Основы математического моделирования. Учебное пособие

• x3- количество деталей второго типа, обработанных по 3-му технологическому способу;

• x4 - количество деталей второго типа, обработанных по 4-му технологическому способу.

Составим математическую модель задачи.

max : f (x) = 11x1 + 6x2 + 9x3 + 6x4

2x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 203x1 + x2 + x3 + 2x4 ≤ 37x2 + x3 + 4x4 ≤ 30

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0.

Приведем ее к каноническому виду, т. е. ограничения неравенства заменяем на ограничения равенства:

max : f (x) =11x1 + 6x2 + 9x3 + 6x4

2x1 + 2x2 + 3x3 + x5 = 203x1 + x2 + x3 + 2x4 + x6 = 37x2 + x3 + 4x4 + x7 = 30

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0 x5 ≥ 0, x6 ≥ 0, x7 ≥ 0.

Решение ЗЛП разбивается на два этапа:

•на первом этапе находится начальный опорный план или убеждаются в том, что такого плана не существует;

•на втором этапе производиться последовательное улучшение плана (базиса).

В нашей системе уравнений (m = 3 ) базисные переменные легко определяются. Это - x5, x6, x7 , которые

выражаются через x1, x2, x3, x4 . Для перехода ко 2-му этапу 61

решения задачи, необходимо систему уравнений записать в таком виде:

x5 = 20 − (2x1 + 2x2 + 3x3 )x6 = 37 − (3x1 + x2 + x3 + 2x4 )x7 = 30 − (x2 + x3 + 4x4 ).

решение называется базисным - (0, 0, 0, 0, 20, 37, 30).

После этого переходим ко второму этапу решения задачи. Рассмотрим симплекс-метод. После заполнения исходной симплекс-таблицы (табл. 8.) начинается подготовка к заполнению второй таблицы. Для этого используется алгоритм симплекс-метода.

Таблица 8

Исходная симплекс-таблица

1) проверка базисного решения на оптимальность. Просматриваем знаки коэффициентов функции f (последняя строка таблицы, кроме коэффициентов при свободном члене и базисных переменных). Наличие отрицательных

62

коэффициентов, говорит о том, что исходное решение еще не оптимально.

2)проверяем задачу на наличие решения. Так как под всеми отрицательными коэффициентами целевой функции нет ни одного столбца с неположительными числами, это значит, что задача имеет решение.

3)выбираем из небазисных переменных ту, которая способна при введении ее в базис увеличить значения целевой

функции: max{c j }, c j < 0 . j n

4) определяем, какая из базисных переменных должна будет выведена из базиса. Для этого определяем минимальное частное от деления соответствующих свободных членов и положительных коэффициентов. - это переменная x5 . Эту

строку отметим 5) вводимую в базис переменную Х1 выражаем через

переменную x5 , выводимую из базиса и небазисные переменные x2, x3, x4 . Для этого составляем новую симплекстаблицу (табл. 9.). В ней базис выражается переменными x1, x6, x7 . Делим строку табл. 9‚ отмеченную, на разрешающий элемент.

Таблица 9

Преобразование симплекс-таблицы

4.РЕШЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

СПОМОЩЬЮ ТЕОРИИ ГРАФОВ

4.1.Теоретико-множественное определение графов

Теория графов обладает широким разнообразием возможностей ее применения в различных областях знаний.

В частности, она является эффективным аппаратом формализации задач экономической и плановопроизводственной практики. В последнее время теория графов нашла важные применения в автоматизации управления производством, в календарном и сетевом планировании, при оптимизации размещения производства, в теории массового обслуживания, при наиболее компактной записи и обработке экономической информации и др. Основным объектом этой теории является граф.

Формально граф G определяется заданием двух множеств X и U и обозначается G={X,U}. Элементы

пары связанных между собой элементов множества X. Их изображают отрезкамиOкривых, O , … , илиO . прямых линий. Обозначать их будем буквами @ Взаимное расположение, формы и длины упомянутых отрезков значения не имеют. Важно лишь, что они соединяют две данные вершины

петлей. На графе могут существовать дуги (ребра) с одинаковыми концевыми вершинами. Будем называть такие дуги (ребра) параллельными.

65

Говорят, что дуга (ребро) инцидентна своим концевым вершинам, и обратно.

Если в графе G все элементы множества U изображаются дугами, то граф называется ориентированным (орграфом). Иногда рассматривают смешанные графы, состоящие из дуг и ребер. Геометрическое изображение графа

Рис. 4. Общий вид графа

Примерами графов могут служить схемы железных или шоссейных дорог, схемы связи поставщиков и потребителей, структурные формулы молекул и т.д. В приложениях обычно используются графы, в которых множества X и U состоят из конечного числа элементов. Такие графы называют конечными.

Иногда бывает удобно дать графу другое определение. Можно считать, что множество направленных дуг U,

соединяющих элементы множества X, отображает это множество само в себя.

Таким образом, граф G есть пара (X,Г), состоящая из множества X и отображения Г, заданного на этом множестве G={X,Г}.

66

Дуга, соединяющая вершины a и b и направление от a к b, обозначается u=(a,b).

Рис. 5. Орграф, имеющий гамильтонов путь

]= O Путем, … , O в орграфе G называется последовательность дуг

- , в которой конец каждой предыдущей дуги

совпадает с началом последующей.

Путь, проходящий через вершины и притом только по

одному разу, называется эйлеровым.

KНа !рисK. . 6 представлен орграф с эйлеровым путем

67

Рис. 6. Орграф, имеющий эйлеровый путь

быть бесконечным или конечным. В случае бесконечного пути полагаем l(µ)=∞.

Путь, в котором никакая дуга не встречается дважды,

все его вершины различны за исключением начальной и конечной, которые совпадают. , На рис. 6. можно выделить, например,. контур K

а так же гамильтонов контур K ! "

Иногда граф рассматривают без учета ориентации его дуг. В этом случае его называют неориентированным графом. Для неориентированного графа понятия дуга, путь, контур заменяются понятием ребро, цепь, цикл.

Ребро – это отрезок, соединяющий две вершины. Цепью называется последовательность ребер.

Циклом называется конечная цепь, у которой начальная и конечная вершины совпадают.

Говорят, что граф связан, если любые две его вершины можно соединить цепью.

Граф сильно связан, если для любых двух вершин x и y (х≠у) существует пути, идущий их х в у.

68

Деревом называется конечный связанный неориентированный граф, не имеющий циклов. Начальная вершина называется корнем дерева (рис. 7).

Рис. 7. Неориентированный граф – дерево

Дерево можно построить, последовательно добавляя ребра в его вершинах. Простейшее дерево состоит из двух вершин, соединенных ребром. Каждый раз, когда мы добавляем еще одно ребро в конце его прибавляется так же и вершина. Следовательно, дерево с n вершинами имеет n-1 ребро.

Несвязанный граф, представляющий объединение деревьев, называется лесом.

4.2. Матричный способ задания графов

До сих пор мы изображали графы рисунками. При большем числе вершин и дуг(ребер) рисунок графа теряет наглядность. В таких случаях для задания графов и работы с ними используются матрицы. Особенно удобно использовать матричный эквивалент графа при его исследовании на ЭВМ.

Дадим два определения.

1. Две вершины х и у являются смежными, если они различны и если существует дуга, идущая из х в у.

69

Пример для неориентированного графа тот же, только на месте -1 будут находиться 1.

Строки матрицы инцидентности называют векторами инциденции.

Как для орграфов, так и неориентированных графов можно определить матрицу смежности вершин.

70