Основы математического моделирования. Учебное пособие

2.3. Основные этапы метода математического моделирования

1. Создание качественной модели

Выясняется характер законов и связей, действующих в системе. В зависимости от природы модели эти законы могут быть физическими, химическими, биологическими, экономическими.

Задача моделирования − выявить главные, характерные черты явления или процесса, его определяющие особенности.

Применительно к исследованию физических явлений создание качественной модели – это формулировка физических закономерностей явления или процесса на основании эксперимента.

2. Создание математической модели (постановка математической задачи)

Если модель описывается некоторыми уравнениями, то она называется детерминированной. Начально-краевые задачи математической физики являются примерами детерминированных дифференциальных моделей.

Если модель описывается вероятностными законами, то она называется стохастической.

1)выделение существенных факторов. Основной принцип: если в системе действует несколько факторов одного порядка, то все они должны быть учтены, или отброшены.

2)выделение дополнительных условий (начальных, граничных, условий сопряжения и т.п.).

3. Изучение математической модели

1)математическое обоснование модели. Исследование внутренней непротиворечивости модели. Обоснование корректности дифференциальной модели. Доказательство теорем существоваия, единственности и устойчивости решения.

2) качественное исследование модели. Выяснение поведения модели в крайних и предельных ситуациях.

21

3) численное исследование модели: а) разработка алгоритма; б) разработка численных методов исследования модели. Разрабатываемые методы должны быть достаточно общими, алгоритмичными и допускающими возможность распараллеливания. в) создание и реализация программы. Компьютерный эксперимент.

По сравнению с лабораторным (натурным) экспериментом компьютерный эксперимент дешевле, безопасней, может проводиться в тех случаях, когда натурный эксперимент принципиально невозможен.

4. Получение результатов и их интерпретация

Сопоставление полученных данных с результатами качественного анализа, натурного эксперимента и данными, полученными с помощью других численных алгоритмов. Уточнение и модификация модели и методов её исследования.

5. Использование полученных результатов

Предсказание новых явлений и закономерностей. Предсказание Полем Дираком открытия античастиц на основе исследования построенной им модели квантовой теории поля.

2.4. Требования, предъявляемые к математическим моделям

К математическим моделям предъявляются следующие основные требования:

1.Универсальности.

2.Точности.

3.Адекватности.

4.Экономичности.

Универсальность математической модели

характеризует полноту отражения в ней свойств реального объекта. Математическая модель отражают не все, а лишь некоторые свойства реального объекта. Например, формулы для сил резания, которые приведены в примере (задача 1) , не

22

учитывают температуру окружающего воздуха, влажность, экономические параметры и т.д.

Точность математической модели оценивается степенью совпадения значений выходных параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью модели.

Пусть отражаемые в математической модели свойства объекта оцениваются вектором выходных параметров

z = (y1, y2,..., ym) ,

yiмм - i-ый параметр, рассчитанный с помощью модели,

а yid - истинное значение того же параметра. Тогда относительная погрешность математической модели по i - му параметру будет равна:

По этой формуле рассчитываются погрешности для каждого выходного параметра, в результате получается вектор погрешностей E = (E1,E2,...,Em) .

В целом для математической модели погрешность оценивается следующим образом:

Например, оценим погрешность рассмотренной в примере номер 1 математической модели. Вектор выходных

Epy = E2 = 0,07; Epz = E3 = 0,03; тогда в целом погрешность

математической модели Eмм = maxEi = 0,07 .

Адекватность математической модели − это ее способность отражать заданные свойства объекта с погрешностью, не выше заданной.

Так как выходные параметры модели являются функцией

от параметров внутренних и входных, то и точность модели зависит от их значений. Адекватность модели имеет место в ограниченной области изменения внутренних и входных параметров. Если обозначить область адекватности как OA, то

OA = {X,Q Eмм ≤ δ},

где δ - некоторое заданное число.

Экономичность математической модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов на ее реализацию. Если работа с математической моделью осуществляется вручную, то ее экономичность определяется затратами личного времени проектировщика. Если модель используется при автоматизированном проектировании, то затратами машинного времени и памяти компьютера. Так как указанные величины определяются характеристиками конкретного компьютера, то использовать их для оценки экономичности математической модели не корректно. Поэтому, для оценки экономичности самой математической модели используют другие величины:

1.Среднее количество операций, выполняемых при одном обращении к математической модели.

2.Размерность системы уравнений в математической модели.

3.Количество используемых в модели внутренних параметров и т.д.

24

Требования высокой степени универсальности, точности, широкой области адекватности математической модели, с одной стороны, и высокой ее экономичности, с другой стороны, противоречивы. Поэтому компромиссные решения определяются решаемой задачей.

К математическим моделям предъявляется и целый ряд других требований, среди которых следует выделить следующие:

1.Вычислимость, т.е. возможность ручного или с помощью ЭВМ исследования качественных и количественных закономерностей функционирования объекта (системы).

2.Модульность, т.е. соответствие конструкций модели структурным составляющим объекта (системы).

3.Алгоритмизируемость, т.е. возможность разработки соответствующих алгоритма и программы, реализующей математическую модель на ЭВМ.

4.Наглядность, т.е. удобное визуальное восприятие модели.

Этапы решения задачи методом математического моделирования

Исследование реальных объектов методом математического моделирования в общем случае представляет собой последовательное выполнение следующих этапов:

1.Формулировка цели исследования, которая должна быть достигнута при моделировании. Целью исследования в значительной степени определяется сложность математической модели и сама возможность решения задачи.

2.Анализ моделируемого объекта. На этом этапе устанавливается, какие из признаков объекта оригинала являются существенными с точки зрения решаемой задачи, возможно, определяются исходные данные, характеризующие эти признаки, возможна разработка конструктивной или функциональной схемы объекта.

25

3. Разработка физической модели и обоснование ее соответствия по существенным признакам моделируемому объекту. На этом этапе формируются ограничения и предложения, которые упрощают описания объекта оригинала, не нанося при этом существенного ущерба, достоверности получаемого результата исследования. Этот этап важен, поскольку реальные объекты в своем большинстве крайне сложны, и без подобного упрощения их математическое моделирование зачастую право невозможно.

4.Разработка математической модели.

5.Разработка алгоритма или алгоритмов компьютерной модели. Здесь следует отметить, что на основании одной и той же модели могут быть построены различные алгоритмы. Это зависит от того, какие из параметров в рамках принимаемого исследования будут известными или неизвестными искомыми. Например, параметры, которые считаются известными при решении задач анализа, будут неизвестными при решении задач синтеза и наоборот. Изучение процесса проектирования на различных уровнях показывает, что для него характерен определенный состав и последовательность решаемых задач, основным из которых является задачи анализа из синтеза. Анализ технических объектов предлагает изучение их свойств. При анализе не создаются новые объекты, а исследуются заданные. Синтез технических объектов направлен на создание новых вариантов. Поскольку анализ направлен для оценки этих вариантов, то синтез этих вариантов и анализ выступают

впроцессе проектирования в диалектическом единстве.

6.Разработка компьютерной программы или пакета

7. Отладка и тестирование программ. Этот этап часто является самым трудоемким. Здесь выявляются ошибки не только в программе, но и в алгоритме, в самой математической модели. Не редко на этапе отладки программ появляется некорректность или недопустимость допущений и

26

ограничений, принятых на этапе разработки физической модели. Это в свою очередь может привести к необходимости отказа от разработанной математической модели и разработки новой.

8. Численные исследования, анализ и интерпретация результатов численных исследований в терминологии объекта оригинала.

2.5. Погрешности результатов при математическом моделировании

Необходимо понимать, что при решении определенного класса задач методом математического моделирования неизбежны погрешности определяемых результатов, которые по источнику их происхождения можно разбить на четыре группы.

Погрешности формализации. Возникают при переходе от объектов оригинала к его физической модели и обусловлены приближенным его соответствия этой модели. Количественную оценку этих погрешностей в общем случае указать нельзя. Обычно такую оценку получают при экстремальных исследованиях на самих объектах оригинала или их местах.

Погрешности исходных данных связаны с физическими применениями объекта оригинала. При измерениях в технических системах погрешность измерения технических условий обычно 1-5 %, погрешность измерения динамических величин 5-20 %. Это приводит к погрешностям получаемых результатов.

Погрешности вычислительного алгоритма связаны с приближенным решением математических соотношений численными методами. Погрешность вычислительного алгоритма должна быть в 2-5 раз меньше погрешности исходных данных. Следует иметь в виду, что неудачно разработанный алгоритм может привести к тому, что

27

результаты численного решения не будут соответствовать исследуемой математической модели.

Погрешности машинного округления связаны с тем, что в ЭВМ все вычисление выполняются с определенным числом значащих цифр. Эта погрешность зависит от типа и программы. Погрешность машинного вычисления должна быть в 5-10 раз меньше погрешности вычислительного алгоритма.

Таким образом, для получения достоверных результатов при математическом моделировании необходимо глубокое понимание всех существенных особенностей исследуемого объекта, его модели, вычислительных алгоритмов, программы, возможностей вычислительной техники.

2.6. Прямая и обратная задачи математического моделирования

Существует множество задач, связанных с математическим моделированием. Во-первых, надо придумать основную схему моделируемого объекта, воспроизвести его в рамках идеализаций данной науки. Так, вагон поезда превращается в систему пластин и более сложных тел из разных материалов, каждый материал задаётся как его стандартная механическая идеализация (плотность, модули упругости, стандартные прочностные характеристики), после чего составляются уравнения, по дороге какие-то детали отбрасываются как несущественные, производятся расчёты, сравниваются с измерениями, модель уточняется, и так далее. Однако для разработки технологий математического моделирования полезно разобрать этот процесс на основные составные элементы.

Традиционно выделяют два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные.

Прямая задача: структура модели и все её параметры считаются известными, главная задача — провести

28

исследование модели для извлечения полезного знания об объекте. Какую статическую нагрузку выдержит мост? Как он будет реагировать на динамическую нагрузку (например, на марш роты солдат или на прохождение поезда на различной скорости), как самолёт преодолеет звуковой барьер, не развалится ли он от флаттера, — вот типичные примеры прямой задачи. Постановка правильной прямой задачи (задание правильного вопроса) требует специального мастерства. Если не заданы правильные вопросы, то мост может обрушиться, даже если была построена хорошая модель для его поведения. Так, в 1879 г. в Великобритании обрушился металлический Железнодорожный мост через Ферт-оф-Тей, конструкторы которого построили модель моста, рассчитали его на двадцатикратный запас прочности на действие полезной нагрузки, но забыли о постоянно дующих в тех местах ветрах.

Ичерез полтора года он рухнул.

Впростейшем случае (одно уравнение осциллятора, например) прямая задача очень проста и сводится к явному решению этого уравнения.

Обратная задача: известно множество возможных моделей, надо выбрать конкретную модель на основании дополнительных данных об объекте. Чаще всего структура модели известна, и необходимо определить некоторые неизвестные параметры. Дополнительная информация может состоять в дополнительных эмпирических данных или в требованиях к объекту (задача проектирования). Дополнительные данные могут поступать независимо от процесса решения обратной задачи (пассивное наблюдение) или быть результатом специально планируемого в ходе решения эксперимента (активное наблюдение).

Одним из первых примеров виртуозного решения обратной задачи с максимально полным использованием доступных данных был построенный Ньютоном метод восстановления сил трения по наблюдаемым затухающим колебаниям.

29

В качестве другого примера можно привести математическую статистику. Задача этой науки — разработка методов регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений. То есть множество возможных моделей ограничено вероятностными моделями. В конкретных задачах множество моделей ограничено сильнее.

3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

3.1. Линейное программирование

Линейное программирование − основной раздел математического программирования, включающий в себя аналитические методы решения таких задач, в которых ограничения и целевая функция выражены в линейной форме, то есть неизвестные, входящие в ограничения и в целевую функцию, имеют первую степень.

Линейное программирование представляет собой совокупность методов, позволяющих наилучшим образом распределить ресурсы, имеющиеся в нашем распоряжении для решения различных технологических задач. Сущность этих задач в том, чтобы из множества возможных вариантов исследуемого процесса выбрать по какому-либо признаку оптимальный вариант, и часто связана с поиском способов оптимального распределения ограниченных ресурсов.

Задачи, в которых находят максимум или минимум линейной функции при линейном ограничении, называют задачами линейного программирования.

Линейное программирование развивалось в связи с задачами экономики, с поиском способов оптимального распределения ограниченных ресурсов.

30