Методика обучения школьников работать с математической задачей. Учебное пособие для студентов

Определение 2. Достаточным для А называется условие В, из которого вытекает (логически следует) А, т.е. верно утверждение

«Если В, то А» (В=>А).

Примером является утверждение: для того чтобы число делилось на 3, достаточно, чтобы оно делилось на 6. Постройте самостоятельно утверждение «Если В, то А» и проверьте по определению его справедливость. Сравните первое и второе определения. Обратите внимание на то, что если необходимое условие используется при построении прямой теоремы, то достаточное – обратной. Как мы говорили о том, что необходимое условие может и не быть достаточным, аналогично достаточное условие не обязательно должно являться необходимым. Рассмотрим наш пример (табл. 28).

Значит, делимость числа на 6 является достаточным, но не является необходимым условием его делимости на 3.

Задание1. В каждом из следующих предложений вместо многоточия поставьте: «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно».

1.Для того чтобы сумма двух чисел была четным числом, …, чтобы каждое слагаемое было четным.

2.Для того чтобы число делилось на 10, …, чтобы оно делилось на 2 и на 5.

3.Длятогочтобысуммадвухнатуральныхчиселбылабольше 10, …, чтобы хотя бы одно из слагаемых было больше 5.

101

4.Для того чтобы произведение (х – 4)(х + 7)(2х + 6) было равно нулю, …, чтобы х = –3.

5.Для того чтобы два квадрата имели одну и ту же площадь, …, чтобы стороны их были равны.

6.Для того чтобы наступило солнечное затмение, …, чтобы Солнце попало в тень Луны.

Задание2. Для того чтобы в одной окружности дуги, меньшие 180º, были равны, необходимо и достаточно, чтобы стягивающие их хорды были равны. Какими двумя высказываниями можно заменить данное утверждение?

Задание3. Составьте несколько высказываний с сочетаниями: «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». Проверьте их правильность.

102

Приложение 2

Свойства и признаки понятий

Из приложения 1 вы узнали, что такое определение и как оно строится. В этом тексте вы познакомитесь еще с несколькими понятиями, часто использующимися в школе. После изучения предложенного содержания вы должны будете ответить на следующие вопросы.

1.Что такое свойство? Правила его построения.

2.Что такое признак? Правила его построения.

3.Что такое характеристическое свойство? Правила его построения.

4.Чем различаются между собой понятия «свойство», «признак», «характеристическое свойство»?

* * *

Прочитав вопросы, возможно, кто-то подумает, что все это уже знает. В таком случае мы предлагаем проверить, действительно ли это так. Ответьте на вопросы (лучше письменно) и приступайте к чтению текста. В конце проверите, не изменится ли ваша точка зрения.

Обычно под свойством понимают высказывание, которое содержит в себе необходимое условие принадлежности объекта к данному виду. Следующее предложение, например, будет свойством: «Если треугольник – равнобедренный, то углы при его основании равны».

Другими словами, свойство – это условие, которое можно получить (или доказать), исходя из того, что объект принадлежит к данному виду. Например, из того, что ABCD – ромб, можно утверждать:

–диагонали у него взаимно перпендикулярны;

–ABCD – четырехугольник;

–ABCD – параллелограмм и т.д.

Все это – необходимые условия, которые могут быть использованы для построения свойств ромба. Какие же общие правила конструирования свойств?

103

Свойство любого понятия выстраивается следующим обра-

зом: «Если объект является _____________, то __________». (*)

Так, еслифункцияявляетсялинейной,тоееграфик–прямая.

Объект – функция, вид – линейная,

необходимое условие – график – прямая.

Сформулируйтесамостоятельнонесколькосвойств.Выделите в них объект, вид и необходимое условие.

Перейдем к рассмотрению признака.

Признак – это утверждение, содержащее в себе достаточное условие, по которому можно отнести объект к данному виду.

Так,есливчетырехугольникедиагоналипересекаютсяводной точке и делятся ею пополам, то он является параллелограммом.

Объект – четырехугольник; вид – параллелограмм;

достаточное условие – диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Задание 1. Сравнивая со структурой свойства (*), напишите общую схему построения признака. Сформулируйте несколько признаков, выделите объект, вид, достаточное условие.

Рассмотрим характеристическое свойство. В математике часты случаи, когда одно и то же условие является и свойством, и признаком понятия. Приведем пример.

1.Если у четырехугольника диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам, то четырехугольник является параллелограммом. Это признак параллелограмма.

2.Если четырехугольник является параллелограммом, то его диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Это свойство параллелограмма.

Такое условие, которое является одновременно и признаком,

исвойством, называется характеристическим свойством поня-

тия. Сформулировать его можно двумя способами, используя сочетания «необходимо и достаточно» или «тогда и только тогда».

СПОСОБ 1. Четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

104

СПОСОБ 2. Для того чтобы четырехугольник являлся параллелограммом необходимо и достаточно, чтобы его диагонали пересекались в одной точке и делились ею пополам.

Вспомните несколько характеристических свойств и сформулируйте их двумя способами.

Последнее, на чем остановимся, – это особенности доказательства характеристических свойств. Рассмотрим задачу.

Задача. Докажите, что четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Как записать условие? Так как характеристическое свойство является одновременно и признаком, и свойством, то нужно доказать сначала одно, а затем другое. Таким образом, задача разбивается на две части (табл. 29).

Задание 2. Докажите следующее утверждение. Для того чтобы параллелограмм являлся ромбом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали являлись биссектрисами углов.

Задание 3. Приведите примеры свойства, признака и характеристического свойства одного и того же понятия.

Задание 4. Найдите ошибку в тексте. Один ученик рассуждал так. Известно, что если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм – ромб. Нам дан параллелограмм, диагонали которого не являются взаимно перпендикулярными. Следовательно, этот параллелограмм не является ромбом. В чем ошибка?

Задание 5. Вернитесь к вопросам, сформулированным в начале текста, и дайте на них ответы.

105