Моделирование технологических и природных систем. Учебное пособие

Факторы – это входные переменные ХKN (температура, давление, исходные концентрации реагентов, время пребывания и т.п.), а отклик – это выходной параметр YN (конверсия сырья, селективность процесса, выход продукта). Если для процесса рассчитывается несколько выходных параметров, то составляется соответствующее количество исходных таблиц и регрессионных зависимостей.

Математическая обработка данных позволяет получить коэффициенты регрессионного уравнения, дисперсию адекватности, критерий Фишера и т.д. На основании полученных результатов делают вывод об адекватности статистической модели. Если модель не адекватна, то математическая обработка результатов осуществляется заново [21].

Контрольные вопросы

1.Области применения экспериментально-статистических моделей.

2.Суть метода наименьших квадратов.

3.В чем разница между активным и пассивным экспериментом?

4.Как получают коэффициенты регрессионных уравнений?

5.Можно ли использовать статистические модели для оптимизации химикотехнологических объектов?

42

7. СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ

7.1.СТРУКТУРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Для анализа и синтеза сложных химико-технологических систем (ХТС), включающих множество химико-технологических объектов, используются специальные методы и алгоритмы. Методы разработки и оптимизации многомерных систем рассматриваются в области теоретических основ химической технологии и кибернетики новым научным направлением, которое называется «системотехника химических процессов».

При разработке сложных многомерных моделей реальный объект разбивают на подсистемы, для которых уже существуют математические модели. В этом случае используют методы структурного моделирования, которые позволяют создать модель сложной системы путем исследования внутренней структуры рассматриваемого объекта, изучения свойств отдельных элементов объекта и связей между ними [4, 20, 22]. Исследуемый объект представляется в виде системы, и при его моделировании используются методы системного анализа.

Система есть совокупность взаимосвязанных элементов, выде- ленных из среды и взаимодействующих с окружающей средой как це- лое для достижения поставленной цели.

Для описания сложных объектов в системном анализе используются четыре основные модели [4, 22]:

1)модель «черного ящика» – описывает объекты с неизвестным внутренним строением, известны только входные и выходные связи со средой. В модели это представлено как множество входных и выходных параметров, а соотношение между ними определяется методами математической статистики;

2)модель состава системы – описывает элементы и подсистемы объекта. Под элементом системы понимают неделимые части. Подсистема включает несколько элементов. В этом случае нужно учитывать, что всякое разбиение целого на части является относительным;

43

3)модель структуры системы – совокупность необходимых и достаточных для достижения цели отношений между элементами. Основной сложностью при описании структуры является обоснование конечного числа связей, наиболее существенных по отношению к рассматриваемой цели. Структура системы является абстрактной моделью, так как рассматривает только связи между элементами, а не сами элементы [1, 6];

4)структурная схема системы, или модель «белого ящика», –

объединяет три вышеописанные формальные модели системы

– « черного ящика», состава и структуры. Модель показывает

все элементы и связи между ними и окружающей средой.

Структурная модель системы – это совокупность конкретных элементов данной системы, необходимых и достаточных отноше- ний между этими элементами и связей между системой и окружа-

ющей средой. Структурная схема системы является формальной моделью, отделенной от содержательного наполнения. Это позволяет рассматривать ее как особый математический объект и исследовать его свойства. Такой объект называется графом (рис. 16) [4].

Рис. 16. Пример графа

Структурное моделирование позволяет описывать поведение довольно сложных систем. Главным же при структурном моделировании является установление конкретных функциональных связей между входными, внутренними и выходными параметрами. В большинстве случаев приходится составлять уравнения, описывающие поведение каждого элемента структуры с учетом взаимодействия всех элементов. Это приводит к необходимости решения систем уравнений с большим числом переменных [4].

44

Классификация структурных моделей [23]:

1.Пространственные структурные модели предназначены для описания пространственных характеристик объекта – его геометрии, конструкции, расположения элементов объекта относительно друг друга. Для представления таких моделей используются сетевые и матричные графы, вершины графа соответствуют расположению элементов, а ребра – расстоянию между элементами и особенностям их соединения.

2.Временные структурные модели предназначены для описания состояния системы в конкретный период времени. Элементами системы являются этапы определенного процесса. Для представления таких моделей используются графы, вершинами которых являются определенные производственные операции, а ребра указывают на последовательность и длительность этих операций. Отношения отображаются условиями перехода от одного состояния системы в другое или от одного этапа к другому.

3.Физические структурные модели предназначены для описания физических процессов и свойств изучаемого объекта через простые структурные элементы.

4.Иерархические структурные модели предназначены для обра-

ботки информации и принятия решений на разных уровнях системы, при этом необходимо распределить функции обработки информации

ипринятия решений между отдельными элементами системы с учетом их уровня.

7.2. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ

Как указывалось выше, при структурном моделировании ХТС широко применяются методы анализа и синтеза. При анализе система разделяется на составляющие ее элементы и каждый элемент исследуется отдельно. Синтез предполагает изучение системы как единого объекта с учетом сведений о каждом ее элементе и связей между ними. При структурном моделировании методы анализа и синтеза используются совместно. Это связано с тем, что при разделении системы теряются важные свойства как целого объекта, так и отдельных

45

его элементов. Только после соединения всех элементов можно объяснить поведение системы, рассматривая каждый элемент и его роль в совокупности. В этом случае построенная структурная модель будет отражать основные свойства исследуемого объекта в соответствии с поставленной целью [4, 23].

При анализе системы основная операция – это разделение системы на элементы. Такую процедуру называют декомпозицией. При декомпозиции сложной системы сначала получают подсистемы. При повторной декомпозиции можно выявить древовидную структуру сложной системы.

Поскольку сложная система может быть представлена подсистемами различной степени сложности, необходимы специальные критерии для обоснования процесса декомпозиции:

1)полнота декомпозиции – определяется полнотой модели системы Число уровней декомпозиции связано с понятием элементарности. Декомпозиция ведется до тех пор, пока не приведет к получению элементов системы, не требующих дальнейшего разложения [4];

2)простота – в структурную модель включаются только те элементы, которые существенны по отношению к цели анализа.

Понятие элементарности составляющей системы конкретизируется в каждом случае отдельно. Полученная совокупность элементов кроме внешней целостности должна обладать и внутренней целост-

ностью [4, 23].

Модель «черного ящика» хорошо описывает внешнюю целостность объекта, а модель структуры – внутреннюю целостность, связанную с определением отношений между элементами.

7.3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ХТС. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ХТС

Химико-технологические системы включают различные химические и физические процессы, имеют разную структуру и элементы, определенные параметры входных и выходных потоков, поэтому для математического описания и расчета ХТС необходимы следующие исходные данные:

46

1)структура ХТС, определяемая особенностью моделируемого химического производства;

2)параметры входных потоков (массовый или мольный расход, состав, физико-химические характеристики);

3)математическое описание всех элементов (аппаратов, процессов). Расчет ХТС заключается в определении параметров всех проме-

жуточных и выходных потоков.

Существует два принципиально разных метода расчета ХТС [23]:

1.Интегральный метод – система рассматривается в целом, математическое описание представляет собой систему уравнений, описывающих ее отдельные элементы во взаимосвязи друг с другом. Решение системы позволяет получить значение параметров всех потоков ХТС.

2.Декомпозиционный метод заключается в разделении системы на отдельные элементы и их последовательном расчете. Таким образом, сложная задача разделяется на несколько задач меньшей сложности. Использование декомпозиционного метода предполагает определение последовательности расчета элементов ХТС. Последовательность расчета ХТС зависит от структуры системы, поэтому расчету ХТС предшествует процедура анализа структуры системы.

Для анализа структуры ХТС используют теорию графов – раздел дискретной математики, изучающий свойства графов. Любая ХТС может быть представлена в виде топологических моделей, называемых графами [4, 23].

Графом называют совокупность точек на плоскости, соединенных линиями. Точки называют вершинами графа, каждая точка соответствует элементу ХТС, каждая линия – связь между элементами. Если направления связей указаны стрелками, то граф называют ориентированным, при отсутствии направления связей – неориентированным [23]. Соединительные линии в ориентированном графе принято называть дугами, в неориентированном – ребрами. Вершины, соединенные линией, называются инцидентными (рис. 17).

47

3. Матрица инциденций – характеризует инцидентность вершин, также называется структурной матрицей. Порядок матрицы (v×e), строки соответствуют вершинам, а столбцы – ребрам графа. С элементами 1 – если j-дуга входит в i-вершину; элементами 0 – если j-дуга неинцидентна в i-вершине, элементами -1 – если j-дуга выходит из i-вершины.

4. Матрица циклов – порядка (е×n). Строки соответствуют циклам (контурам), а столбцы – дугам. Используется для представления сложных ХТС.

7.4. РАСЧЕТ МАТЕРИАЛЬНОГО БАЛАНСА ХТС

На конкретном примере рассмотрим расчет материального баланса ХТС декомпозиционным модульным методом [24].

Исходные данные:

Дана топологическая модель химико-технологической системы, состоящей из 7 элементов (аппаратов). В систему подается два сырьевых входных потока и из системы уходят два выходных потока (рис. 18).

Рис. 18. Схема замкнутой ХТС

49

Потоки питания: G01 = 1000 кг/час; G02 = 2000 кг/час.

Известны некоторые технологические соотношения между внутренними промежуточными потоками, которые называются моделями элементов ХТС (смесители-делители потоков):

G4 = 0,1 *(G02 + G6) G7 = 0,5*G10 G8 = 0,1*G10 G10 = 0,4*G3

Цель расчета: составить материальный баланс ХТС, рассчитать все потоки ХТС, выполнить две итерации.

Решение: алгоритм решения представлен поэтапно и начинается с анализа структуры ХТС для определения последовательности расчета.

1. Структурный анализ ХТС.

Для определения последовательности расчета воспользуемся матричным представлением графа и построим матрицу смежности.

Столбцы, состоящие из нулей, являются краевыми элементами, и с этих элементов начинается расчет. В данном случае в матрице нет столбцов, состоящих из нулей, т.е. краевые элементы отсутствуют. Отсюда следует вывод, что данная ХТС замкнутая и с помощью матрицы определить последовательность расчета нельзя. С помощью матрицы можно определить последовательность расчета только открытых ХТС, в которых отсутствуют обратные потоки, образующие замкнутые контуры. Для замкнутых ХТС последовательность расчета рекомендуется определять через нахождение замкнутых контуров и их разрыва. Такой метод получил название метода оптимального разрывающего множество дуг – ОРМД. Переходим к следующему этапу

–определению замкнутых контуров.

2.Нахождение последовательности расчета замкнутой ХТС.

Для определения последовательности расчета замкнутой ХТС рекомендуется воспользоваться графическим методом построения пра-

50