Методика обучения школьников работать с математической задачей. Учебное пособие для студентов

ного из мест, и что все четыре предсказания болельщиков были правильны. Как кончился забег?

Задача 5. Семья, состоящая из отца, матери и трех дочерей (Ани, Веры и Светы), купила телевизор. Каждому, конечно, хотелось посмотреть передачу в первый вечер.

–Нам нужно распределить обязанности, чтобы не остаться без ужина,– сказал папа.

–Правильно, – поддержала мама. – Но только когда ты будешь смотреть передачу, я тоже сяду у телевизора.

–Хорошо, – согласился папа. – Кому из нас повезло, так это Свете и Вере, – улыбнулся папа.

–По крайней мере, одна из них получит удовольствие.

–А нам с тобой, Анечка, придется смотреть передачу только по очереди, – сказала мама.

–Я согласна, – ответила Аня. – Только ты нам разреши с Верой вместе работать на кухне или вместе быть у телевизора.

–Пожалуй, Свету одну нельзя оставлять, – сказал папа. – Если она пожелает смотреть передачу, то придется и мне с Верой посидеть с ней.

Все предложения были приняты. Кто смотрел передачу в первый вечер?

Задача 6. Из числа 12345678…5657585960 вычеркнуть 100

цифр так, чтобы оставшееся число было наибольшим.

Задача 7. Один человек выпивает бочонок кваса за 14 дней, а вместе с женой выпивает тот же бочонок кваса за 10 дней. Нужно узнать, за какое количество дней жена одна выпивает такой бочонок кваса.

Задача 8. Одна кувшинка затягивает пруд за 30 дней. Известно, что за сутки площадь, занятая кувшинкой, увеличивается в 2 раза. За какое количество дней затянут пруд две кувшинки?

Задача 9. Охотник с собакой возвращается домой. Когда они оказываются на расстоянии 1,5 км от ворот дома, собака начинает вести себя следующим образом: она бежит к воротам, затем разворачивается снова к хозяину. Так она бегает между охотником и воротами до тех пор, пока охотник не входит в ворота. Скорость собаки в 2 раза больше скорости охотника. Сколько всего километров пробежит собака, двигаясь таким образом?

81

Задача 10. Братьев и сестер у меня поровну. У моей сестры вдвое меньшесестер, чем братьев.Сколько всего сестер и братьев?

Задача 11. Имеются три сосуда вместимостью 11, 7 и 5 л. Одиннадцатилитровый сосуд полон вина, а остальные пусты. Как в результате нескольких переливаний, пользуясь только имеющимися сосудами, отмерить 8 л вина?

Задача 12. Иван-царевич собрался на бой со Змеем Горынычем, имеющим 3 головы и 3 хвоста. У него есть меч, которым он может срубить либо одну голову, либо две головы, либо один хвост, либо два хвоста. Если у Змея Горыныча срубить один хвост, то вырастают два хвоста; если срубить два хвоста, то вырастает голова; если срубить голову, то вырастет голова; если срубить две головы, то ничего не вырастет. За сколько ударов Иван-царевич может срубить Змею все головы и хвосты?

Задача 13. Одного старика спросили, в скольких войнах он участвовал. Старик ответил: «В стольких войнах, сколько будет,

столько, сколько лет его сыну. А мой возраст ближе к 90, чем к 100». В скольких войнах участвовал старик?

Задача 14. Имеется 7 пустых бочек, 4 полных и 10 полупустых бочек с медом. Требуется разместить их на трех машинах так, чтобы на каждой из них оказалось одинаковое количество меда и одинаковое число бочек.

Задача 15. Бутылка и стакан уравновешиваются кувшином; бутылка сама по себе уравновешивается стаканом и блюдцем; два кувшина уравновешиваются тремя блюдцами. Сколько надо поставить стаканов, чтобы уравновесить бутылку?

82

6. Работа с задачами как средство формирования

универсальных учебных действий

___________________________________________

За последние годы в обществе произошли кардинальные изменениявпредставленииоцеляхобразованияипутяхихреализации. На первое место выходит задача подготовки учащихся к реальной жизни, к тому, чтобы занять активную жизненную и гражданскую позицию, уметь работать в группе, иметь возможности быстро переучиваться в соответствии с требованиями рынка труда и социального заказа. Изменения приоритетных установок в системе образования обусловили переход к новой парадигме «выпускника школы, подготовленного к жизнедеятельности», которая положена в основу концепции ФГОС школы второго поколения, нацеленного в первую очередь на реализацию развивающего потенциала. Во главу угла становится формирование ключевых компетенций

иуниверсальных учебных действий (УУД). К знаниям, умениям

инавыкам в этом случае подходят как к результату соответствующих видов целенаправленных действий, которые осваиваются в процессе активной деятельности самих учащихся.

Рассмотрим ряд понятий, характерных для ФГОС школы. Не вдаваясь в анализ сущности компетентностного подхода, который представлен в работах А. В. Хуторского, И. А. Зимней, О. Е. Лебедева, И. М. Осмоловской и других авторов, кратко остановимся на основных понятиях. Опираясь на работы А. В. Хуторского [28], под компетенцией будем понимать совокупность взаимосвязанных качеств личности (знаний, умений, навыков, способов деятельности), задаваемых по отношению к определенному кругу предметовипроцессовинеобходимых,чтобыкачественноипродуктивно действовать по отношению к ним. Компетентность – владение, обладание человеком соответствующей компетенцией, включающей его личностное отношение к ней и предмету деятельности. Перечень ключевых образовательных компетенций выберем следующий:

83

–ценностно-смысловая;

–общекультурная;

–учебно-познавательная;

–информационная;

–коммуникативная;

–социально-трудовая;

–компетенция личностного самосовершенствования. Отметим, что теория УУД в педагогической литературе в

настоящее время не разработана до конца. На основе текстов ФГОС, примерных программ и публикаций А. Г. Асмолова, Г. В. Бурменской, И. А. Володарской, О. А. Карабановой, Н. Г. Салминой можно отметить, что устоявшегося определения УУД нет. Рассмотрим некоторые из них.

УУД – это способность субъекта к саморазвитию и самосовершенствованию путем сознательного и активного присвоения нового социального опыта; совокупность действий учащегося, обеспечивающих его культурную идентичность, социальную компетентность, толерантность, способность к самостоятельному усвоению новых знаний и умений, включая организацию этого процесса [24].

А. Г. Асмолов [2] трактует УУД как обобщенные действия, порождающие широкую ориентацию учащихся в различных предметных областях познания и мотивацию к обучению, и предлагает рассматривать данное понятие с двух позиций. Он делит приведенное выше определение на две части. В широком значении термин «универсальные учебные действия» – это способность к самосовершенствованию и саморазвитию путем сознательного и активного освоения нового социального опыта, т.е. умение учиться. В более узком (собственно психологическом)

– совокупность действий учащегося, обеспечивающих его культурную идентичность, социальную компетентность, толерантность, способность к самостоятельному получению и усвоению новых знаний и умений, включая организацию этого процесса.

Концепция УУД [2] рассматривает компетентность как «знание в действии» и использует опыт реализации компетентностного подхода, а именно его акцент на приобретение учащимися способности использовать на практике полученные знания, уме-

84

ния и навыки, готовности и мотивации к результативным действиям. Поэтому при разработке программ развития УУД (как школы, так и по отдельным предметам) с использованием положений си- стемно-деятельностного подхода идет ориентация на интегрирование достижений педагогической науки и практики, в том числе компетентностной и ЗУНовской парадигм образования.

Среди видов УУД называют следующие: личностные; регулятивные (включающие также действия саморегуляции); познавательные; знаково-символические; коммуникативные [20]. Дадим им краткую характеристику с опорой на глоссарий [24].

Личностные УУД отвечают за ценностно-смысловое определениеучащихся(умениесоотноситьпоступкиисобытияспринятыми этическими принципами, знание и соблюдение моральных нормиумениевыделитьнравственныйаспектповедения),ориентацию в социальных ролях и межличностных отношениях. Регулятивные действия (включающие также саморегуляцию) обеспечивают организацию своей деятельности. Познавательные

– это система способов познания окружающего мира, построения собственного поиска, исследования и совокупность операций по обработке, систематизации, обобщению и использованию полученной информации. К этой группе можно отнести владение методами познания окружающего мира; выполнение учеником логических приемов и операций; способность осуществлять поисковую и исследовательскую деятельность. Часто познавательные УУД делят на две подгруппы: общеучебные и логические универсальные учебные действия. Знаково-символические УУД обеспечивают конкретные способы преобразования учебного материала; представляют действия моделирования, выполняющие функции отображения учебного материала; преобразования модели; выделения существенного; абстрагирования от конкретных ситуативных значений; формирования обобщенных знаний. Коммуникативные действия обеспечивают социальную компетентность и сознательную ориентацию учащихся на позиции других людей, умение слушать собеседника и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество в группе, со сверстниками и взрослыми.

85

Рассмотрим возможности работы с задачей для формирования УУД, а через них и ключевых компетенций. При этом будем исходить, во-первых, из специфики учебного предмета «Математика» (учитывать его главную функцию и ведущие компоненты). Во-вторых, как известно, на результат обучения (задача формирования УУД не является исключением) оказывают решающее влияние отбор и структурирование содержания образования, выбор методов, средств, приемов, форм обучения.

В рекомендациях для школ и педагогов, представленных в публикации «Разработка модели Программы развития универсальных учебных действий» [2], указывается на необходимость полноценного освоения учеником всех компонентов учебной деятельности, которые включают:

1)познавательные и учебные мотивы;

2)цель;

3)учебную задачу;

4)действия и операции (ориентировка, преобразование материала, контроль и оценка).

Отсюда можно сделать вывод о том, что работа с задачами на этапах (которые были охарактеризованы ранее) направлена на формирование названных составляющих учебной деятельности. Школьное математическое образование вообще и в частности работа с задачами призваны внести значительный вклад в формирование познавательных УУД. При этом происходит фор-

мирование у учащихся действий двух видов: специфических для математики (вычислять, составлять и решать уравнения, переводить на язык математики условия задач и т.д.) и общелогических (анализировать, сравнивать, выявлять закономерности и др.). Рассмотрим возможности этой работы, которые для удобства представим в виде таблицы 26.

86

Таблица 26

Соотнесение познавательных УУД с этапами работы с задачей и теоремой

87

продолжение таблицы 26

Примечание *: номера этапов работы с задачей даны в соответствии с 1.2. данного пособия.

Характеристики познавательных УУД представлены в соответствии с публикацией «Разработка модели Программы развития универсальных учебных действий» [2]. При этом те составляющие, которые в большей мере формируются на других учебных предметах (например, на русском языке, литературе), в таблицу 26 не включены. Отметим, что логические задачи также будут работать на формирование выделенных универсальных действий.

Следующая группа УУД, на освоение которой решение математическихзадачоказываетбольшое(еслинесказатьрешающее) влияние, – это знаково-символическиеУУД. В обобщенном виде эта группа характеризуется двумя видами работы и действиями:

–моделирование – преобразование реального объекта (процесса, явления) в модель (графическую, знаково-символическую, математическую и др.);

–преобразование модели – изменение модели (переход от одного вида к другому, с одного языка на другой) с целью выявления общих свойств, принципов, закономерностей, определяющих данную предметную область.

Как легко заметить, именно эти действия формируются при переводе текста задачи на язык моделей на этапе составления

88

краткой записи, схемы, графика, таблицы, символического рисунка, формулы, числового выражения, уравнения, неравенства

инаоборот (переход от модели к конкретному содержанию). На отработку действия по преобразованию модели работает решение геометрических задач координатным, векторным методами

идр. Кроме того, различные виды математических моделей используются и на других учебных предметах.

Формирование регулятивных УУД (включающих целеполагание, планирование, прогнозирование, контроль, оценку, коррекцию, саморегуляцию) средствами математических задач обеспечивается за счет проведения работы на всех этапах, логического развертывания и структурирования решения, доказательства,реализациидеятельностногоподходакорганизациипроцесса обучения. Решение любой задачи требует самоорганизации: осознания цели, составления плана и его воплощения, проверки результата, коррекции или применения в других условиях.

В личностных УУД выделяется два вида действий:

–смыслообразования;

–нравственно-этического оценивания усваиваемого содержа-

ния, исходя из социальных и личностных ценностей, обеспечивающих моральный выбор.

Работа в первую очередь связана с мотивацией учебной деятельности и значимостью для школьника изучаемого содержания, а также осваиваемого им опыта. Поэтому здесь играет роль то, как учитель преподнесет материал, сможет ли раскрыть его практическую и личностную значимость. В связи с этим можно использовать задачи с межпредметным, практическим, занимательным содержанием, старинные задачи, привлекать материал из истории математики и т.д.

Остановимся на коммуникативных УУД, куда входят дей-

ствия:

–планирование учебного сотрудничества с учителем и учениками;

–постановка вопросов на этапе поиска и сбора информации;

–разрешение конфликтов, принятие решения, выработка плана совместных действий и его реализация;

89

– умение выражать свои мысли в соответствии с целями и условиями коммуникации; владение монологической и диалогической речью.

С позиции математики необходимо добавить владение математической речью и аналитическими языками, а также умение

иготовность взаимодействовать с учителем и одноклассниками на материале математики. Работа с задачей (как и весь курс математики) непосредственно направлены на это. Эффективными видами деятельности являются: пояснения и комментарии учеников к решению, письменные выкладки, устное доказательство, постановка вопросов, формулирование корректных ответов, объяснение обнаруженных ошибок и т.д. Кроме того, на уроках и внеклассных мероприятиях применяются приемы работы в парах

игруппах, подготовка и защита проектов, что также будет способствовать формированию коммуникативных УУД.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что задачи могут выступать эффективным средством для формирования УУД. Они должны занимать значительное место в разрабатываемых школами в соответствии с требованиями ФГОС основных образовательных программах.

90