Моделирование технологических и природных систем. Учебное пособие

При непрерывном изменении численности популяции скорость ее прироста dN в некотором малом интервале времени dt будет пропорциональна численности N популяции.

Коэффициент относительной или удельной скорости роста популяции е представляет собой разность между коэффициентом рождаемости В и коэффициентом смертности D [4].

Скорость роста пропорциональна текущему размеру популяции

[1, 31]:

Адекватность модели подтверждена наблюдаемым изменением численности популяций в природе [31, 32].

Многомерные модели, объединяющие разнородную информацию об экологической системе на основе оперативной информации экологического мониторинга, широко используют принцип изоморфизма, позволяющий сходными математическими уравнениями описывать системы, разные по своей природе, но одинаковые по структуре и типу взаимодействия между элементами, их составляющими [32]. Таким образом, представлена математическая модель динамики реальных взаимодействий популяций [33]:

71

Динамические модели изменения численности популяций при различных типах взаимодействия [4, 31]:

1. Модель «Борьба за общую пищу». Вводятся коэффициенты прироста е1 и е2, численность видов N1 и N2. Количество пищи, поедаемой обеими популяциями в единицу времени, обозначается через функцию – F(N1, N2). Тогда функция стремится к предельному значению F(N1, N2)®0 при N1+N2®0. Принимаются g1, g2 – коэффициенты прожорливости популяций. Таким образом, в качестве коэффициентов прироста популяций можно взять выражения (е1 – g1´F (N1, N2)) и (е2 – g2´F(N1, N2)). Отсюда получаем систему дифференциальных уравнений, описывающую развитие популяции [4, 33]:

ские модели Вольтерры – Лотки. В качестве коэффициентов прироста популяций можно взять выражения (е1 – g1´N2) и (-е2+g2´N1), где N1 – количество жертв, N2 – количество хищников.

Получаем модель в виде системы дифференциальных уравнений, описывающую развитие популяций [4, 31]:

Представленная математическая модель, по сути, описывает любые взаимодействия в трофических цепях.

3. Модель «Взаимодействие нескольких популяций, борющихся за пищу»:

72

Математическую модель (36) можно использовать для описания экологической ниши [4, 33].

4. Модель «изменение состояния экосистем». Природные экосис-

темы являются сложными комплексными системами. Для анализа изменений состояния экосистем используется следующая многомерная модель [32]:

При исследовании экосистем с помощью динамических моделей (37) их разделяют на простые подсистемы [4, 31].

Для математического описания перемещения животных на больших пространствах используется диффузионная гипотеза. Пассивная диффузия редко применима к движению животных, но диффузионная гипотеза позволяет адекватно описывать перемещение особей в природе. Даже если движение не диффузионное, диффузионная аппроксимация часто обеспечивает приемлемое описание в больших пространственных масштабах [34].

73

9.2.РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗАГРЯЗНЕНИЙ

ВВОЗДУШНОЙ, ВОДНОЙ СРЕДЕ И В ГРУНТЕ

Антропогенное воздействие на экосистемы является мощным преобразующим фактором, существенно изменяющим состояние как самих экосистем, так и их составляющих. Поэтому возникла необходимость анализа, оценки и прогнозирования состояния модифицированных и трансформированных экосистем.

Процесс распространения выбросов в атмосфере происходит за счет конвективного переноса воздушными массами и молекулярной диффузии веществ. Вследствие турбулентности воздушного потока зона распространения загрязнений будет иметь разную геометрическую форму и площадь. Увеличиваясь под влиянием крупномасштабных турбулентных флуктуаций, факел выбросов может распадаться на изолированные вихревые образования, увлекаемые на большие расстояния от источника [4, 35].

Ваэрозолях могут присутствовать крупные частицы, которые, распространяясь в атмосфере, под действием силы тяжести опускаются с определенной постоянной скоростью в соответствии с законом Стокса. Все примеси в конечном итоге осаждаются на поверхности земли, причем тяжелые осаждаются в основном под действием гравитационного поля, а легкие – в результате диффузионного процесса

[4].Наиболее опасны для окружающей среды газообразные примеси, которые смешиваются с воздухом на молекулярном уровне и воздействуют на все составляющие экосистем. Поэтому в математическом описании распространения загрязнений учитывают:

–характеристики выброса (состав, количество, температура, скорость);

–характеристики источника выброса (геометрические, способ организации);

–характеристики окружающей среды (ландшафт, климат, роза ветров и т.д.).

Вматематическом описании аварийных выбросов кроме пере-

численных характеристик учитывается геометрия облака, его масса и

74

время существования. С помощью математической модели рассчитываются последствия аварийных ситуаций.

Для описания распространения сбросов в водных объектах используются модели водных экосистем. Расчет предельно допустимых сбросов в водоемы осуществляется по разным математическим моделям для проточных и замкнутых водных экосистем. Для водотоков используется метод Караушева, метод Фролова – Родзиллера, метод Лапшева. Для водоемов рекомендованы метод Руффеля и метод Лапшева. Для прибрежных зон морей лучше всего подходит метод Лапшева.

Математические модели распространения сбросов позволяют прогнозировать состояние водных объектов и динамику изменения численности обитателей водоемов. Математическое моделирование рыбных популяций представлено в работах В.В. Меншуткина, А.А. Ляпунова. Математические модели потоков вещества и энергии используются для анализа процессов в Мировом океане как замкнутой системе. Специальная трехмерная гидродинамическая модель течений и горизонтального и вертикального перемешивания позволяет прогнозировать динамику изменения органического вещества (например численности фитопланктона) в океане с учетом конкуренции и хищничества [31, 32, 33].

Оценка загрязнения суши и подстилающей поверхности пассивными и активными примесями осуществляется с помощью математических моделей, построенных на основе уравнений аэродинамики в частных производных, с учетом процессов инфильтрации и диффузии загрязняющих веществ. Для описания фильтрационных процессов через верхний слой грунта часто используются эмпирические аппроксимации, полученные путем математической обработки данных мониторинга [31, 33].

Модели переноса загрязняющих веществ в разных средах позволяют прогнозировать санитарную опасность регионов и рассчитывать ущерб, наносимый здоровью населения, сельскохозяйственным угодьям, лесным массивам, почве, затраты на восстановление окружающей среды и другие показатели. В упрощенных вариантах широко используется метод функций отклика [34].

75

Особый статус имеют математические модели, в которых рассматриваются глобальные изменения биоты в результате тех или иных антропогенных воздействий или изменений климата, воздействий космических или геофизических причин [6, 31]. Классической является модель ядерной зимы, предсказавшая глобальное изменение климата на срок в несколько десятилетий в сторону понижения температур ниже нуля по Цельсию и гибель биосферы в случае широкомасштабной ядерной войны [6, 35].

При моделировании глобальных экологических процессов необходимо учитывать огромное число факторов: пространственную неоднородность Земли, физические и химические процессы, антропогенные воздействия, связанные с развитием промышленности и ростом народонаселения [6, 35]. Сложность задачи потребовала применения иерархического системного подхода, впервые введенного в

практику математического моделирования Дж. Форрестером. Результатом работ, выполненных по заказу Римского клуба – международной группы выдающихся бизнесменов, государственных деятелей и ученых, стала построенная на основе идей Дж. Форрестера компьютерная модель World 3. Результаты этой работы были представлены в книге «Пределы роста». Земля рассматривалась как замкнутая иерархическая система, состоящая из множества подсистем и элементов, в которой происходят физические, химические, биологические процессы (рост населения, потребления ресурсов, загрязнения окружающей среды и т.д.). Результаты моделирования взаимодействия этих процессов привели к сенсационному выводу о предельных возможностях планеты как единой замкнутой экосистемы [6, 31, 35]. Прогнозирование последствий существующего сценария развития человечества позволило разработать новую стратегическую модель постепенного приближения к устойчивому равновесию. Предлагаемая модель выживания человечества основана на стабилизации численности населения и объема промышленного производства, внедрении энергосберегающих технологий, борьбе против хищнического расходования природных ресурсов и сохранении окружающей среды [31, 35].

76

Очень важной является глобальная модель прогнозирования климатических изменений, связанных с парниковым эффектом. Интегральные модели такого типа включают в себя огромные массивы сведений о включенных в них подсистемах. Разрабатываются локальные модели углеродного обмена для каждой местности и баланс газов, определяющих парниковый эффект, содержание которых в атмосфере включается в подмодель «Система атмосферы и океанов». Модель дает прогноз таяния полярных льдов, поднятия уровня Мирового океана, значительного потепления климата в Северном полушарии, в том числе на территории России, и связанного с этим смещения границ растительности, в том числе широколиственных и хвойных лесов, к северу, в область тундры [31, 35].

Смысл таких глобальных моделей заключается в том, что они позволяют оценить вклад отдельных процессов и регионов в общий баланс вещества и энергии на Земле и оценить влияние на локальные процессы глобальных показателей. Всесторонний учет множества факторов и связей возможен только в рамках моделей, интегрирующих результаты многочисленных исследований, с использованием современной вычислительной техники и геоинформационных техно-

логий [6, 31, 35].

Контрольные вопросы

1.В чем заключаются задачи экологического моделирования?

2.На каких принципах основано моделирование экосистем?

3.Какими направлениями представлено моделирование состояния окружающей среды?

4.Перечислите математические модели экосистем.

5.Какие модели позволяют оценить состояние глобальных экосистем?

77

10. ХЕМОМЕТРИКА

Хемометрия, хемометрика – это научная дисциплина, находящаяся на стыке химии и математики, предметом которой являются математические методы изучения химических явлений. Рассматривает математические методы обработки многомерных данных химических исследований [4, 36].

Все сложные объекты, природные и технологические, характеризуются множеством параметров, поэтому в хемометрике существует понятие «главной компоненты». В данном случае используется метод анализа данных, называемый методом главных компонент (МГК). С математической точки зрения главная компонента – это латентная переменная, которая является комбинацией исходных параметров. Через главные компоненты выявляют скрытые систематические связи, характерные для исходного набора данных.

Многомерный анализ основан на предположении, что исходные данные несут определенную информацию об объекте и зависят от диапазона измерений. Как указывалось выше, в стандартных статистических методах минимальное количество наблюдений должно превышать число определяемых параметров. Это условие необязательно в многомерных методах [37].

Количественная связь между функцией Y и набором измеряемых переменных Х представляется в виде двух матриц: Х-переменные и Y-переменные. МГК подразделяет матрицу данных X на две части: содержательную и «шум». Многомерный анализ базируется на разделении данных с целью выявить и математически описать внутренние связи исследуемой системы. Для определения неявных закономерностей выясняют направления наибольшего изменения данных. Многомерные данные представлены совокупностью точек в одно-, двух- и трехмерном пространстве. Для объектов с большой размерностью используют разрезы и проекции. Таким образом, матрица данных может быть представлена в разных системах координат.

78

Моделирование методом МГК основано на обработке матрицы Х. Многомерность моделирования заключается в выявлении главных компонент путем изучения структуры матрицы через ковариационные/корреляционные величины. МГК-модель отображается графиками счетов, нагрузок, дисперсии и т.д., объяснение которых связано с конкретной задачей.

Для оценки адекватности многомерного моделирования используются следующие величины:

1.Дисперсия случайной величины показывает степень разброса

еезначений в исследуемом интервале (количество реализаций случайной величины n) [37]:

2. Ковариация – это мера линейной связи между двумя случайными величинами х1 и х2. Если большие значения х1 появляются одновременно с большими значениями х2, то говорят о положительной ковариации. Если же большие значения х1 появляются одновременно с малыми значениями х2 и наоборот, то ковариация отрицательная. Большая ковариация в абсолютных значениях указывает на существование строгой линейной зависимости между двумя рассматриваемыми переменными. Если же ее значения малы, то величины слабо зависят друг от друга – изменение х1 практически не влияет на изменение х2 [38]:

n

∑(xi − x)( yi − y)

79

3. Корреляция между двумя величинами вычисляется путем деления их ковариации на значения стандартного отклонения каждой из переменных. Следовательно, корреляцию можно рассматривать как безразмерное нормированное значение ковариации [39]:

Коэффициент корреляции Пирсона r часто используется для оценки той части общей дисперсии, которая может быть описана с помощью этой линейной зависимости.

Полученная модель используется для прогнозирования значений Y. Алгоритм обработки многомерных данных заложен в программе Unscrambler фирмы CAMO Software. Эта коммерческая программа предназначена для анализа многомерных данных на стадии их калибровки.

Чаще всего такой обработке подвергаются аналитические данные по спектроскопии. Метод МГК используется в производственном процессе для мониторинга и обеспечения качества выпускаемой продукции. Новый подход называется – технология анализа процессов (Process Analytical Technology – PAT), целью которой является создание системы контроля качества продукции в реальном времени [40].

Хемометрика позволяет обрабатывать большие объемы спек-

тральных данных, – MCR (Multivariate Curve Resolution, многомерное разрешение кривых). Своеобразным симбиозом аналитических методов и хемометрики для мониторинга и управления процессами является многомерный статистический контроль процессов (Multivariate Statistical Process Control – MSPC) [4, 40].

Многомерный статистический контроль технологических процессов, основанный на постоянном сопоставлении заданных данных качества продукции и информации, поступающей с датчиков, осуществляющих мониторинг технологического процесса, рекомендовано внедрять на современных химико-технологических производствах. Такая технология в совокупности с хемометрическими методами обработки и анализа данных позволяет существенно повысить эффективность химико-технологических процессов. Концепция непрерыв-

80