 1, 2, …, ∞) положительных корней характеристического уравнения вида

ctgμm2 = λμm2 . a R2

Значения Аk3 определяются по формуле:

Ak 3	=	2sin	μk 3	,
		μk 3 +sinμk 3 cosμk 3

где μk3 – k (k = 1, 2, …, ∞) положительных корней характеристического уравнения вида

ctgμk 3 = λμk 3 . a R3

Глава 2. ВНЕШНЯЯ ТЕПЛООТДАЧА

ВРАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ

2.1.НАГРЕВ/ОХЛАЖДЕНИЕ ОДИНОЧНОГО ТЕЛА

ВПОПЕРЕЧНОМ ПОТОКЕ

Внешняя тепло- и массоотдача по механизму поверхностного испарения описывается критериальными уравнениями традиционного вида Nuα (Re, Pr) или Nuβ (Re, Sc).

Нестационарная теплоотдача к сухому нагреваемому (или охлаждаемому) материалу описывается уравнениями такого же вида Nuсух = f(Re, Pr). Рекомендуемые уравнения для расчёта коэффициентов тепло и массоотдачи при нагреве/охлаждении одиночного тела в

поперечном потоке имеют вид:

Nuсух = 1,8Re0,5Pr0,333;

Nuα = 12,0Re0,33Pr0,333,

Nuβ = 4,95Re0,37Sc0,333.

Здесь определяющий размер:

d = 4(Fкан – Fобр) / (Пкан + Побр).

Определяющая температура – среднеарифметическая температура погранслоя.

2.2.НАГРЕВ/ОХЛАЖДЕНИЕ ОДИНОЧНОГО ТЕЛА

ВКИПЯЩЕМ СЛОЕ

По экспериментальным данным, полученным в [2], была построена зависимость lg(Nu/Pr0,33) = f (lg(Re)), представленная на рис. 7.

Для получения вида критериального уравнения важным вопросом является выбор определяющего размера. В случае кипящего слоя отдельных частиц имеем фактически случай омывания подвижной частицы в потоке среды. Для частицы в потоке имеем:

dэкв = F / Пср.

Для ограниченного цилиндра (диаметром d и высотой l) имеем:

F = 2πd2 + πd l, П = (π d + 2(d + l)) / 2; dэкв = 2 (2πd2 + πdl) / (πd + 2(d + l)).

Lg(Nu/Pr1,6	0.33)
1,55
1,5
1,45
1,4
1,35					Lg(Re)2,55
2,3	2,35	2,4	2,45	2,5	Lg(Re)2,55	2,6	2,65	2,7	2,75	2,8

Рис. 7. Зависимость lg(Nu/Pr0,33) = f (lg(Re))

Приближённо можно считать

dэкв = (d + l) / 2.

Для параллелепипеда (с длинами сторон b, h, l)

F = 2bh + 2bl + 2lh, П = (2 (h + b) + 2 (b + l) + 2 (h + l)).

Приближённо можно считать : dэкв = (b + h + l) / 3.

Исходя из данных рис. 7, вид критериальной зависимости будет следующий:

Nu = 4,35Re0,35 Pr0,33.

На рисунках 8, 9 представлены кривые нагрева отдельной частицы в кипящем слое инертных тел и в свободном потоке воздуха в одинаковых условиях.

В критериальном уравнении для омывания неподвижной (неориентированной) частицы в потоке среды принимаем в качестве определяющего размера:

–для цилиндра dэкв – диаметр цилиндра;

–для куба dэкв = (b + h + l)/3 = a, т.е. длину грани.

Полученные численные значения коэффициентов теплоотдачи α представлены в табл. 1.

160о	С
Т,	С
140
								140 оС
120
100
								100 оС
80
60
						60 оС
40
20
0					Время80 , с
	0	20	40	60	Время80 , с	100	120	140	160	180
Рис. 8. Сравнение кривых нагрева отдельной частицы в кипящем слое
и в свободном потоке при разной температуре. Частица – фторопластовый
		кубик. Скорость 2,5 м/с. Сплошная линия – частица в кипящем слое,
			пунктирная линия – частица в свободном потоке

160о	С
Т,	С
140
							140 оС
120
100
80							100 оС
80
60
40					60 оС
40
20
0
	0	20	40	60	80	100	120	140	160
					Время, с
Рис. 9. Сравнение кривых нагрева отдельной частицы в кипящем слое
и в свободном потоке при разной температуре. Частица – алюминиевый
цилиндр. Скорость 2,5 м/с. Сплошная линия – частица в кипящем слое, пунк-
			тирная линия – частица в свободном потоке

1. Численные значения коэффициентов теплоотдачи α

Определяющий	Скорость, м/с	Температура, °С		Коэффициент
размер, мм	Скорость, м/с	Температура, °С		теплоотдачи, Вт/(м К)

3	2,5	60	301

3	2,5	80	303

3	2,5	100	306

3	2,5	120	310

3	2,5	140	313

4	2,5	60	249

4	2,5	80	251

4	2,5	100	254

4	2,5	120	257

4	2,5	140	259

3	3,7	60	338

3	3,7	80	341

3	3,7	100	345

3	3,7	120	348

3	3,7	140	352

4	3,7	60	280

4	3,7	80	283

4	3,7	100	286

4	3,7	120	289

4	3,7	140	292

Как видно из табл. 1, для нагрева отдельной частицы в кипящем слое инертных тел характерны весьма высокие значения коэффициентов теплоотдачи (200…350 Вт/(м2 К)) даже при относительно небольших значениях скоростей обдува 2…4 м/с. Эти значения практически на порядок превышают значения коэффициентов теплоотдачи в свободном потоке воздуха.

120о
Т, С
100
						100 оС
80
					80 оС
60
				60 оС
40
20
0				Время, с
0	10	20	30	Время, с	50	60	70	80
0	10	20	30	40	50	60	70	80
Рис. 10. Сравнение расчётных и экспериментальных данных по нагреву
одиночной частицы в кипящем слое. Частица – фторопластовый куб.
	Температура – 60, 80, 100 °С. Скорость воздуха – 2,5 м/с.
		Точки – эксперимент, линии – расчёт

Некоторые результаты расчётов кинетики нагрева фторопластового куба и сравнения с экспериментальными данными для некоторых режимов представлены на рис. 10. В задаче для ограниченной пластины расчёт производится в центре пластины в точке (0 мм, 0 мм, 0 мм).

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]