Методика обучения школьников работать с математической задачей. Учебное пособие для студентов

3. МЕТОДИКА РАБОТЫ С ТекстовЫМИ задачаМИ

___________________________________________

Текстовая задача – это описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать характеристику какого-либо компонента этой ситуации или отношения между компонентами.

С текстовыми задачами ученик сталкивается буквально с первых уроков математики. Основными способами решения их являются арифметический и алгебраический. Могут быть также использованы диаграммы, графики, знания, получаемые на уроках геометрии. Методика работы с текстовой задачей будет рассматриваться на 4 этапах, перечисленных в первом параграфе (с. 8).

3.1. Арифметический способ

_________________________________

Арифметический способ состоит в нахождении значений неизвестной величины с помощью составления числового выражения (или выражений) и подсчета результата, он является основным в начальной школе и в 5 – 6 классах, хотя параллельно уже идет отработка умения использовать алгебраический способ (с помощью уравнения).

Арифметический способ менее алгоритмичен по сравнению с алгебраическим. Практика показывает, что человек, владеющий аппаратом алгебры, при работе с задачей, которая может быть решена обоими способами, решает ее с помощью уравнения (или системы). Однако арифметический способ имеет большое значение для развития мышления школьника, в том числе и его эвристическойсоставляющей.Поэтомуотодвигатьегонавторойплан нельзя. В тех случаях, когда решить задачу можно и арифметическим способом, и алгебраическим, есть смысл рассмотреть оба варианта. Вообще, нужно иметь в виду, что практически любая

31

задача, сводящаяся к уравнению первой степени, может быть решена и арифметическим способом.

Основное затруднение при работе с задачей касается перевода ее с естественного языка на математический, которое для арифметического способа выражается в следующем. Во-первых, ученики не понимают значения сочетаний «меньше на...», «больше на...», «меньше в...», «раньше» и т.д. Причем ошибки касаются именно момента перехода от естественного языка (от слова) к математическому действию. Пока ученик остается на позициях естественного языка, он правильно отвечает на вопросы, а как только начинает записывать условия с помощью математических действий, появляются ошибки. Во-вторых, школьники не могут вычленитьизтекстазадачивеличиныизависимостимеждуними, не видят за выполняемыми действиями смысла того, что делают. Например, складывают скорость и время, делят людей на дни работы и т.д. Причина (как в первом, так и во втором случаях) заключается в том, что у учеников не устанавливается взаимосвязь между естественным и математическим языками. Дополнительно к этому необходимо отметить низкий уровень осмысления как текста задачи, так и своих действий.

Является ли второй недостаток (низкий уровень осмысления) следствием первого или наоборот, ответить трудно. Бесспорно лишь то, что умение осуществлять перевод с естественного языка на математический (т.е. получать математическую модель) нужноцеленаправленноформировать.Сущностьэтогопроцесса,скорее всего, мало чем отличается от обучения иностранному языку. Необходимо четко знать значение математических терминов. А умение «перевода» формируется с помощью выполнения двух типов заданий, первый из которых требует записать различными способами предложение естественного языка в виде математических выражений. Например, предложение «число х больше числа у на 5» на математическом языке может быть записано так:

х – у = 5, или х = у + 5, или х – 5 = у. После того как ученики освоятся с подобными заданиями, нужно перейти к переводу предложений, содержащих информацию о реальных объектах.

Второй тип заданий направлен на перевод с математического языка на естественный, когда дети учатся за математическими

32

выкладками видеть суть того, что делают. Аналогично сначала школьник выполняет простые действия, оперируя с буквенными объектами. Например, требуется прочитать выражение а+в=с+3 (сумма чисел а и в больше числа с на 3). В последующем можно предложить более сложные задания. Например, по уравнению (или выражениям) составить текстовую задачу. Параллельно с умением работать с задачей формируются такие универсальные действия, заложенные во ФГОС, как моделирование и оперирование различными видами моделей; анализ и синтез; интуиция и развитие речи.

Перейдем к рассмотрению организации работы с текстовой задачей, решаемой арифметическим способом. Разберем на конкретном примере.

Задача 1. По дороге в одном и том же направлении идут два мальчика. Вначале расстояние между ними было 2 км, но так как скорость идущего впереди мальчика 4 км/ч, а скорость второго 5 км/ч, то второй нагоняет первого. С начала движения до того момента, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает собака со скоростью 8 км/ч. От идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, затем сразу же разворачивается и бежит назад и т.д. Какое расстояние пробежит собака?

Первый этап – ознакомление с содержанием задачи. Приведем примерный список вопросов (и ответов к ним), задаваемых на этом этапе (табл. 2).

33

Таблица 2

Список вопросов и ответов по тексту задачи 1

Потекстузадачиможносоставитьсхему(рис.13)илитаблицу (табл. 3), которые могут быть представлены следующим образом.

34

Для формирования у учащихся приемов постановки вопросов необходимо организовать целенаправленную работу. В начале объясняем, по какому принципу задаются вопросы. После этого одну задачу разбираем вместе. Причем совершенно не обязательно ее решать (наша цель – отработать умение задавать вопросы). Ко второй задаче вопросы ставит ученик, мотивируя их и, конечно, отвечает. Класс вместе с учителем его проверяют. К третьей задаче школьники пытаются поставить вопросы самостоятельно. Обязательно записывают их. После окончания работы вопросы должны быть проверены, уточнены и исправлены. Конечно, это требует значительных временных затрат, но иначе большая часть детей не научится формулировать вопросы на первом этапе работы с задачей.

Второй этап – поиск способа решения задачи. Вначале осуществим поиск, двигаясь от условия к заключению. Для задач, решаемых арифметическим способом, этот прием поиска несколько модифицируется за счет изменения вопросов. Перечислим его основные моменты.

•В условии задачи выделяем два взаимосвязанных данных.

•Выясняем, какой новый элемент (величину) можно найти, с помощью какого действия.

•Если полученный результат не является искомым,то его считают известным и вводят в условие задачи. Рассуждение повторяется с первого пункта.

•Если полученный результат является искомым, то делаем вывод, что способ решения найден. Остается его оформить.

Прием поиска от условия к заключению для задач, решаемых арифметическим способом, часто оказывается продуктивнее

35

и экономичнее других. Причина в том, что задача обычно сама «подсказывает», какие два данных брать. Здесь важно, чтобы ученик видел смысл производимых действий. Рассмотрим, как может выглядеть поиск решения нашей задачи.

1. Какие два данных можно взять, чтобы с их помощью най-

ти что-либо третье? Скорее всего, ученики сразу предложат взять скорости мальчиков и найти их скорость сближения

Ясно, что со скоростью сближения непосредственно связано первоначальное расстояние между мальчиками (2 км). С помо-

3. tм не является искомой величиной, следовательно, продолжаем поиск. Считаем «найденным» время движения мальчиков.

Так как на первом этапе работы с задачей выяснили, что время движения мальчиков и время движения собаки одинаковы, то ученики легко сделают переход tм= tсоб.

4. Время движения и скорость собаки известны, следовательно, можно найти расстояние, которое пробежит собака

S=υсoб.· tсоб.

5. Расстояние S является искомым, следовательно, поиск решения окончен. План составлен. Можно переходить к третьему этапу (оформлению решения) работы с задачей.

Замечание. Конечно, вполне возможно, что школьники предложатсравнитьскоростисобакиимальчиков.Например,заметят, что скорость собаки в 2 раза больше скорости первого мальчика. Возможно, сделают вывод, что собака пробежит расстояние в 2 раза больше того, которое пройдет первый мальчик. Здесь либо ученики основательно застрянут (толчок к тому, что выбранный путь нужно «бросить»), либо повторят рассуждение, приведен-

36

ное выше, и найдут расстояние, которое пройдет первый маль-

чик: (*), (**) и S1=υ1·t1. При оформлении решения (или на последнем этапе) необходимо заметить, что в проведенном поиске первые шаги и S1 практически не нужны.

Основную трудность при работе с этой задачей будет представлять то, что собака бегает между мальчиками. Поэтому выясняют вопрос, принципиально ли важен такой способ движения собаки. Дети должны осознать, что данная задача ничем не отличается от той, в которой собака просто бежит вперед все время, пока второй мальчик не догонит первого. Схематично это показано на рисунке 14.

собака

Рис. 14

Поиск решения задачи 1 от заключения к условию представлен в таблице 4.

Таблица 4

Поиск способа решения задачи 1 от заключения к условию

37

Поиск завершен, остается оформить решение, проводя рассуждение в обратном порядке. Для отработки приемов поиска способа решения задачи надо, во-первых, раскрыть их суть (рис. 2 и 4), сопоставить между собой, во-вторых, организовать целенаправленную их отработку. Для этого ученики должны пытаться провести поиск самостоятельно с обязательной последующей проверкой.

Третий этап – оформление решения задачи арифметическим способом – может быть проведен по-разному. В школьном курсе математики используют три разновидности. Остановимся на них.

Способ 1. Решение оформляется с помощью числового выражения. В нашем случае выражение будет иметь следующий вид:

8 · (2 : (5 – 4)) = 16.

Ответ: 16 км пробежит собака.

Ответ к задаче может быть записан полностью, а может и кратко (16 км).

Способ 2. Решение оформляется по действиям, в каждом действии вычисляется результат и записывается пояснение.

1)5 – 4 = 1 (км/ч) – скорость, с которой сокращается расстояние между мальчиками (или скорость сближения мальчиков).

2)2 : 1 = 2 (ч) – время, через которое второй мальчик догонит первого.

3)8 · 2 = 16 (км) – расстояние, которое пробежит собака. Способ 3. Запись вопросов и соответствующих действий.

1)С какой скоростью второй мальчик догоняет первого? (Ка-

кова скорость сближения мальчиков?)

38

5 – 4 = 1 (км/ч)

2)Сколько времени потребуется второму мальчику для того, чтобы догнать первого?

2 : 1 = 2 (ч)

3)Какое расстояние пробежит собака?

8 · 2 = 16 (км)

Ответ: 16 км.

Четвертый этап

Практически во всех задачах, решаемых арифметическим способом, проверку результата можно провести путем его подстановки в текст задачи. Легче всего это сделать с помощью краткой записи (таблицы), составленной на первом этапе. Предположим, в нашей задаче ответ получился не 16 км, а например, 24 км. Введемеговтекстзадачиипроверим,чтополучится.Используемдля этого таблицу, заполнив которую получим следующее (табл. 5).

Таблица 5

Проверка результата в задаче 1

Таким образом, мы получили, что первый мальчик прошел 12 км, а второй – 15 км. Появилось противоречие с условием, так как 15 км больше 12 на 3 км. Делаем вывод, что задача решена неверно. Легко заметить, что, подставив в таблицу 16 км, все получится правильно. Отметим, что удачно составленная на первом этапе схема (или сделанный рисунок) часто помогают ученикам найти способ решения задачи. Продемонстрируем на конкретных задачах, которые могут быть предложены в 5 – 6 классах.

Задача 2. Первый кусок проволоки на 54 м длиннее второго. От каждого куска отрезали по 12 метров. При этом второй оказался в 4 раза короче первого. Какова первоначальная длина каждого куска проволоки?

39

Так как АС=EF, следовательно, на СВ укладывается ровно три отрезка длиной EF. Значит, длина EF равна 54:3=18 (м). Задача решена.

Задача 3. Чашка дороже блюдца на 25 %. На сколько процентов блюдце дешевле чашки?

Ученики панически боятся таких задач. Они просто не знают, с какой стороны к ним подойти. Процесс поиска решения упростится после того, как сделаем рисунок 16.

25 % – стоимость блюдца

20% – стоимость чашки

Рис. 16

Из рисунка видно, что блюдце дешевле чашки на 1 часть ее стоимости, то есть на 20 %. 5

Аналогичные задачи могут быть составлены на другом содержании. Причем желательно начать с такой, которая бы натолкнула детей на рисунок. Для этого можно составить условие о длине двух лент или высоте деревьев. Приведенная выше задача будет своего рода обобщением способа решения – изобразить сравниваемые величины с помощью отрезков.

Задача 4. Два туриста двигаются из одного пункта по одному маршруту, но разными способами. Один весь путь идет пешком с постоянной скоростью. Другой половину пути проехал на поезде со скоростью, в 10 раз превышающей скорость первого туриста, а вторую половину пути двигался со скоростью, в 2 раза меньшей

40