Моделирование технологических и природных систем. Учебное пособие

2)обратная задача – физическое описание химико-техноло- гического объекта устанавливается в результате математического моделирования. Математическое моделирование используется для проверки гипотез о механизме процессов;

3)оптимизация – определение оптимальных условий протекания

химико-технологического процесса, управление им на основе математической модели и перенос результатов на химико-технологический объект [4, 12].

5.1. СТРУКТУРА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА

При построении математических моделей широко используется блочный принцип, суть которого заключается в том, что модель объекта строится из отдельных блоков, описывающих определенный процесс [12]. Представление математической модели в виде совокупности блоков позволяет создать математическое описание химикотехнологических объектов любой степени сложности и масштаба. В модель включаются блоки, описывающие только те процессы, которые протекают в исследуемом объекте (блок кинетики, блок гидродинамики, блок массопередачи, блок фазового равновесия и т.п.). С помощью блочного принципа легко осуществляется масштабный переход, что позволяет решить проблему масштабирования объекта. Каждый блок математической модели может иметь разную степень детализации математического описания, что позволяет включать в модель эмпирические и полуэмпирические соотношения при недостаточной исследованности отдельных явлений. Применение блочного принципа, основанного на системном подходе, позволяет разбить сложную задачу построения математической модели на отдельные подзадачи и тем самым упростить ее решение [12].

Математическая модель химико-технологического объекта представляет собой систему уравнений материального, теплового баланса и гидравлических потерь. На рис. 8 представлена структура математической модели химико-технологического объекта.

21

Материальный баланс

Рис. 8. Схема модели химико-технологического объекта: i = 1, М – количество компонентов в системе;

j = 1, N – количество потоков в системе

Количество уравнений в системе, описывающей модель химикотехнологического объекта:

−для каждого компонента системы составляется уравнение материального баланса, общее количество уравнений материального баланса в гомогенной системе соответствует числу компонентов, а для гетерогенных систем количество уравнений материального баланса определяется с учетом фаз и соответствует числу компонентов в системе, умноженному на число фаз;

−для каждого независимого потока составляется уравнение теплового баланса, количество уравнений теплового баланса в системе соответствует числу независимых потоков;

−для каждого независимого потока составляется уравнение расчета гидравлических потерь или гидравлического сопротивления объекта, через который перемещается поток.

Основой структуры математического описания является гидродинамическая модель процесса. Изучение кинетики химических реакций, процессов тепло- и массопередачи с учетом гидродинамических условий позволяет разработать математическое описание любо-

22

го химико-технологического объекта [12]. Блочный принцип позволяет проектировать объект, когда еще неизвестен окончательный вариант его конструкции.

5.2. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Математические модели структуры потоков являются основой, на которой строится математическое описание химико-технологичес- кого объекта. В настоящее время разработаны модели структуры потоков, отражающие реальный процесс, несмотря на то, что они достаточно просты и носят полуэмпирический характер [12]. Все многообразие математических моделей потоков в зависимости от вида функций распределения сводится к пяти основным видам.

Модель идеального смешения (рис. 9) [4]. В аппаратах емкост-

ного типа с интенсивным перемешиванием по всему объему поступающее в него вещество мгновенно распределяется по всему объему аппарата. Концентрации всех компонентов потока равномерно распределены по всему объему и постоянны в любой точке аппарата. Концентрация вещества на выходе из аппарата равна его концентрации в аппарате.

V, Со

VR, С

Рис. 9. Модель идеального смешения

Гидродинамическая модель идеального смешения описывается следующим уравнением:

23

Реальные емкостные аппараты соответствуют модели идеального смешения при близких значениях высоты и диаметра.

Модель идеального вытеснения (рис. 10). В основе данной мо-

дели лежит допущение о поршневом перемещении потока в аппаратах трубчатого типа, когда каждый следующий слой вытесняет предыдущий, без перемешивания потока как в продольном, так и в радиальном направлениях.

L

Рис. 10. Модель идеального вытеснения

В трубчатых аппаратах наблюдается плоский профиль скоростей, когда длина аппарата значительно больше его диаметра L>d. Эта модель приближенно соответствует реальным аппаратам, для которых выполняются условия: L/d>20, Re<2300. Уравнение модели идеального вытеснения записывается в виде [4]

24

Диффузионные модели вытеснения. Основой диффузионной модели является модель вытеснения, осложненная обратным и радиальным перемешиванием потока, которое описывается с помощью закона диффузии.

1. Модель диффузионного однопараметрического вытеснения

(рис. 11) [4]. Данную модель можно рассматривать как модель идеального вытеснения, осложненную обратным перемешиванием потока. В математическом описании структуры потока вводится коэффициент турбулентной диффузии (или коэффициент продольного перемешивания). Этой модели соответствуют реальные аппараты, для которых вы-

полняются условия: L/d >20, Re>2320 [1, 4].

L

Рис. 11. Модель диффузионного однопараметрического вытеснения

Гидродинамическая модель описывается следующим уравнением:

где Dl = WPe – коэффициент продольной турбулентной диффузии,

Ре – критерий Пекле.

2. Модель диффузионного двухпараметрического вытеснения

(рис. 12) [1, 4, 5, 7, 20].

L

Рис. 12. Модель диффузионного двухпараметрического вытеснения

25

В этом случае математическое описание структуры потока учитывает перемешивание как в продольном, так и в радиальном направлении. Модель диффузионного двухпараметрического вытеснения характеризуется коэффициентом продольного перемешивания и коэффициентом радиального перемешивания. Данная модель описывает реальные аппараты, для которых выполняются следующие условия:

L/d <20, Re>2300.

Гидродинамическая составляющая описывается уравнением

Ячеечная модель (рис. 13). Впервые ячеечная модель была предложена для каскада емкостных реакторов с мешалками, близких к модели идеального смешения. В основе модели лежит представление химико-технологического объекта в виде системы, разделенной на N ячеек. В каждой ячейке осуществляется режим идеального перемешивания, и между ячейками отсутствует обратное перемешивание. Модель занимает промежуточное положение между идеальным смешением и идеальным вытеснением [4].

Принятое допущение позволяет описывать любые реальные аппараты, если верно выбрано число ячеек. Основной параметр модели

– это число ячеек N.

При увеличении числа ячеек N структура потока приближается к модели идеального вытеснения, при уменьшении числа ячеек N – к модели идеального смешения.

26

С01

V1

С02

С1

V2

Сn

Рис. 13. Ячеечная модель

Ячеечная модель описывается следующей системой уравнений:

Начальные условия для данной системы: С1 = С02, С2 = С03 при t = 0. Общий реакционный объем системы: VR = N · Vn. Предполагается, что все ячейки имеют одинаковый объем [1, 4, 5].

Все вышеперечисленные типовые модели структуры потока применяются для расчета определенных химико-технологических объектов (табл. 1). При построении комбинированных моделей аппарат разбивают на ряд отдельных зон с различными механизмами и степенью перемешивания. Эти зоны могут соединяться последовательно и параллельно, могут быть изолированными или связанными друг с другом по определенному закону [1, 4, 5].

27

Таблица 1

Области применения типовых гидродинамических моделей

5.3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ КИНЕТИКИ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Химическая кинетика – это наука, изучающая закономерности протекания химических реакций во времени, механизмы химических превращений. Химическая кинетика изучает все факторы, влияющие на скорость как всего химического процесса, так и отдельных его стадий. Математическое описание различных химических процессов с учетом всех особенностей его протекания является кинетической моделью химического процесса. Важным понятием химической кинетики является скорость химической реакции. Скорость химического процесса определяется как изменение концентрации компонента

28

во времени и может быть представлена в виде первой производной концентрации вещества по времени: r = dC/dt [8, 9].

Кинетические модели гомогенных, гетерогенных и каталитических химических процессов существенно отличаются друг от друга. Гомогенные реакции, протекающие в объеме, описываются законом действующих масс. Такое математическое описание называют классической, или формальной, кинетикой. Гетерогенные реакции, протекающие на границе раздела двух фаз, описываются кинетическими моделями с учетом этой особенности. Каталитические процессы, протекающие через образование промежуточных активированных комплексов, описываются более сложными кинетическими моделями, учитывающими стадийность и механизм процесса. Поэтому гетерогенные и каталитические реакции описываются уравнениями специального вида. Вид этих математических моделей определяется как теоретически, так и на основе экспериментальных данных [4, 8, 9]. Именно поэтому такое кинетическое описание часто называют неформальным.

Для гомогенной необратимой элементарной реакции аА+bВ = rR+sS в соответствии с первым постулатом, основанном на законе действующих масс, кинетическое уравнение имеет вид

где k – константа скорости химической реакции.

Гетерогенные химические реакции протекают на границе раздела фаз, поэтому их скорость будет зависеть от поверхности соприкосновения фаз и диффузионного переноса веществ из ядра фазы к ее границе. Таким образом, самой химической реакции будет предшествовать процесс переноса вещества. Отсюда следует, что все гетерогенные процессы многостадийны. Скорость гетерогенного процесса по компоненту J определяется уравнением

где S – реакционная поверхность;

j – стехиометрический коэффициент реагента (или продукта) J;

29

dn j

d

τ – количество вещества, вступившего в реакцию или образо-

вавшегося в результате реакции в единицу времени.

Для химических реакций, когда один компонент находится в газовой фазе, а другой в твердой, скорость реакции будет зависеть от конвективного переноса вещества и молекулярной диффузии. Такой процесс протекает последовательно через пять стадий:

1.Внешняя диффузия газообразного реагента из ядра газовой фазы к поверхности твердого вещества.

2.Внутренняя диффузия газообразного реагента в поры твердой частицы.

3.Химическая реакция между газообразным реагентом и твердым веществом.

4.Обратная внутренняя диффузия продуктов реакции из пор твердой частицы к ее поверхности.

5.Обратная внешняя диффузия продуктов реакции от ее поверхности в ядро фазы.

Поэтому при математическом описании такого процесса помимо константы скорости реакции необходимо учитывать перемещение вещества к грануле и внутри ее.

Для определения скорости конвективной диффузии, т.е. количества газообразного реагента А, перенесенного за счет конвективной диффузии через единицу поверхности в единицу времени, пользуются уравнением [7]

β – коэффициент массоотдачи, зависящий от гидродинамики потока.

Скорость внутренней диффузии можно представить в виде уравнения [7]

30