Моделирование технологических и природных систем. Учебное пособие

личинами, которые получены при обработке экспериментальной выборки данных. Также значения параметров модели можно представить в виде интервала значений параметра [1, 4, 5], а также функциями принадлежности соответствующему нечеткому множеству.

4. Цели моделирования (рис. 5) [1, 4, 5].

Рис. 5. Классификация в зависимости от целей моделирования [1, 4, 5]

Цель дескриптивных моделей – это определение законов изменения параметров модели в виде зависимости выходных параметров от входных. Оптимизационные модели определяют наилучшие параметры функционирования изучаемого объекта, явления, процесса с помощью некоторого критерия. В зависимости от особенностей объекта для параметров модели вводятся ограничения в виде равенств и/или неравенств.

5. Методы реализации модели (рис. 6).

Рис. 6. Классификация методов реализации модели

К аналитическим выражениям относятся алгебраические уравнения, элементарные или специальные функции. Численные методы основаны на переходе от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. Имитационный подход предполагает разбиение объекта на отдельные элементы и учитывает их взаимодействие друг с другом.

11

6. Одномерные, двухмерные и трехмерные модели – такая клас-

сификация основана на количестве параметров модели, в которые входят координаты пространства и время. От координаты и времени могут зависеть другие параметры модели. Параметры небольших объектов существенно зависят от времени.

Основные виды математических моделей [5]:

а) статические модели – параметры модели постоянны во времени, характеризуют объект и/или процесс в стационарных условиях;

б) динамические модели – параметры модели изменяются во времени, характеризуют объект и/или процесс в нестационарных условиях; в) модели с сосредоточенными параметрами – параметры модели не изменяются в пространстве, характеризуют объект и/или процесс в

определенном объеме; г) модели с рассредоточенными параметрами – параметры модели

изменяются в пространстве; д) модель с распределенными параметрами – параметры модели

изменяются в пространстве и во времени [5].

Ввиду сложности объектов химической технологии математическое описание таких объектов целесообразно представлять по отдельным процессам, что существенно облегчает их реализацию. Построению математической модели химико-технологического объекта предшествует изучение физико-химической сущности процессов, протекающих в этом объекте, учитывается его целевое назначение. Затем определяют переменные объекта и основные уравнения, описывающие химико-технологический процесс.

Контрольные вопросы

1.В чем заключается преимущество детерминированной модели по сравнению с другими?

2.Какие задачи позволяют решать многомерные модели?

3.Всегда ли следует учитывать возмущающие воздействия на химикотехнологический объект?

4.Какие существуют методы реализации модели?

5.Как классифицируют модели по составу параметров?

12

3. СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Основные способы получения математических моделей:

1)эмпирический (метод черного ящика) – применяется, когда объект и/или процесс плохо изучен или неизвестна его природа;

2)теоретический;

3)экспериментально-аналитический.

С помощью эмпирического метода можно получить математическое описание объекта без изучения его физической сущности. Такая модель отражает математическую зависимость значений выходных параметров от входных без учета внутренней структуры системы [1, 4, 5]. На математическое описание оказывают влияние случайные ошибки эксперимента. Эмпирическую модель можно получить двумя способами:

1)пассивный эксперимент – осуществляется сбор и обработка информации о технологических параметрах объекта без специального изменения входных параметров [6]. С одной стороны, отсутствуют затраты на эксперимент, но с другой стороны – в штатном режиме изменение параметров технологического режима незначительно. Диапазон изменения экспериментальных данных ограничен, и возмущающие воздействия существенно влияют на точность математического описания;

2)активный эксперимент осуществляется в специально заданном диапазоне изменения параметров системы. Этот метод предполагает планирование эксперимента:

– изучение объекта или процесса осуществляется сериями, в которых исследуется изменение только одного параметра при фиксированных остальных [6];

– многофакторный эксперимент предполагает изменение всех параметров процесса в определенной последовательности, осуществляется путем построения плана эксперимента.

Экспериментальные методы просты, позволяют получить матема-

тическое описание объекта и/или процесса без изучения его структуры

13

и свойств. Однако полученная модель неприменима для условий, которые не исследовались (другие режимы, другой масштаб пространственный и временной).

Теоретический метод предполагает разработку математической модели на основе детального изучения объекта и/или процесса, понимания его физической сущности. Полученное математическое описание позволяет прогнозировать состояние объекта или направление протекания процесса при различных условиях. В этом случае математическая модель характеризуется определенной структурой и содержит следующие зависимости: материальные и физические балансы объекта и/или процесса; экспериментальные данные объекта и/или процесса; условия протекания технологического процесса; ограничения на диапазон изменения технологических параметров.

Разработанная на основе физических представлений математическая модель точно описывает свойства моделируемого объекта и/или процесса. Проверка адекватности модели осуществляется путем сравнения экспериментальных измерений на объекте и результатов расчета по построенной модели в аналогичных условиях.

Математическая модель, построенная на основе теоретических представлений, позволяет изучать сложный объект и/или процесс по частям с учетом иерархической структуры системы. Полученная модель позволяет прогнозировать состояние сложной системы при изменении ее параметров в широких диапазонах значений, исследовать разные режимы работы, масштабировать объект и/или процесс в пространстве и во времени [1, 4, 5], просчитывать нестандартные режимы работы системы. Разработка таких математических моделей основана на исследовании механизмов сложных процессов, что связано с трудностью создания надежной теории.

Экспериментально-аналитический метод является комбинацией двух вышеописанных методов и объединяет достоинства экспериментального и теоретического подходов. При исследовании объекта и/или процесса выдвигают гипотезу о физической сути изучаемого явления, предлагают соответствующее аналитическое описание, затем по ре-

14

зультатам математической обработки экспериментальных исследований находят параметры и вид уравнений математической модели. Такой способ позволяет получить надежное математическое описание объекта и/или процесса.

Контрольные вопросы

1.В каком случае используется эмпирический способ получения математической модели?

2.Какая модель позволяет прогнозировать состояние системы?

3.Какой метод получения математической модели предполагает планирование эксперимента?

4.Какая модель позволяет масштабировать химико-технологический процесс в пространстве и времени?

5.Как можно просчитать нестандартные режимы работы химикотехнологической системы?

4. АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Процедура построения математических моделей осуществляется последовательно, в соответствии с этапами, представленными на рис. 7 [1, 4, 5, 7, 8].

На стадии обследования объекта формулируется постановка задачи моделирования. На этапе обследования предусмотрены следующие процедуры:

−обработка литературных данных о моделировании и исследовании данного объекта;

−анализ экспериментальных данных об аналогичных объектах, выполнение необходимых исследований;

−идентификация основных факторов, механизмов, описывающих моделируемый объект, выявление параметров, влияющих на объект;

−проработка накопленного материала с целью разработки общего плана создания математической модели.

15

Концептуальная постановка задачи моделирования – это фор-

мулировка некоторой идеализированной модели объекта [1, 4, 5]. Для этого выдвигаются гипотезы о поведении объекта, его взаи-

модействии с окружающей средой, изменении внутренних параметров. На основании принятых гипотез устанавливаются параметры, характеризующие объект, а также закономерности, описывающие взаимосвязь параметров.

Рис. 7. Алгоритм разработки математической модели

Законченная концептуальная постановка позволяет сформулировать математическую постановку задачи моделирования [1, 4, 5].

Математическая постановка задачи моделирования – это со-

вокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования [1, 4].

Такие модели часто называют аппроксимационными зависимостями, их получают путем обработки различными методами аппрок-

16

симации экспериментального массива данных. Применяются модели такого типа очень редко.

Математическая модель считается корректной после всех контрольных проверок: физического смысла, характера зависимостей, размерности, порядков, экстремальных ситуаций, граничных условий.

Выбор и обоснование выбора метода решения задачи. Поиск решения задачи заключается в нахождении некоторых зависимостей искомых величин от исходных параметров модели. Методы решения задач подразделяют на аналитические и алгоритмические [1, 5, 6].

Аналитические методы применимы для относительно простых моделей и удобны для последующего анализа результатов. Аналитическое решение математической задачи предпочтительнее численного.

Алгоритмические методы заключаются в разработке алгоритма, который позволяет реализовать вычислительный эксперимент с помощью ЭВМ. В этом случае точность моделирования зависит от выбранного метода и его параметров (например, шага интегрирования). Алгоритмические методы являются трудоемкими в реализации, поскольку предполагают использование методов вычислительной математики, специального программного обеспечения и вычислительной техники [10, 11].

В математическом моделировании численные методы используются для корректных математических задач. Суть численных методов заключается в сведении математической задачи к конечномерной [1].

Реализация математической модели в виде программы для ЭВМ [1].

Разработка программы начинается с формирования ее структуры, определения количества программных модулей и схемы их взаимодействия. В каждом программном модуле выдвигаются требования по реализуемым функциям и создается алгоритм, реализующий эти функции.

В настоящее время используются разные технологии программирования: процедурная, функциональная, объектно-ориентированная и визуальная. При разработке программ удобно использовать стандартные программные элементы.

17

Проверка адекватности модели. Адекватность математической модели показывает соответствие результатов, полученных по разработанной модели, и экспериментальных данных. Проверка адекватности модели позволяет установить, с одной стороны, правильность выдвинутой гипотезы (сформулированной на этапах постановки задачи концептуальной и математической), с другой стороны – точность соответствия полученных результатов и экспериментальных данных.

Поэтому при возникновении проблем, связанных с адекватностью модели, проводят последовательный анализ возможных причин расхождения результатов моделирования и результатов эксперимента. Сначала осуществляют проверку модели и ее адекватности при заданных параметрах. Если модель неадекватна в исследуемой области параметров, то уточняют значения констант, начальные и граничные условия. Если нет положительных результатов, то оценивается правильность выдвинутой гипотезы. Изменение гипотезы означает возвращение ко второму этапу процесса разработки модели и предполагает изменение математической постановки задачи, методов ее решения, переработки программы и проверки измененной модели на адекватность [1, 4].

Практическое использование построенной модели и анализ ре-

зультатов моделирования. Направления использования моделей [4]:

−исследование объекта при разных условиях и режимах работы;

−применение в программных комплексах и системах автоматизированного проектирования в качестве моделирующих блоков;

−прогнозирование поведения сложных систем и объектов;

−оптимизация технологических объектов и процессов.

Оценка результатов моделирования позволяет:

1)модифицировать изучаемый объект, определить оптимальные условия его эксплуатации;

2)установить направления использования моделей;

3)оценить обоснованность гипотез, выдвинутых при математической постановке задачи;

4)рассмотреть возможность упрощения модели при сохранении требуемой точности и пути повышения ее эффективности.

18

Контрольные вопросы

1.Какие процедуры предусмотрены на стадии обследования объекта?

2.Что обозначает концептуальная постановка задачи моделирования?

3.В чем заключается поиск решения задачи?

4.Что показывает адекватность математической модели?

5.Какие существуют практические направления использования модели?

5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Химико-технологические объекты – это сложные физико-химичес- кие системы, имеющие двойственную детерминированно-стохас- тическую природу, переменные в пространстве и во времени [8, 9]. Через такие системы проходят многофазные и многокомпонентные потоки вещества. В каждой точке химико-технологического объекта происходит перенос импульса, энергии и массы. Химико-технологический объект обладает конкретными геометрическими характеристиками, поэтому математическое описание любого объекта – это некоторая совокупность зависимостей, связывающих различные переменные процесса в единую систему уравнений. Создание любой математической модели базируется на физическом описании объекта моделирования. Следовательно, математическое описание химико-технологического объекта содержит уравнения, описывающие общие физические законы, химические процессы, элементарные процессы, ограничения на переменные, а также различные эмпирические и полуэмпирические зависимости между разными параметрами процесса [4].

При ограниченных теоретических сведениях об объекте моделирования используются эмпирические модели, которые представляют собой систему уравнений, связывающих входные и выходные параметры объекта. Такие уравнения получают в результате математической обработки экспериментальных данных. Созданные в результате эмпирические модели имеют вид регрессионных уравнений.

19

Аналитический метод позволяет получать модели, которые описывают основные закономерности химико-технологического процесса, поэтому такие модели позволяют изучать общие свойства химикотехнологических объектов, относящихся к определенному классу. В состав математического описания химико-технологических объектов входят следующие уравнения [4]:

1)уравнения материального и теплового баланса с учетом гидродинамической структуры движения потоков (характеризует распределение в потоках температуры и концентрации);

2)уравнения элементарных процессов для потоков (описание процессов массо- и теплообмена, химических реакций);

3)полуэмпирические или эмпирические соотношения между различными параметрами процесса;

4)ограничения на параметры процесса.

К модели предъявляются определенные требования:

1)модель должна точно описывать потоки вещества и энергии достаточно простыми математическими зависимостями;

2)параметры модели определяются экспериментально;

3)для гетерогенных систем модели каждой фазы могут быть одинаковыми или различными в зависимости от процессов, протекающих в системе;

4)изменение гидродинамического режима системы изменяет вид модели.

Математическое моделирование позволяет решать следующие за-

дачи [1, 4]:

1)прямая задача заключается в создании математической модели химико-технологического объекта на основе его физико-химического описания. Выявляют элементарные процессы: движение потоков фаз; массообмен между фазами; теплопередача между потоками; изменение агрегатного состояния веществ; химические превращения. Используя иерархический принцип, составляют математическую модель химикотехнологического объекта, и дальнейшее исследование осуществляется с помощью вычислительного эксперимента;

20