Методика обучения школьников работать с математической задачей. Учебное пособие для студентов

Затем формируется умение видеть за буквенными обозначе-

ниями конкретные числа. Например, задача сформулирована в общем виде. Можно попросить ученика объяснить, как бы он ее решал в случае числовых данных.

При работе с задачами второй группы нужно иметь в виду, что фактически это задачи с параметрами. На этом обычно в школьном курсе внимание не акцентируется, но нужно помнить, что при разных интервалах значений параметра ответ на вопрос может быть различным. Есть задачи, решение которых явно требует определения границ изменения искомой величины.

Третья группа – задачи на вычисление отношения каких-либо двух (или нескольких) величин, при этом условие сформулировано в общем виде.

Задача 2. Трапеция делится диагоналями на четыре треугольника. Найти отношение площадей треугольников, прилегающих к ее боковым сторонам.

Задачитретьейгруппыпредставляютещебольшуютрудность. Здесь ученики, как правило, вообще не знают, с чего начать решение. Поэтому следует показать возможность использования трех приемов, охарактеризованных ниже.

Во-первых, часто помогает введение буквенных обозначений.

Их выбирают таким образом, чтобы можно было выразить оба искомых элемента. В процессе работы все введенные нами буквенные обозначения должны, например, сократиться или взаимно уничтожиться. Особо требуется обратить внимание учащихся на то, что в ответе может быть либо число, либо буквенное выражение, не содержащее введенных нами обозначений. Рассмотрим сформулированную выше задачу.

Что нужно найти? – SAOB : SCOD.

Как можно найти площадь треугольника? – Возможны два ответа на вопрос, приведенные ниже (табл. 12).

61

Конечно, совершенно не обязательно вводить обозначения. Они просто помогают сконцентрировать внимание учеников на необходимых элементах. С этой же целью используются цветные мелки для выделения нужных элементов на чертеже.

Во-вторых, при решении задач третьей группы бывает полез-

но рассмотреть, из чего состоят фигуры или куда входят в ка-

честве частей. В нашей задаче получим (рис. 26):

SAOB=SABD - SAOD; SCOD=SACD – SAOD.

Замечаем, что SADB=SAСD (основание у треугольников общее,

высоты равны). Тогда SAOB=SСОD.

В-третьих, при решении задач на отыскание отношений площадей (или объемов) часто бывает действенным прием их выражения через первоначальную (особенно, если первоначальная фигура разбита на две части).

62

Задача 3. АВСD – параллелограмм. Точка Е делит сторону АВ вотношенииm:n.Найтиотношениеплощадейполученныхфигур.

Дано: АВСD – параллелограмм,

АЕ:ВЕ=m:n (рис. 27).

Найти: SADE : SBCDE.

Рис. 27

Сложность этой задачи заключается в том, что ученики должны опустить высоту из точки D на сторону АВ. К этому их нужно подвести, а не просто сказать, как делать. Мотивом для проведения высоты из точки D является то, что именно этот отрезок одновременно является высотой параллелограмма и треугольника.

Второй сложный момент – выразить в общем виде длину отрезка АЕ через длину АВ. Если ученики затрудняются в этом, то сначала есть смысл заменить m:n конкретными числами, например 5:2 (табл. 13). Акцентировать внимание учеников на том, что умение выражать часть через целое является очень важным. Необходимо явно вскрыть суть процесса, вспомнить, что это стандартная задача на части.

Еще один сложный момент для понимания – способ вычисления SBCDE. Так как эта фигура – трапеция, то ученики захотят

найти ее по общей формуле S = BE + DC

2

можно, но тогда мы не покажем суть нашего приема. Следовательно, в другом случае (когда вторая фигура будет произвольной) ученики задачу не решат. Поэтому нужно подчеркнуть, что

SBCDE = SABCD – SADE.

63

4.2.Методика работы с задачей на построение

вшкольном курсе планиметрии

_________________________________

Задачи на построение встречаются на протяжении всего курса планиметрии. Знакомятся с приемами их решения учащиеся в конце 7 класса. Особенность заключается в том, что они доступны и понятны по постановке вопроса, но одновременно с этим сложны в содержательном и логическом планах. Каждая задача при правильной организации работы с ней может стать небольшим исследованием.

Значение задач на построение для развития учащихся велико. В ходе их решения школьники учатся применять полученные теоретические знания на практике, благодаря чему они углубляются и закрепляются, становятся более гибкими. У учеников развивается способность отчетливо представлять себе ту или иную геометрическую фигуру и формируется умение оперировать свойствами и признаками понятий. Задачи на построение повышают уровень осмысленности математического содержания, развивают логическое мышление и геометрическую интуицию. Они помогают отработке поисковых умений, приобщают школьников к посильным самостоятельным исследованиям, развивают творческие способности. Все это входит в состав познавательных универсальных учебных действий и учебно-познавательных компетенций.

4.2.1. Этапы решения задачи на построение

Задача на построение предполагает выполнение и описание четырех общеизвестных этапов работы: анализа, построения, доказательства и исследования. Только при наличии их всех задача считается решенной. Дадим краткую характеристику каждому из названных этапов, принятых в геометрии.

64

Анализ представляет собой не просто изучение текста задачи, здесь устанавливаются взаимосвязи между элементами искомой фигуры. Заключением этого этапа является выделение способа ее построения. При проведении анализа предполагают, что искомая фигура построена, и рассматривают ее различные свойства, выделяя те, которые могли бы помочь при построении (рис. 10). В задачах на построение все рассуждения, приводящие к способу решения, оформляются письменно.

Этап построения предполагает осуществление найденного в ходе анализа плана и получение искомой фигуры. При этом используются только те инструменты, которые указаны в задаче, чаще всего это циркуль и линейка. Параллельно принято проводить описание каждого шага. Причем после того, как разобраны простейшие построения, на них можно ссылаться.

На третьем этапе проводится доказательство того, что построенная фигура является искомой. В школе этот этап часто опускается, а в тех случаях, когда выполняется, ученики не всегда понимают его необходимость. Для устранения названного недоразумения их нужно познакомить с сущностью несовершенного анализа, который использовали на первом этапе.

Исследование – это заключительный этап работы с задачей на построение.Здесьрешающийвыясняет,во-первых,единственность построения и, во-вторых, условия, при которых оно невозможно.

Необходимо отметить, что в настоящее время в школе при работе с задачами на построение часто проводят только первый и второй этапы. Такой подход ограничивает возможности этих задач. Отсутствие третьего этапа оказывает отрицательное влияние на формирование логической строгости рассуждений. Ученик не учится распознавать малообоснованные места. Отказ от исследования оставляет задачу незавершенной. Школьники привыкают рассматривать один из возможных случаев, наиболее удобный им. Остаются невостребованными возможности исследования для систематизации знаний, их обобщения и переосмысления.

Несколько иная точка зрения представлена в учебнике А. В. Погорелова «Геометрия 7–11». Автор отмечает, что задача на построение считается решенной, если указан способ построения фигуры и доказано, что результат удовлетворяет всем требовани-

65

ям условия. Из этого можно сделать вывод о том, что сам процесс построения фигуры, его подробное описание и исследование играют второстепенную роль. Конечно, нет смысла решать все задачи (и со всеми учащимися) по четырем этапам. Но показать все их, объяснить суть и назначение каждого, а для сильных учеников организовать отработку умений необходимо.

4.2.2. Первые задачи на построение

Первые задачи на построение на плоскости обычно разбираются подробно. Перед тем как их решать, нужно четко определить, что можно построить при помощи циркуля и линейки. Иначе суть задач на построение, скорее всего, не будет понятна ученикам.

Спомощью линейки можно провести прямую: произвольно; произвольно через данную точку; через две данные точки. Особо обращаем внимание школьников на то, что нельзя откладывать отрезок данной длины или измерять его. Ограничения можно пояснить тем, что в задачах на построение имеется в виду линейка без шкалы. На самом деле причина лежит глубже – в погрешности шкалы линейки и измерений, невозможности откладывать с помощью линейки отрезок, длина которого равна иррациональному числу единиц.

Спомощью циркуля можно начертить окружность с центром

вданной точке данного или произвольного радиуса. Учащиеся легко заметят, что отрезок, равный данному, строится с помощью циркуля и линейки. Можно предложить им самостоятельно назвать шаги построения. Сначала по линейке проводим прямую, отмечаем на ней точку. Затем проводим окружность данного радиуса с центром в отмеченной точке.

В школьных учебниках обычно разбирается шесть задач:

1) построить треугольник со сторонами, равными данным отрезкам;

2) построить угол, равный данному;

3) построить биссектрису данного угла;

66

4)разделить отрезок пополам;

5)через данную точку провести перпендикуляр к данной прямой (или из произвольной точки данной прямой восстановить перпендикуляр);

6)через данную точку провести прямую, параллельную данной. Перечисленные задачи являются основными (ключевыми),

они используются при решении других более сложных. Эти шесть задач нужно подробно разобрать с учащимися и оформить. Рассмотрим один из возможных вариантов работы с первой задачей.

аДано: отрезки а, b, с (рис. 28).

bПостроить: АВС.

c

Рис. 28

Анализ. Показать, как проводится анализ, на примере первых задач очень трудно, так как все связи лежат на поверхности.

она лежит на окружности (А,r=b). Аналогично получаем, что точка С лежит на окружности (В, r=а). Значит, точка С принадлежит пересечению этих двух окружностей.

Построение, его описание и доказательство того, что полученный треугольник удовлетворяет условию, трудности не представляют, поэтому перейдем сразу к исследованию.

Первый вопрос исследования – всегда ли треугольник может быть построен. Желательно, чтобы ученики сами заметили, что вопрос о существовании треугольника сводится к построению третьей вершины АВС. (Пусть для определенности она – С.) Для этого необходимо, чтобы окружности с центрами в точках А

67

и В пересекались и точка пересечения не лежала на прямой АВ. Таким образом, необходимо исключить четыре случая.

Обобщая случаи на рисунках 30 и 31, получим необходимость требования а+b>c.

Обобщая случаи на рисунках 32 и 33, получим необходимость требования |а–b|<c.

Делаем вывод, что треугольник может быть построен лишь в том случае, когда выполняются два условия: а+b>с и |а–b|<c. Конечно, их можно заменить другими (более распространенными):

68

Второй вопрос исследования – имеет ли задача единственное решение.Привыполнениипостроенияученики,скореевсего,уже заметили, что если выполняется (*), то окружности пересекаются в двух точках. Желательно акцентировать внимание, что какую бы точку пересечения мы ни взяли, получатся равные треугольники. Обоснование этого вывода у школьников не вызывает затруднений (признак равенства треугольников по трем сторонам).

Отметим, что в пособии рассмотрен один из возможных вариантов работы с задачей на построение. Цель учителя – найти такой вариант, который был бы доступен учащимся его класса и принципиально не противоречил бы общепринятому в математике уровню строгости.

69

5. Логические задачи

___________________________________________

Овладение логической культурой предполагает ознакомление учащихся с основами формальной логики, которая в течение длительногоразвитиянакопилатеоретическиобоснованныеиоправдавшие себя методы и приемы рационального рассуждения. Элементы логики введены в школьный курс математики. Конечно, в рамках математики (без выделения дополнительных часов) изложить весь курс формальной логики вряд ли удастся. Но использовать ее возможности для формирования логического мышления и универсальных учебных действий (особенно познавательных, в состав которых входят логические) просто необходимо. В качестве одного из средств можно использовать логические задачи, которые способствуют формированию умений аргументировать, рассуждать, доказывать, опровергать и т.д. Кроме того, они помогают создать на занятии положительный эмоциональный фон, повысить интерес. Рассмотрим ряд логических задач. При работе с ними тщательно анализируется текст. Ни условие, ни вопрос задачи не дополняются никакой информацией.

Достаточно распространенными являются задачи, решаемые с помощью таблицы (возможно, потребуется составить несколько таблиц). Рассмотрим ряд примеров, при этом постараемся раскрыть саму «кухню» рассуждений. Использование приведенных заданий в работе с учеником, думается, поможет последнему овладеть логическими универсальными действиями.

Задача 1. В музыкальном кружке занимаются три школьника (Борис, Семен и Вадим), умеющих играть на скрипке, флейте, баяне, кларнете, гитаре и трубе. Известно следующее:

1)Семен самый высокий;

2)мальчик, играющий на скрипке, меньше ростом играющего на флейте;

3)школьники, играющие на скрипке и флейте, и Борис любят сладкое;

70