Основы математического моделирования. Учебное пособие

3.2. Постановка задачи линейного программирования

Общая задача линейного программирования

В этой задаче ограничения задаются частично в виде неравенств, остальные в виде равенств. Требуется максимизировать (минимизировать) функцию, которая называется целевой:

=

на множестве, задаваемом системой ограничений:

≤ , = 1,2 … , ,

действительные числа. Весьма существенно, что целевая функция и левые, , …части, . ограничений линейны относительно переменных

Стандартная задача линейного программирования. В этой задаче все ограничения задаются в виде неравенств. Требуется найти экстремум функции.

Набор чисел x = (x1, x2,..., xn ), удовлетворяющий ограничениям, называется планом задачи ЛП. План Х задачи с неотрицательными компонентами называется допустимым.

План X * = (x1*, x2*,..., xn* ) , доставляющий экстремум целевой функции, называется оптимальным.

31

Если все функции в ограничениях линейны, то задача называется линейной, а раздел математического программирования будет называться линейным программированием. Его методы широко применяются на промышленных предприятиях:

•при оптимизации производственной программы; распределении ее по цехам; по участкам; по временным интервалам;

•при ассортиментной загрузке оборудования;

•в задачах текущего и перспективного технологического планирования;

•при планировании грузопотоков;

•при определении плана товарооборота и его распределении;

•при составлении оптимальных смесей;

•раскройно-транспортных и производственно транспортных задач.

3.3. Некоторые модели задач линейного программирования

Задача о распределении производственной программы (о размещении заказов или загрузке взаимозаменяемых групп оборудования)

Речь идет о задаче распределении заказов между m предприятиями (цехами, станками,

исполнителями) c различными производственными и технологическими характеристиками по взаимозаменяемым, в смысле выполнения заказов. Требуется составить такой план размещения заказов (загрузки оборудования), при котором задание было бы выполнено, а показатель эффективности

изготовить n (i=1,…,n) видов продукции. План выпуска 32

каждого вида на определенный период задан набором x j ,

_____

j = 1,...,n . Мощность каждого вида оборудования ограничена и равна 6; Известна технологическая матрица A = ai. j , где a j - число единиц продукции j, выпускаемой в единицу времени на i-м оборудовании. Пусть ci, j - затраты, связанные с выпуском j-ой продукции на i-м оборудовании; xi, j -

неизвестная величина: объем выпуска j-й продукции на i-м оборудовании. Модель задачи примет вид: целевая функция — минимизация расходов на реализацию всех заказов

m n

min : z = ∑∑cij xij

i=1 j=1

при ограничениях

• на ресурсы оборудования

j=1

•на выпуск продукции

i=1

•условие неотрицательности

xij ≥ 0

33

Такую задачу иногда называют распределительной. Если по некоторым видам продукции допускается превышение плана, то ограничение примет вид

По продукции, заказы на которую принимаются по кооперации, для полной загрузки оборудования, ограничения можно записать так:

Для продукции, выпуск которой должен соответствовать плану, ограничения таковы:

i=1

Вкачестве целевой функции можно принять:

• максимум прибыли

m n

∑∑(a j − cij )xij , i=1 j=1

где a j - отпускная цена j-ои продукции;

34

• минимум затрат станочного времени

производственной программы в случае выпуска комплектной продукции имеет вид (х - число комплектов, a j - число единиц

j-ой продукции, входящей в комплект):

max z = x

при ограничениях:

• на ресурсы оборудования

j=1

•на комплектность продукции

i=1

•условие неотрицательности: xij ≥ 0

35

Задача загрузки невзаимозаменяемых групп оборудования

Пусть имеется m (i = 1,...,m ) групп оборудования, на котором нужно выпускать n ( j = 1,...,n ) видов продукции.

Предполагается, что группы оборудования различны. В пределах данной технологии одна и та же продукция на другом оборудовании не производится, т.е. оборудование взаимнозаменяется лишь при замене технологического способа производства. Пусть k ( k = 1,..., K ) - номер

технологического способа. Обозначим через aijk норму затрат

времени на обработку единицы j-ой продукции на i-ом оборудовании по некоторому k-му технологическому способу. Пусть bi - общий полезный фонд времени работы i -ой группы

оборудования. Неизвестная величина задачи x jk - объем

продукции j-го вида, вырабатываемой по k-ой технологии; x j - заданный сверху план j - ой продукции; c jk — затраты

связанные с изготовлением единицы j-ой продукции по k-ой технологии, которые следует минимизировать. Математическая модель задачи:

n K

min z = ∑∑c jk x jk

j=1k =1

при ограничениях:

• на фонд времени работы каждой группы оборудования

k=1

•условие неотрицательности: xij ≥ 0 .

Задачи распределения производственной программы по календарным периодам

Эти задачи чаще всего целочисленны с булевыми переменными. Рассмотрим простейшую постановку такой задачи. Известна годовая производственная программа v jt ,

j = 1,...,n , t = i....T , т.е. потребность в t-м интервале на j-ю продукцию. Пусть bit – фонд i-ых ресурсов в t-м интервале; пусть aij — норма расхода i-ого ресурса на выпуск j-ой продукции. Неизвестные величины: x jt - объемы выпуска j-

ой продукции в t-м интервале. Для математической формулировки задачи, например, экспертным путем, определяют приоритеты каждого вида продукции p j .

Наиболее важным видам приписывается приоритет 1 и т.д. Целевая функция задачи − максимум выпуска с учетом

приоритетности продукции

при ограничениях:

• на ресурсы в каждом t–ом интервале

на объем выпуска

Задача производственного планирования

Рассматривается производство, в котором участвует:

m ингредиентов (сырье, промежуточные и конечные продукты);

n технологических способов организации производства. Обозначим через неизвестную величину xi — интенсивность

использования технологического способа; aij — затраты (если aij > 0) или выпуск (если aij < 0 ) i-го ингредиента по j-му

технологическому способу с единичной интенсивностью;

bi — величина i-го ингредиента. Если bi ≤ 0 , то i-ый ингредиент выпускается, если bi ≥ 0 , то i-ый ингредиент потребляется. Пусть ci - прибыль (если ci < 0 ) или затраты (если c j ≥ 0) от использования j-ой технологии с единичной

интенсивностью. Общая модель производственного планирования примет вид:

• целевая функция — максимизировать прибыль от использования всех способов производства

n

max : z = ∑c j x j

j=1

38

• при ограничениях, означающих, что затраты i-го ингредиента не должны превышать bi , если bi ≥ 0 или i-ый ингредиент должен быть выпущен в количестве не меньше чем

Задача о смесях

Критерием оптимальности можно принять минимум растрат на исходные материалы. Построим математическую модель задачи. Пусть aij — доля i-го (i = 1,...,m ) химического

элемента в исходном шихтовом материале j-го ( j = 1,...,n ) вида. Обозначим через x j долю j-го материала, включаемого в

состав шихты. Тогда содержание i-го элемента в шихте выбранного состава выразится суммой

n ___

∑aij x j ≤ bit , i = 1,m .

j=1

Однако в результате окислительного процесса содержание некоторых химических элементов в расплаве существенно уменьшается (происходит их угар). В связи с этим в состав расплава следует вводить поправочный коэффициент. Если обозначить величину угара через ui , то

поправочный коэффициент будет равен (1— ui ). Вот почему

фактическое содержание химических элементов в расплаве следует находить по формуле

Реальная величина i-го химического элемента в расплаве должна колебаться между нижними bi и верхними Bi

пределами. Обозначим через c j стоимость единицы j-го

исходного материала. Модель задачи об оптимальном составе шихты принимает вид:

n

min : z = ∑c j x j

j=1

•на комплектность долевого участия исходных материалов

n

∑ x j = 1

j=1

•граничные условия, определяемые технологией

выплавки и ограниченностью отдельных исходных

Задача о раскрое материалов

Рациональный раскрой промышленных материалов – важный источник экономии ресурсов. Он повышает коэффициент использования материалов. Централизация раскроя на снабженческо-сбытовых базах позволяет сократить ассортимент материалов, что ведет к укреплению заказов.

40