Основы математического моделирования. Учебное пособие

3. Определяем последнюю точку при выходе из области допустимых решений45. 6 Перемещаем линию уровня в

направлении вектора .

4. Находим координаты точки B, решая систему двух

уравнений (I и II).

<2 + 4 = 440; В 60,80 . 12 + 14 = 65.

5. Вычисляем значение целевой функции в данной

точке:

= 80 ∙ 60 + 120 ∙ 80 = 14400,@AB = 14400 (руб.).

Теперь можно записать ответ: максимальная прибыль от реализации деталей будет 14400 руб., при этом деталей первого вида необходимо изготовить и реализовать 60 единиц, деталей второго вида - 80 единиц. Видно, что оптимальный план требует полного использования запаса аллюминия и трудовых ресурсов, в то время как сталь остается в количестве 15 кг .

3.6. Решение задач линейного программирования симплексным методом

Симплексный метод (симплекс-метод) является одним из универсальных методов решения ЗЛП, называемый так же методом последовательного улучшения плана. Симплексметод позволяет вести расчеты вручную и на ЭВМ.

51

Пусть дана задача линейного программирования в канонической форме: максимизировать целевую функцию

уравнений линейно независимы (ранг системы r = m ). В этом случае система имеет бесчисленное множество решений. Ее можно разрешить относительно m переменных x1,...., xm , если

векторы–коэффициенты a1,....,am , при этих переменных линейно независимы.

функцию можно выразить через свободные переменные xm+ j : n−m

опорном плане значение целевой функции максимально, то опорный план является оптимальным.

Решение задачи (3.4-3.6) симплексным методом складывается из двух этапов:

1)нахождение начального опорного плана;

2)определение среди опорных планов задачи оптимального.

Решение задачи производится с использованием симплексных таблиц. Симплексная таблица, содержащая

Обозначения в таблице

•БП – базисные переменные;

•СП – свободные переменные;

•СЧ – свободные члены;

•последняя строка называется f – строкой или строкой целевой функции.

53

Признаком оптимальности опорного плана является неотрицательность f - строки.

Симплексное преобразование

Преобразование системы (3.5) к новому базису называется симплексным преобразованием.

Правило выбора переменных при направленном преобразовании (при переходе от одного опорного плана к другому, более близкому к оптимальному) одного базиса в другой: в базис вводят переменную xm+ j , соответствующую

отрицательному элементу f - строки с наибольшей абсолютной величиной.

Столбец коэффициентов при переменной, включенной в базис, называется разрешающим.

Для определения переменной, подлежащей исключению из базиса, составляют отношения свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца (такие отношения называются симплексными) и находят среди них наименьшее, которое и определяет переменную, исключаемую из базиса. Строка, которой соответствует переменная, исключаемая из базиса, называется разрешающей.

Элемент симплекс-таблицы, стоящий на пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца, называется

разрешающим.

Предполагая, что разрешающий элемент выбран, можно сформулировать следующее правило перерасчета элементов симплекс-таблицы при переходе к новому опорному плану:

•разрешающий элемент заменяется обратной величиной;

•остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент;

•остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент и меняют свои знаки;

•прочие элементы вычисляют по формуле:

54

где bks - разрешающий элемент.

При вычислении элементов по формуле (3.9) удобно пользоваться правилом прямоугольника. Элементы, входящие в эту формулу, расположены в вершинах воображаемого «прямоугольника» (рис. 3 )

Рис. 3. Схема «прямоугольника»

Диагональ этого прямоугольника, на которой расположены разрешающий bks и преобразуемый bij

элементы, называется главной, а другая − побочной.

элементов главной и побочной диагоналей, деленной на разрешающий элемент. Сформированного правила придерживаются независимо от того, в какой вершине прямоугольника расположен разрешающий элемент.

Указания к нахождению начального опорного плана

Симплексное преобразование можно применить для нахождения опорного плана, т.е. для преобразования системы (3.5) к виду (3.7).

55

Система (3.5) записывается в виде:

0 = a10 + a11 (−x1) +...+ a1n (−xn)

Равенства (3.10) и (3.11) вносят в симплекс - таблицу, некоторые уравнения системы (3.10), умножив на -1, чтобы элементы столбца свободных членов были положительными. В результате получается табл. 2.

Таблица 2 Пример заполнения симплекс таблицы

Табл. 2 подвергается симплексным преобразованиям. На каждом шаге один из x и 0 меняются местами. Через r шагов (r - ранг матрицы коэффициентов системы (3.10) r переменных х поменяются с 0 первого столбца. Пусть это будут переменные x1, x2,....,xr . Получится таблица вида табл. 3.

56

Таблица 3 Симплекс -таблица после первого преобразования

отличен от нуля, то система будет несовместна.

При расчетах опускают разрешающие столбцы и строки, целиком состоящие из нулей. Если в ходе преобразований встретится 0 - строка, в которой все элементы неположительны (свободный член положителен), то соответствующая система не имеет опорных решений. Если система (3.5) совместна в области неотрицательных решений, то через r шагов перейдем к таблице аналогичной 3 и

содержащей начальный опорный план x0 = (b10, , br0,0,...,0), ‚ а также f (x0 ) = b00 . Найденный опорный план соответствует базису B0 = {x1,.., xr } относительно которого оказалась разрешима система.

Нахождение оптимального плана

Если в симплексной таблице, содержащей опорный план, все элементы f-строки (не считая свободного члена) неотрицательны, то данный опорный план является оптимальным. Полученный оптимальный план будет единственным, если все элементы f-строки положительны.

57

и занесем в симплексную таблицу (табл. 4)

Таблица 4

Симплекс-таблица примера

В табл. 4 за разрешающий столбец можно взять любой столбец за исключением второго, так как он не содержит ни одного положительного элемента. Возьмем, например, четвертый столбец и вычислим симплексные отношения: min (8/1; 4/1)=4 (вторая строка разрешающая). Выполним симплексное преобразование и получим табл. 5. Разрешающим столбцом в табл. 5 можно взять только первый, и разрешающей строкой будет только первая, т.к. min (4/2; 4/1)=2. После симплексного преобразования с разрешающим элементом 2 получим табл. 6 с начальным

Таблица 6

Второе преобразование

Пример. Механический завод при изготовлении двух типов деталей использует токарное, фрезерное и сварочное оборудование. При этом обработку каждой детали можно вести двумя различными технологическими способами. Полезный фонд времени работы каждой группы оборудования (в станко-часов), нормы расхода времени при обработке детали на соответствующем оборудовании по данному технологическому способу и прибыль от выпуска единицы детали каждого вида приведены в табл. 7. Составить оптимальный план «загрузки оборудования», обеспечивающий заводу максимальную прибыль.

Решение. Обозначим через:

•x1 - количество деталей первого типа, обработанных по 1-му технологическому способу;

•x2 - количество деталей первого типа, обработанных по

2-му технологическому способу;

60