Методика обучения школьников работать с математической задачей. Учебное пособие для студентов

скорости первого. Кто из туристов окажется в конечном пункте своего маршрута раньше?

Сделаем схематичный рисунок 17. Рисунок сделан точно по условию задачи (хотя там и не сказано, что второй турист сначала едет на поезде). Он маскирует самый красивый способ решения, уводит в сторону.

Рис. 17

Рассуждения здесь удобнее начать с отрезка СВ. Так как на СВ (который составляет ровно половину пути АВ) второй турист двигался в 2 раза медленнее первого, то ему потребовалось времени в 2 раза больше. Следовательно, за то время, когда второй пройдет СВ, первый преодолеет весь путь АВ. Значит, первый турист попадет в В раньше второго, так как последнему потребуется еще какое-то время для того, чтобы проехать АС на поезде.

При работе с этой задачей можно спросить (после того, как ученики над ней уже подумают), изменится ли она, если сначала второй турист будет идти, а потом ехать. В этом случае детям будет легче обнаружить способ решения.

В 5 классе ученикам часто приходится решать задачи на цену покупки, например, рубашка дороже галстука в 4 раза (или на 30 рублей). Вместе они стоят 100 рублей. Найти стоимость рубашки и стоимость галстука. Кажется, задача очень простая, но, как показывает практика, школьники часто допускают ошибки. Одна из причин – не могут уловить ее суть. В жизни им не приходится выполнять подобные действия. Дети со слабо развитой способностью к абстрактному мышлению (а в 5 классе их еще большинство) нуждаются в наглядной опоре, то есть рисунке. Краткая запись им помогает мало. «Нарисовать» стоимость проблематично, поэтому начать нужно с задач, составленных на другом содержании (мешки, коробки с мукой, сахаром, крупой и т.д.).

Задача 5. В двух мешках сахара 40 кг. Известно, что в одном их них в 4 раза больше, чем в другом. Найти массу сахара в каждом мешке.

41

этого проверяем, как получилось.

Рисунок без четкой разбивки на части не может помочь слабому школьнику. Поэтому в том случае, когда при проверке на доске появляется именно такой, то можно сказать ребенку, что на нем текст задачи отражен не полностью. Затем спросить, как показать, что во втором мешке сахара в 4 раза больше, чем в первом. На предложенном рисунке 18 слабый ученик отчетливо видит пять частей, на которые распределяются 40 кг сахара.

Чтобы прием решения задачи не прошел незамеченным, нужно его обобщить, акцентировать внимание. Для этого можно (после того, как задача решена) спросить учеников, почему они 40 делили на 5, а не на 4. Попросить сформулировать самостоятельно задачу, при решении которой пришлось бы, например, 60 делить на 3 (или 40 на 8).

Только после этого можно дать задачу о рубашке и галстуке. Нужно быть готовым к тому, что ученики захотят сделать рисунок. Можно предложить изобразить стоимость отрезками (как в случае с чашкой и блюдцем).

Рассмотрим еще один пример.

Задача 6. В двух пачках 70 тетрадей. В одной из них на 10 тетрадей больше, чем в другой. Сколько тетрадей в каждой пачке?

42

– взять из первой 5 тетрадей и положить во вторую.

Все три варианта достойны внимания, поэтому можно решить задачу тремя способами и сопоставить их между собой. После этого, например, можно предложить самостоятельно решить несколькими способами задачу, в которой будет больше не на 10, а на 11. Ученикам придется отказаться от третьего способа уравнивания. На основе проведенной работы обобщаем основную идею решения. В заключение хорошо попросить школьников самостоятельно составить подобную задачу.

Остановимся еще на одном типе задач, который вызывает у школьников много затруднений. В них требуется найти число по его дроби. Данный тип задач начинают решать в 5 классе, он имеет три разновидности. Рассмотрим их на конкретных примерах.

Задача 7. Найти 5 от числа 21.

Задача 8. Найти число7 , если 3 от него равно 12.

5

Задача 9. Найти несократимую дробь, которую составляет число 15 от числа 65.

Дети часто путают между собой эти задачи, особенно первую и вторую. А это значит, они не понимают смысла. Ученикам нужна зрительная опора, поэтому по тексту выполняем рисунок. Посмотрим, как это можно сделать на примере первой задачи.

Вспоминаем сущность дроби: 57 означает, что целое делится на 7 равных частей и берется 5 из них. С опорой на рисунок 20 (вы-

деляем 5 другим цветом) выясняем, что задача сводится к вычис- 7 1

лению, чему равна 7 часть.

?5/7 Аналогичный вид будет иметь

43

3.2. Алгебраический способ

_________________________________

При решении задачи алгебраическим способом ответ на вопрос находится в результате составления и решения уравнения. Причем на его вид будет оказывать влияние выбор величин, обозначаемых переменными, и ход рассуждений при установлении зависимостей между ними. Поэтому, как правило, текстовая задача имеет несколько разновидностей решения алгебраическим способом. Обязательной является проверка полученных корней уравнения (системы) по смыслу задачи. Этот вид работы не относится к 4-му этапу, им заканчивается третий. Ученики должны осознать,чтоневсегдакореньуравнениябудетрешениемзадачи.

Школьники испытывают много затруднений. Наиболее распространенным является то, что они не могут ввести буквенное обозначение (переменную) или делают это неудачно. После введения буквенного обозначения не могут включить его в текст задачи и перевести условие на математический язык (т.е. составить уравнение или систему). Как легко заметить, причина перечисленных затруднений та же самая, что и для арифметического способа (низкий уровень осмысления текста задачи и своих действий, несформированная взаимосвязь между естественным языком и математическим).

Одним из эффективных средств устранения затруднений считают отработку у учащихся умения сводить условие задачи в таблицу. Нужно отметить, что это умение, конечно, оказало бы значительное влияние на обучение решению текстовых задач, но проблема заключается в том, как его формировать. Прежде чем составить таблицу по задаче, нужно понять ее, выделить элементы и установить связи между ними. А именно в этом и состоит затруднение. Круг замкнулся.

Рассмотрим на конкретном примере организацию работы с задачей, решаемой алгебраическим способом. В ней также могут быть выделены четыре этапа, охарактеризованные ранее.

44

Первый этап (ознакомление с содержанием задачи) осуществляется теми же приемами, что и для арифметического способа. Особенностью является лишь то, что в краткую запись, таблицу, схему часто вводят переменную.

Задача. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45 % меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный сплав содержал 60 % меди?

Составим по тексту задачи таблицу. Для этого необходимо получить ответы на вопросы, сформулированные примерно следующим образом. Представим вопросы, ответы на них и выводы, которые должны сделать учащиеся. В процессе работы заполняем таблицу 6.

45

Если ученики правильно ответили на поставленные вопросы и сделали выводы, то они, скорее всего, поместят задачу в таблицу 7. Последний столбец делается шире, т.к. в нем записываются выражения, которые будут получаться на этапе поиска решения задачи.

Переходим ко второму этапу (поиску решения). Поиск можно осуществить по-разному. Рассмотрим два его варианта (табл. 8, 10).

Таблица 8

Первый вариант поиска способа решения задачи

На последний вопрос обычно трудно получить ответ. Ученикам сложно переключиться на другую веточку рассуждения, так как они уже ответили, что масса меди во втором сплаве рав-

46

на 36100+ х 60. Можно задать дополнительные вопросы. В каком

сплаве меди больше? Почему? На сколько кг во втором сплаве меди больше, чем в первом?

После того как мы получили от учеников все необходимые ответы, таблица 7 будет окончательно заполнена (табл. 9).

Таблица 9

Конечный вариант таблицы по тексту задачи

Остается составить по последней строчке уравнение и решить его. Однако у учеников может остаться не до конца осознанной причина того, зачем учитель хотел получить ответ на последний вопрос. В связи с чем учителю самому было бы хорошо задать этот вопрос школьникам: «Почему мы стремились найти массу меди во втором сплаве двумя способами? Зачем нам нужны два выражения?» Ответив на него, ученики вскроют суть алгебраиче-

ского способа: выразить двумя способами одну и ту же вели-

чину и приравнять полученные выражения.

Приведем пример второго варианта поиска способа решения задачи (табл. 10) с использованием движения от заключения к условию.

47

Круг замкнулся, так как мы начали анализ именно с нахождения массы добавленной меди. Это сигнал к тому, что нужно вводить переменную. Обозначим через х кг массу меди, добавленную к первому сплаву. Сейчас по цепочке поднимаемся вверх и составляем выражения. На пятом шаге получаем (36+х) кг – масса второго сплава. На четвертом – 0,6·(36+х) кг – масса меди во втором сплаве. На втором – [0,6·(36+х)–0,45·36] кг – масса добавленной меди. На первом шаге – х кг – масса добавленной меди.

Составляем и решаем уравнение: 0,6·(36+х)–0,45·36=х. Принцип составления уравнения тот же самый: выразили мас-

су меди, добавленную к первому сплаву, двумя способами и приравняли выражения.

48

На третьем этапе решаем уравнение. В нашем случае получилось уравнение первой степени (как говорили ранее, наша задача может быть решена арифметическим способом). Вычислим, что х=13,5. Значит, масса меди, добавленная к первому сплаву, равна 13,5 кг. Оцениваем полученное значение по смыслу задачи. Оно удовлетворяет ему.

Переходим к четвертому этапу работы. Проверку результата можно осуществить также с помощью введения его в текст задачи (как и для арифметического способа). Выделим главную идею решения. Она уже называлась: записать одну из величин двумя способами и приравнять выражения. Обращаем внимание учеников на то, что в задачах на сплавы и смеси бывает полезно выделить ту величину, которая не изменяется, и для нее составить уравнение. В нашем случае – это цинк. Можно найти его массу в первом сплаве (0,55·36 кг), во втором – (0,4·(36+х) кг) и оба выражения приравнять. Получим уравнение 0,4(36+х)=0,55·36.

Как было сказано, данная задача может быть решена арифметическим способом. Найдем его. Во втором варианте поиска у нас остался неосуществленным путь (табл. 10, вопрос 2), который наводит на мысль, чтобы вычислить массу второго сплава. Попробуем это сделать. Мы уже вычислили массу цинка в первом сплаве (0,55·36=19,8 кг). Тогда во втором сплаве цинка также 19,8 кг, и на него приходится 40 % всего сплава. Можно найти

массу второго сплава: 198, 100 = 495, (кг). Следовательно, полу40

чено решение задачи арифметическим способом. Остается сравнить между собой разные варианты.

49

3.3. Использование геометрии при решении текстовых задач

_________________________________

При решении текстовых задач могут быть успешно использованы алгебраические и геометрические знания. Часто такой синтез упрощает решение. Но, к сожалению, такой подход встречается редко. В школьных учебниках он специально не выделяется. Рассмотрим конкретные примеры.

Задача 1. Два пешехода идут навстречу друг другу из пунктов А и В. Первый выходит из А на 6 часов позже, чем второй из В, и при встрече оказывается, что он прошел на 12 км меньше второго. Продолжая после встречи дальнейший путь с той же скоростью, первый приходит в В через 8 часов, а второй в А – через 9 часов. Найти скорости каждого пешехода.

хода; ВА1 – график движения второго пешехода; С – точка встречи;

АК=6 ч.; ЕА1=9 ч.; FB1=8 ч.;

КЕ – время движения первого пешехода до встречи (t1);

50