Методика обучения школьников работать с математической задачей. Учебное пособие для студентов

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Соликамский государственный педагогический институт»

Л. Г. Шестакова

Методика обучения школьников работать с математической задачей

Учебное пособие для студентов

«Рекомендовано УМО по математике педвузов Волго-Вятского региона в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений

педагогического направления подготовки» Протокол № 17а заседания Совета УМО от 25 декабря 2012 г.

Соликамск

СГПИ

2013

3

введение

_________________________

____________________________________

Значение математической задачи для развития мышления школьника трудно переоценить. Работа с ней способствует формированию абстрактного мышления, повышает логическую грамотность. В процессе решения ученик овладевает приемами анализа и синтеза, выдвижения и проверки гипотез, правилами рассуждений, приобретает навыки умственного труда, приучается к самоконтролю. Поэтому работа с задачей должна занимать важнейшее место в школьном курсе математики.

С введением Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) роль и место задач не уменьшается. В публикации авторского коллектива под руководством А. Г. Асмолова «Разработка модели Программы развития универсальных учебных действий» [1] отмечается, что общий прием решения задач может быть рассмотрен в качестве сложного составного логического действия. Он включает: знания этапов решения (процесса), методов (способов) решения, типов задач, а также владение предметными знаниями (понятиями, определениями, правилами, формулами, логическими приемами и операциями). Аналогичное можно сказать и о способах доказательства (используемых при решении), которым отводится отдельное место и в названной публикации и в Примерной основной образовательной программе [20].

При работе с задачей, как правило, большая часть школьников испытывает затруднения. У многих учеников приемы работы с задачей так и не формируются вообще. Основная причина заключается в том, что они не зависят от числа решенных задач. Мы можем вместе с учеником разобрать двадцать, а двадцать первую он самостоятельно не решит. Очевидно, что этим приемам нужно специально обучать.

4

Предлагаемое пособие посвящено работе с математической задачей. В начале рассмотрены общие вопросы методики, которые включают в себя характеристику основных этапов работы. Более подробно описаны приемы поиска способа решения (доказательства), раскрыто их значение и приведены некоторые рекомендации по обучению учащихся. Затем освещена работа с несколькими типами задач, встречающимися в школе: текстовыми, геометрическими, логическими. При этом акцент делается на их разборе на всех четырех этапах. Там, где это возможно, даны схемы рассуждений, приводящие к разным способам решения.

В связи с усилением тенденции и развития у школьников познавательных универсальных учебных действий (далее УУД), в состав которых входит блок логических, в пособие включен параграф по логическим задачам. Рассмотрены возможности математических задач для формирования УУД.

С целью организации самостоятельной работы студентов и отработки у них профессиональных компетенций в пособие включено: примерное содержание семинарских занятий с теоретической частью и практикумом; списки тем для индивидуальных заданий, рефератов и докладов; литература.

5

1.Методика работы с задачей

1.1.Общая характеристика

__________________________________________

Стермином «задача» люди постоянно сталкиваются как на бытовом, так и на профессиональном уровне, решая те или иные проблемы. Т. Е. Демидова, А. П. Тонких отмечают, что проблема решения всех задач, в том числе и возникающих перед человеком

впроцессеегопроизводственнойилибытовойдеятельности,изучаетсяиздавна,однакодонастоящеговременинетобщепринятой трактовки самого понятия [9]. В общем значении задача трактуетсякакпоставленная цель,которуюнеобходимодостигнуть;как вопрос, требующий решения на основании определенных знаний и логических умозаключений. В педагогике она характеризуется наличием у учащихся определенной цели, стремлением получить ответ, желаемый результат с учетом имеющихся условий и требований, необходимых для решения.Всовременнойшколерешение задач служит одним из средств овладения системой знаний, формирования компетенций, а с переходом школы на ФГОС нового поколения и универсальных учебных действий.

Достаточно широкое распространение получил системный подход к задаче (Г. А. Балл, Ю. М. Колягин, JI. М. Фридман, А. Ф. Эсаулов и др.). Г. А. Балл предлагает следующее определение: «Задача в самом общем виде – это система, обязательными компонентами которой являются: а) предмет задачи, находящийся в исходном состоянии; б) модель требуемого состояния предмета задачи (эту модель мы отождествляем с требованием задачи)» [3, с. 32]. Ю. М. Колягин [13] понимает под задачей особую систему «человек – задачная ситуация», где вторым компонентом является множество взаимосвязанных элементов. Если человеку (вступившему в контакт с ситуацией) неизвестен хотя бы один элемент и появляется потребность установить его, то последняя становится для него задачей. Л. М. Фридман связывает

6

понятие задачи с проблемной ситуацией и отмечает, что «генезис задачи можно рассматривать как моделирование проблемной ситуации, в какуюпопадает субъект в процессесвоейдеятельности, а саму задачу – как модель проблемной ситуации, выраженной с помощью знаков некоторого естественного или искусственного языка» [26, с. 15].

Задача на уроке математики может выполнять различные функции и использоваться для достижения различных целей. Работа над ней способствует не только закреплению знаний учащихся, но и обобщению и систематизации, повышает уровень осмысленности знаний, делает их гибкими. Хорошо продуманные задачи стимулируют познавательную деятельность учащихся, помогают их активизировать, повышают интерес к предмету, мотивацию.

В Федеральном государственном образовательном стандарте школы отмечается, что в процессе изучения математики «обучающиеся развивают логическое и математическое мышление, получают представление о математических моделях; овладевают рассуждениями; учатся применять математические знания при решении различных задач и оценивать полученные результаты; овладевают умениями решения учебных задач; развивают математическую интуицию» [25, с. 13].

Переход школы на ФГОС нового поколения не отодвинет задачу на второй или третий план по одной простой причине: она с позиции формирования ключевых компетенций и универсальных учебных действий берет на себя сразу несколько функций. Во-первых, решение задачи (с разным конкретным содержательным наполнением) предполагает формирование у школьников умений использовать приобретенные знания в изменяющихся ситуациях (т.е. идет реализация компетентностного подхода). Во-вторых, общеизвестно, что задача направлена на формирование общеучебных умений (анализ текста, составление модели, плана решения, его реализация, проверка результата и др.), которые лежат в основе или являются составными частями универсальных учебных действий. ФГОС ООО перед математикой ставит задачу развития «умений применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач практического характера

7

и задач из смежных дисциплин с использованием при необходимости справочных материалов, компьютера, пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчётах» [25, с. 14–15].

Как легко заметить, возможности задачи большие, необходимо сделать так, чтобы они как можно полнее были реализованы на практике. Именно поэтому вопросам методики обучения школьников решать различные виды задач уделяется значительное место в публикациях разного уровня. Различные аспекты данной проблемы рассматриваются в работах О. Б. Епишевой, Ю. М. Колягина, Г. И. Саранцева, Н. Л. Стефановой, А. А. Темербековой, Л. М. Фридмана и других авторов.

1.2. Основные этапы работы с математической задачей

__________________________________________________

Рассматривая этапы работы с задачей, необходимо отметить, что в методике математики нет единой точки зрения на их количество. В одном случае может быть четыре, в другом – восемь и т.д. Мы будем придерживаться точки зрения тех методистов, которые выделяют четыре основных этапа, охватывающих всю работу с задачей:

–ознакомление с условием задачи, его изучение;

–поиск способа решения задачи;

–оформление решения;

–изучение полученного решения и работа с ним («взгляд назад», как назвал этот этап Д. Пойа).

На первом этапе нужно, чтобы ученик понял, о чем идет речь

взадаче. Здесь отвечают на три основных вопроса. Что неизвестно? Что дано? В чем состоит условие? Составляется краткая запись по тексту, делается рисунок, схема, таблица. Для выяснения того, как ученик понял задачу, учитель может предложить пересказать ее своими словами.

8

На втором этапе идет поиск способа решения. Результатом работы здесь является план решения. Подробно этап рассмотрен в следующем параграфе.

Третий этап – осуществление составленного плана решения. По ходу его реализации контролируется обоснованность и доказанность каждого шага. Нужно приучать учеников к тому, что если в найденном «решении» есть хотя бы один необоснованный момент, то задача считается нерешенной.

На четвертом этапе отвечаем на вопросы, можно ли:

–проверить результат;

–проверить ход решения;

–получить результат другим способом;

–в какой-либо другой задаче использовать полученный результат или метод решения?

В школе редко проводится работа с задачей на четвертом этапе. Однако изучение полученного решения и результата дает возможность углубить знания школьников, выявить и закрепить как общие приемы решения, так и частные, характерные для определенного типа задач, а также формирует универсальные учебные действия и ключевые компетенции.

Рассмотрим некоторые варианты работы с задачей на четвертом этапе, взяв за основу пособие Д. Пойа [19].

Способы проверки результата

Способы проверки результата могут быть следующие.

1.Введение полученного результата в текст задачи и проверка выполнимости всех условий, о которых идет речь. Этот способ эффективно использовать в задачах на движение, совместную работу, проценты, пропорции и др. В данном случае удобно включить результат в краткую запись, схему или таблицу и посмотреть – не получается ли противоречие.

2.Решение задачи другим способом и сопоставление результатов. Если в обоих случаях они получились одинаковыми, то вероятность правильности решения повышается.

9

Результаты совпали.

3. Проверка размерности. Наиболее эффективным является этот способ при проверке формул. Его часто используют на уроках физики, поэтому данный способ не будет новым для школьников. Например, ученики вывели формулу для нахождения площади треугольника через радиус вписанной в него окружности:

S = 0,5rP = 0,5r(a+b+c).

Проверяем размерность: см·см = см2.

Размерность совпала, так как см2 –­ единица площади. Способ проверки размерности можно использовать в отноше-

нии как конечного результата, так и промежуточных действий, когда, например, нужно проверить формулу, которую вспомнили, но есть некоторые сомнения в ее истинности. Однако ученики должны отдавать себе отчет в том, что проверка размерности не дает полной уверенности в правильности решения задачи. Например, для выражений S=rP и S=0,5ra этот способ не укажет на наличие ошибок.

10