Основы математического моделирования. Учебное пособие
.pdfгипотез и теорий, составляющих базу данных сегодняшней науки.
Научное моделирование – это всегда логически обоснованное моделирование, использующее минимальное число предположений, принятых в качестве гипотез на основании наблюдений за объектом моделирования.
Главное отличие научного моделирования от интуитивного заключается не только в умении выполнять необходимые операции и действия по собственно моделированию, но и в знании «внутренних» механизмов, которые используются при этом. Можно сказать, что научное моделирование знает не только, как необходимо моделировать, но и почему так нужно делать.
Знаковым называется моделирование, использующее в качестве моделей знаковые изображения какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, иероглифы, наборы символов, включающее также совокупность законов и правил, по которым можно оперировать с выбранными знаковыми образованиями и элементами.
Моделирование с помощью математических соотношений является примером знакового моделирования.
1.3. Когнитивные, концептуальные и формальные модели
При наблюдении за объектом-оригиналом в голове исследователя формируется некий мысленный образ объекта, его идеальная модель, которую принято называть когнитивной (мысленной, способствующей познанию) моделью. Представление когнитивной модели на естественном языке называется содержательной моделью.
По функциональному признаку содержательные модели подразделяются на описательные, объяснительные и прогностические. Описательной моделью можно назвать любое описание объекта. Объяснительная модель позволяет ответить на вопрос, почему что-либо происходит.
11
Прогностическая модель должна описывать будущее поведение объекта. Заметим, что прогностическая модель не обязана включать в себя объяснительную.
Концептуальной моделью называется содержательная модель, при формулировки которой используются понятия и представления предметных областей знания, занимающихся изучением объекта моделирования.
Формальная модель является представлением концептуальной модели с помощью одного или нескольких формальных языков (например, языков математических теорий или алгоритмических языков).
В гуманитарных науках процесс моделирования во многих случаях заканчивается созданием концептуальной модели объекта. В естественнонаучных дисциплинах, как правило, удается построить формальную модель.
2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Математическое моделирование – это идеальное научное знаковое формальное моделирование, при котором описание объекта осуществляется на языке математики, а исследование модели проводится с использованием тех или иных математических методов.
Математи́ческая моде́ль — математическое представление реальности, один из вариантов модели как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системе. Математическая модель, в частности, предназначена предсказать поведение реального объекта, но всегда представляет собой ту или иную степень его идеализации.
Математи́ческим моделированием называют как саму деятельность, так и совокупность принятых приёмов и техник построения и изучения математических моделей.
Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути, занимаются математическим
12
моделированием: заменяют объект исследования его математической моделью и затем изучают последнюю. С помощью математических методов описывается, как правило, идеальный объект или процесс, построенный на этапе содержательного моделирования. Связь математической модели с реальностью осуществляется с помощью цепочки эмпирических законов, гипотез, идеализаций и упрощений.
В настоящее время математическое моделирование это один из самых результативных и наиболее часто применяемых методов научного исследования. Фактически все современные разделы физики посвящены построению и исследованию математических моделей различных физических объектов и явлений.
Так, физики-«ядерщики» до проведения экспериментов выполняют серьезные исследования с применением математических моделей. При этом на основании теоретического моделирования разрабатывается и уточняется методика натурных экспериментов, выясняется, какие эффекты, где и когда следует ожидать, когда и что регистрировать. Такой подход позволяет значительно снизить затраты на проведение эксперимента, повысить его эффективность.
Как правило значительные успехи в биологии и химии в последнее время были связаны с разработкой и исследованием математических моделей для биологических систем и химических процессов. Идут активные работы по созданию математических моделей в экологии, экономике и социологии. Нельзя переоценить использование математических моделей в медицине и промышленности. Появилась возможность на научной, то есть логически обоснованной основе подходить ко многим экологическим и медицинским проблемам: имплантации и замене различных органов, прогнозирование развития эпидемий, обоснования планов ликвидации последствий крупных аварий и катастроф. Очень часто методы
13
математического моделирования являются единственно возможными.
По сравнению с натурным моделированием математическое моделирование имеет следующие преимущества:
1)экономичность (в частности, сбережение ресурсов реальной системы);
2)возможность моделирования гипотетических, то есть не реализуемых в природе объектов (прежде всего на разных этапах проектирования);
3)возможность реализации режимов опасных или трудновоспроизводимых в натуре (критический режим ядерного реактора, работа системы противоракетной обороны);
4)возможность изменения масштабов времени; простота многоаспектного анализа;
5)возможность выявления общих закономерностей (вследствие большой прогностической силы);
6)универсальность технического и программного обеспечения проводимой работы (ЭВМ, системы программирования и пакеты прикладных программ широкого назначения).
Очень часто методы математического моделирования являются единственно возможными. Приведем два примера.
Всестороннее математическое моделирование и «проигрывание» различных вариантов на ЭВМ позволило в кратчайшие сроки обоснованно спланировать и преступить к реализации плана ликвидации последствий Чернобыльской катастрофы.
Уникальные результаты были получены по проекту «Гея», связанному с математическим моделированием последствий ядерной войны. Было показано, что в результате сильного запыления атмосферы возможно значительное глобальное похолодание («ядерная зима») и связанное с этим практическое вымирание всего живого.
14
История и методология математического моделирования убеждает: оно может и должно стать интеллектуальным ядром информационных технологий, всего процесса информатизации общества.
Метод математического моделирования, представляющий собой количественное описание изучаемых явлений на языке математики, широко применяется для исследования всевозможных явлений природы и общественной жизни.
2.1. Классификации математических моделей
По отношению ко времени различают статические и динамические модели. Первые инвариантны ко времени, а вторые являются функцией времени.
По характеру зависимости выходных параметров от входных модели делятся па детерминированные и стохастические. Если существуют функциональные зависимости выходных параметров от входных, то модели являются детерминированными, если эти зависимости неизвестны, а известно лишь математическое описание выходов в виде функции входов, модели называются стохастическими.
По характеру времени динамические модели делятся
на непрерывные и дискретные. Первые функционируют в непрерывном времени, а вторые — в дискретном. Примером непрерывных детерминированных моделей могут служить дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения; примером дискретных детерминированных моделей — конечные автоматы, дискретных стохастических
— вероятностные автоматы.
Математические модели на микроуровне
производственного процесса отражают физические процессы,
15
протекающие, например, при резании металлов. Они описывают процессы на уровне перехода (прохода).
Математические модели на макроуровне
производственного процесса описывают технологические процессы.
Математические модели на метауровне
производственного процесса описывают технологические системы (участки, цехи, предприятие в целом).
Структурные математические модели предназначены для отображения структурных свойств объектов. Например, в САПР ТП для представления структуры технологического процесса, расцеховки изделий используется структурно — логические модели.
Функциональные математические модели предназначены для отображения информационных, физических, временных процессов, протекающих в работающем оборудовании, в ходе выполнения технологических процессов и т.д.
Аналитические математические модели
представляют собой явные математические выражения выходных параметров как функций от параметров входных и внутренних. Это, например, выражения для сил резания.
Наиболее существенная характеристика аналитических моделей заключается в том, что модель не является структурно подобной объекту моделирования. Под структурным подобием здесь понимается однозначное соответствие элементов и связей модели элементам связям моделируемого объекта.
Аналитическая модель может быть исследована следующим методами:
• аналитическим, когда стремятся получить в общем виде зависимости для искомых характеристик;
16
•численными, когда стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных;
•качественными, когда имея решения в явном виде можно найти некоторые свойства решения (оценить устойчивость решения).
Каналитическим относятся модели, построенные на основе аппарата математического программирования, корреляционного, регрессионного анализа.
Аналитическая модель всегда представляет собой конструкцию, которую можно проанализировать и решить математическими средствами. Так, если используется аппарат математического программирования, то модель состоит в основе своей из целевой функции и системы ограничений на переменные. Целевая функция, как правило, выражает ту характеристику объекта (системы), которую требуется вычислить или оптимизировать. В частности, это может быть производительность технологической системы. Переменные выражают технические характеристики объекта (системы), в том числе варьируемые, ограничения − их допустимые предельные значения.
Аналитические модели являются эффективным инструментом для решения задач оптимизации процессов, протекающих в технологических системах, а также оптимизации и вычисления характеристик самих технологических систем.
Важным моментом является размерность конкретной аналитической модели. Часто для реальных технологических систем (автоматических линий, гибких производственных систем) размерность их аналитических моделей столь велика, что получение оптимального решения оказывается весьма сложным с вычислительной точки зрения. Для повышения вычислительной эффективности в этом случае используют
17
различные приемы. Один из них связан с разбиением задачи большой размерности на подзадачи меньшей размерности так, чтобы автономные решения подзадач в определенной последовательности давали решение основной задачи. При этом возникают проблемы организации взаимодействия подзадач, которые не всегда оказываются простыми. Другой прием предполагает уменьшение точности вычислений, за счет чего удается сократить время решения задачи.
Алгоритмические математические модели выражают связи между выходными параметрами и параметрами входными и внутренними в виде алгоритма.
Имитационные математические модели - это алгоритмические модели, отражающие развитие процесса (поведение исследуемого объекта) во времени при задании внешних воздействий на процесс (объект). Например, это модели систем массового обслуживания, заданные в алгоритмической форме.
При имитационном моделировании процесс функционирования исследуемого объекта воспроизводится на ЭВМ в отсутствие аналитических зависимостей между входными, выходными параметрами и параметрами состояния системы. По результатам имитационного моделирования на ЭВМ можно прогнозировать поведение исследуемой системы.
Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики системы, многочисленные случайные воздействия и другие.
Когда же результаты, полученные при воспроизведении на имитационной модели процесса функционирования системы, являются реализациями случайных величин и функций, то для нахождения характеристик процесса требуется его многократное воспроизведение с последующей
18
статической обработкой информации. В этом случае в качестве метода машинной реализации имитационной модели следует использовать метод статического моделирования (метод Монте - Карло).
Работа с имитационной моделью заключается в
проведении имитационного эксперимента. Процесс, протекающий в модели в ходе эксперимента, подобен процессу в реальном объекте. Поэтому исследование объекта на его имитационной модели сводится к изучению характеристик процесса, протекающего в ходе эксперимента.
Ценным качеством имитации является возможность управлять масштабом времени. Динамический процесс в имитационной модели протекает в так называемом системном времени. Системное время имитирует реальное время. При этом пересчет системного времени в модели можно выполнять двумя способами. Первый способ заключается в «движении» по времени с некоторым постоянным шагом. Второй способ заключается в «движении» по времени от события к событию, при этом считается, что в промежутках времени между событиями в модели изменений не происходит.
Теоретические математические модели создаются в результате исследования объектов (процессов) на теоретическом уровне. Например, существуют выражения для сил резания, полученные на основе обобщения физических законов. Но они не приемлемы для практического использования, т.к. очень громоздки и не совсем адаптированы к реальным процессам обработки материалов.
Эмпирические математические модели создаются в результате проведения экспериментов (изучения внешних проявлений свойств объекта с помощью измерения его параметров на входе и выходе) и обработки их результатов методами математической статистики.
19
Детерминированные математические модели
описывают поведение объекта с позиций полной определенности в настоящем и будущем. Примеры таких моделей: формулы физических законов, технологические процессы обработки деталей и т.д.
Вероятностные математические модели учитывают влияние случайных факторов на поведение объекта, т.е. оценивают его будущее с позиций вероятности тех или иных событий. Примеры таких моделей: описание ожидаемых длин очередей в системах массового обслуживания, ожидаемых объемов выпуска сверхплановой продукции производственным участком, точности размеров в партии деталей с учетом явления рассеяния и т.д.
2.2. Жёсткие и мягкие модели
Академик А. А. Андронов выделял три вида неустойчивости моделей, связанных с внесением малых изменений в систему:
1)неустойчивость к изменению начального условия (нарушение условия устойчивости Ляпунова);
2)неустойчивость к малым изменением параметров, которые не приводят к изменению числа степеней свободы системы;
3)неустойчивость к малым изменением параметров, которые влекут изменение числа степеней свободы системы.
Системы, в которых наблюдается неустойчивость к малым изменением параметров с изменением числа степеней свободы системы, было принято обозначать как «негрубые». Позднее их стали обозначать как «жёсткие» модели.
20