Методика обучения школьников работать с математической задачей. Учебное пособие для студентов

Проверка хода решения

В трудных и важных случаях оказывается необходимым проверить весь ход решения. Обычно для этого достаточно выбрать несколько «узловых» пунктов. Нужно стараться избегать простого повторения, так как, во-первых, это рассеивает внимание, во-вторых, ошибку можно просто не заметить потому, что выстраиваются уже проведенные рассуждения. В случае, когда стоит задача проверить все с начала до конца, желательно изменить последовательность шагов. При осуществлении этого обращают внимание на то, все ли данные использованы. Если нет, то выясняют причину: являются ли они лишними или, что чаще всего бывает, в решении ошибка. При обнаружении избыточных данных обязательно исследуется условие задачи на непротиворечивость, только после этого можно делать вывод о том, что она решена.

Отыскание другого решения

Проверкой результата значимость работы по отысканию другого решения не ограничивается. Она приучает учеников отказываться от уже найденных схем и стереотипов, рассматривать объекты с разных сторон, что помогает развитию творческих способностей. Процесс формирования этого умения длительный, его скорость индивидуальна. Вначале школьники смогут вносить лишь очень небольшие крупицы нового. Нужно чаще разбирать различные способы решения одной и той же задачи, даже в том случае, когда другие способы предложены не учениками, а учителем, сравнивать эти способы между собой, выбирать наиболее рациональный в данных условиях или оптимальный.

Видоизменение, составление новой задачи, в которой используется решенная

Задача вместе с полученным результатом представляют собой чаще всего систему условий, характеризующих объект, о котором идет в ней речь. Поэтому результат можно взять в качестве данного, а одно из первоначальных условий считать неизвест-

11

ным. Тогда получится новая задача, которая в принципе должна иметь решение. Исключения бывают, но редко. Конечно, может оказаться, что составленная задача будет или простой, или очень трудной, не решаемой имеющимися у ученика средствами.

Такого рода работу можно провести с большим числом задач. Осторожность нужно проявлять с задачами на доказательство.

Определение места решенной задачи

Идет работа по выделению приема решения задачи. Ученики отвлекаются от конкретного содержания и рассматривают математическую и логическую стороны решения. Если с подобным способом уже встречались, то нужно вспомнить задачи, в которых он использовался. Если же он совершенно новый, то следует постараться выделить основную идею и элементы; придумать несколько задач (хотя бы в виде приближенной схемы), которые решаются аналогично.

Вообще работа по выявлению способа решения может пройти и раньше, на этапе составления плана. Отметим, что часто представляет сложность четкое выделение этапов. Они плавно переходят один в другой. Работу с задачей трудно поместить в определенную схему, так как решение – это творческий процесс, в котором определенное место занимают математическая интуиция, имеющийся у школьника опыт, готовность к продуктивной мыслительной деятельности.

12

2. поиск способа решения задачи

______________________________________________

Учащиеся испытывают значительные затруднения, допускают ошибки при решении математических задач. Многие так и не приобретают приемов и способов деятельности, помогающих решать задачи. Как показывает практика, их ставит в тупик любая задача среднего уровня сложности. Основная причина, скорее всего, заключается в том, что школьники не умеют осуществлять поиск способа решения. Именно к этому этапу работы часто относятся наводящие вопросы и подсказки учителя. В связи с этим далеерассмотримосновныепутипоискарешениязадачи,овладение которыми является метапредметным результатом школьного математического образования. Параллельно будем останавливаться и на вопросах организации работы, направленной на обучение учащихся использовать их в учебной деятельности.

Длятогочтобысформироватькакое-либоумение(илиприем), в первую очередь необходимо раскрыть его сущность и объяснить, что оно из себя представляет, как осуществляется на практике. Нужно постараться разъяснить ученикам, что «делает» человек, умеющий работать с задачей, при поиске ее решения.

Рассмотрим три основных пути, которыми можно следовать при осуществлении поиска способа решения (табл. 1), и дадим им характеристику:

–движение от условия к заключению;

–движение от заключения к условию;

–движение с двух сторон.

При этом не будем останавливаться на чисто эвристических методах решения задач (характеристику которых можно найти в книгах Д. Пойа, Ю. М. Колягина, Л. М. Фридмана, Л. В. Виноградовой и др.); ключевых задачах (А. Е. Малых, Т. В. Рихтер, И. Ф. Шарыгин и др.). Сразу отметим, что в реальном процессе работы с математической задачей названные пути часто используются совместно. Однако для удобства характеристики особенностей и для организации деятельности школьников их лучше разделить.

13

Таблица 1

Пути осуществления поиска способа решения

2.1. Движение от условия к заключению

__________________________________________

При движении от условия к заключению новое знание (зависимость, значение величины и др.) получается путем разворачивания условия задачи. Человек, осуществляющий поиск способа решения первым путем, задает себе следующие вопросы. Что дано? Что из этого следует? Что можно найти из условия?

Руководствуясь этим, обычно получают какой-то результат (величину, зависимость). Затем обращаются к вопросу задачи. Проверяют, является ли найденный результат искомым. В случае положительного ответа (способ найден) остается оформить решение. В противном случае полученный результат вводят в условие задачи и снова задают себе вопросы. Что дано? Что из этого следует? Что можно найти? Так продолжается до тех пор, пока не будет получен ответ на вопрос задачи. Схема поиска способа решения путем движения от условия к заключению представлена на рисунке 2.

14

Путь от условия к заключению редко является прямой линией. Часто он выглядит так, как показано на рисунке 3.

15

Остановимся на них. Одним из преимуществ этого пути является то, что оформление решения производится в прямом порядке. Ученику легче уловить логику, избежать ошибок. Другой положительный момент – все «найденные» величины, зависимости включаются в условие задачи и могут быть использованы в качестве данных.

Слабая сторона заключается в том, что учитель часто «ведет» за собой. Он ставит вопросы, которые постепенно приближают к цели (вопросу задачи). Поэтому ученикам может быть непонятно, чем они мотивированы. Следовательно, приемы осуществления поиска не формируются и не осознаются.

Для устранения названного недостатка нужно целенаправленно учить школьников задавать вопросы самостоятельно, предварительно объяснив им сущность приема. Для достижения этой цели можно использовать сочетание следующих форм организации учебной деятельности:

–поиск способа решения со всем классом;

–поиск способа решения одним учеником (класс проверяет) с последующим высказыванием замечаний и исправлением ошибок;

–самостоятельный поиск способа решения с обязательной проверкой правильности поставленных вопросов.

Одним из сложных моментов для учеников является то, что при проведении поиска может появляться много тупиковых веточек. Это относится (как будет показано далее) и к другим путям. Здесь можно ученикам порекомендовать «тянуть» веточку до тех пор, пока не окажешься в тупике. После чего есть смысл вернуться снова в исходное положение (к условию) и поискать другую идею. Постепенно школьники будут ориентироваться быстрее, они научатся охватывать задачу полностью, составлять о ней целостное представление.

Отметим,чтоприемы,лежащиевосновепоискаспособарешения, не относятся к быстро формирующимся. Для их отработки требуется время. Разные ученики их будут осваивать с различной скоростью. Конкретные примеры поиска способа решения путем движения от условия к заключению будут разобраны далее.

16

2.2. Движение от заключения к условию

_______________________________________

Движение от заключения к условию при осуществлении поиска способа решения задачи является наиболее сильным по сравнению с рассмотренным выше. Сущность его состоит в том, что поиск начинается с разворачивания заключения. Человек задает себе следующие вопросы. Что требуется найти? Что достаточно для этого знать? Известно ли это? Рассуждая аналогичным образом, постепенно поднимаются к условию задачи. Очевидно, способ решения будет найден тогда, когда на третий вопрос ответят утвердительно.

Схематически движение от заключения к условию представлено на рисунке 4.

Что требуется найти?

Что достаточно для этого знать?

Как можно это сделать?

Оформляем

решение

Рис. 4

17

У этого пути есть ряд трудных моментов. Во-первых, оформление решения (доказательства) приходится проводить в порядке, обратном осуществленному поиску (рис. 5). Поэтому используются достаточные условия (признаки). Особенно важен этот момент при работе с геометрическими задачами и теоремами. В ходе объяснения ученикам сущности данного пути для профилактики ошибок необходимо обратить их внимание на слово «достаточно» в самом вопросе. (Что достаточно знать?) Во-вторых, школьники часто найденные достаточные условия ошибочно используют в качестве данных (известных). Этот вид ошибок наиболее характерен для геометрических задач.

Рассмотренный путь поиска обладает рядом несомненных достоинств. Если ученик на уроке уследил за мыслью учителя, то мотивация поставленных вопросов будет ему полностью понятна; он ясно представит себе план рассуждения; выкладки и дополнительные построения не покажутся искусственными, а переходы между различными этапами решения – мало обоснованными.

18

2.3. Движение с двух сторон

_____________________________________

Движение с двух сторон является объединением рассмотренных выше путей. Именно с помощью него чаще всего осуществляется поиск. Однако движение с двух сторон является наиболее сложным для учащихся. Сущность данного приема состоит в том, что, с одной стороны, разворачивается условие. Отвечая на вопрос, что следует из условия, мы получаем одно или несколько следствий (или находим некоторые величины). Принцип описан в пункте 2.1. С другой стороны, разворачиваем заключение, отвечая на вопрос: «Что достаточно знать для этого?» (п. 2.2.). Повторяя рассуждения несколько раз, находим точку встречи (цепочки рассуждений от условия и заключения сталкиваются). Это говорит о том, что способ решения найден, остается его оформить.

При оформлении решения, найденного с помощью этого пути, нужно быть предельно внимательным. Рассуждения от условия до точки встречи идут в прямом порядке, а от точки встречи до заключения – в обратном. Другим трудным моментом является наличие большого числа дополнительных веточек, причем они появляются как сверху, так и снизу. Ученики могут в них легко запутаться. Особенности рассмотренного пути требуют, чтобы дети на каждом этапе рассуждений четко представляли, какими величинами, зависимостями можно пользоваться как данными (что получается из условия), а какие нужно доказывать и обосновывать (из заключения). Этот момент требует дополнительных подробных объяснений учителя. Приведем пример использования поиска способа решения движением с двух сторон.

Задача. Доказать, что отрезки, соединяющие середины сторон выпуклого четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

19

Рис. 6

Чертеж (рис. 6) построен точно по тексту задачи. Все дополнительные построения будут производиться по мере необходимости.

1.Разворачиваем условие. Нужно записать все, что следует из него. В нашем случае из условия почти ничего пока не следует. Единственное, что можно записать:

AE=BE; BF=CF; DP=CP; AQ=DQ. (*)

2.Разворачиваем заключение. Для этого ставим перед собой вопрос: «Что достаточно знать (доказать), чтобы выяснить, что точка О делит отрезки EP и FQ пополам?» Вспоминаем, что это одно из свойств параллелограмма. Поэтому достаточно доказать, что EFPQ – параллелограмм. (**)

Достроим чертеж (рис. 7).

Рис. 7

2.2. Разворачиваем (**). Что достаточно доказать для того, чтобы можно было утверждать, что EFPQ – параллелограмм?

20