Методика обучения школьников работать с математической задачей. Учебное пособие для студентов

4)когда между баянистом и трубачом возникает ссора, то Семен мирит их;

5)Борис не умеет играть ни на трубе, ни на гитаре.

На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами?

Задача не является сложной, так как нужно установить лишь соответствие «имя – музыкальный инструмент». Причем практически сразу выясняем, что каждым музыкальным инструментом владеет только один школьник. В таких задачах достаточно составить таблицу. Клетки таблицы на основании условия задачи помечаются определенными знаками: плюс, минус или 1, 0. Представим хор рассуждения.

Решение. Составим таблицу и отразим в ней текст задачи. Будем заполнять соответствующие клетки знаками «–» и «+», исходя из имеющихся условий.

Так как музыкантов трое, а инструментов шесть и каждый владеет только двумя из них, получается, что школьник играет на инструментах, которыми остальные не владеют.

Из условия 4 следует, что Семен не играет ни на баяне, ни на трубе, а из условий 3 и 5, что Борис не умеет играть на скрипке, флейте, трубе и гитаре. Из условий 1 и 2 следует, что Семен не скрипач. Ставим в этих клетках знаки минус. Следовательно, инструменты Бориса – баян и кларнет. Значит, остальные клетки в столбцах с инструментами «баян» и «кларнет» отмечаем знаком минус. На основе этих рассуждений можно частично заполнить таблицу 14.

Изтаблицывидно,чтонаскрипкеитрубеможетигратьтолько Вадим, ставим в соответствующие клетки плюс. В строке с именем «Вадим» получили два «+», тогда оставшиеся клетки этой строки можно отметить знаками минус. Таблица примет следующий вид (табл. 15).

71

Из таблицы видим, что Семен может играть только на флейте и гитаре. Таблица, иллюстрирующая ответ, приведена ниже

(табл. 16).

Ответ: Борис играет на баяне и кларнете, Семен – на флейте и гитаре, Вадим – на скрипке и трубе.

Задача 2. На конгрессе встретились четверо ученых: физик, биолог, историк и математик. Каждый ученый владел двумя языками из четырех (русским, английским, французским, итальянским). Но не было такого языка, на котором могли бы говорить все четверо. Есть только один язык, на котором могли вести беседу сразу трое. Никто из ученых не владеет и французским, и русским языками одновременно. Хотя физик не говорит по-ан- глийски, он может служить переводчиком, если историк и биолог захотят побеседовать. Историк говорит по-русски и может говорить с математиком, хотя тот не знает ни одного русского слова. Физик, биолог и математик не могут разговаривать на одном языке. Какими языками владеет каждый ученый?

Задача немного сложнее, так как в ней приводится больше условий. Однако они хорошо укладываются в таблицу 17.

Далеко не столь простыми являются задачи, в которых необходимо установить соответствие одному компоненту двух, трех и более элементов. От их количества будет зависеть сложность задачи.

72

Задача 3. Три подруги вышли в белом, зеленом и синем платьях. Известно следующее:

1)только у Ани туфли и платье одного цвета;

2)ни платье, ни туфли Вали не были белыми;

3)Наташа была в зеленых туфлях.

Определить цвет платья и туфель на каждой из подруг, если туфли были синими, зелеными и белыми.

Решение. Обращаем внимание на то, что в этой задаче необходимо установить соответствие между тремя элементами: имя, цвет туфель, цвет платья. Запишем все возможные цвета, а затем будемвычеркиватьте,которыенеподходятпоусловию(табл.18).

Таблица 18

Из того, что на Наташе были зеленые туфли, делаем вывод, что у Ани и Вали они не могли быть зелеными. Вычеркнув у Вали зеленые туфли, получим, что у нее туфли были синие, тогда на основе условия 1 ее платье зеленого цвета. Значит, эти цвета можно вычеркивать у Ани и Наташи (табл. 19).

73

По условию 1 для Ани остался один возможный вариант: туфли и платье белого цвета. Тогда таблица примет следующий вид

(табл. 20).

Ответ. У Ани платье и туфли белые; у Вали платье зеленое, туфли синие; у Наташи платье синее, туфли зеленые.

Приведем пример задачи, в которой одному элементу соответствуют пять.

Задача 4. (Задача Эйнштейна). Есть 5 домов, каждый разного цвета. В каждом доме живет по одному человеку отличной друг от друга национальности. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное. Никто из 5 человек не пьет одинаковые с другими напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковое животное.

Условия задачи

1.Англичанин живет в красном доме.

2.Швед держит собаку.

3.Датчанин пьет чай.

4.Зеленый дом стоит слева от белого.

5.Жилец зеленого дома пьет кофе.

6.Человек, который курит Pall Mall, держит птицу.

7.Жилец среднего дома пьет молоко.

8.Жилец из желтого дома курит Dunhill.

9.Норвежец живет в первом доме.

10.Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку.

11.Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill.

12.Курильщик сигарет Winfield пьет пиво.

13.Норвежец живет около синего дома.

14.Немец курит Rothmans.

74

15. Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду.

Вопрос: Кому принадлежит рыба?

Решение. Для решения задачи удобно составить таблицу, ставящую в соответствие номеру дома цвет, национальность, напиток, сигареты и животное. Проведем последовательное заполнение таблицы, отмечая в последней строке номер шага рассуждения и номер условия задачи, по которому делается вывод (табл. 21).

Подведем итог проведенным рассуждениям. На основе данных, записанных во второй строке таблицы, и того, что осталось два цвета (желтый и красный), делаем следующие выводы:

–дом № 3 красного цвета, в нем живет англичанин (условие 1);

–дом № 1 желтого цвета, в нем курят Dunhill (условие 8);

–по условию 11 лошадь содержат в доме № 2;

–по условию 3 в доме № 4 датчанин не живет, тогда датчанин может жить либо в пятом, либо во втором доме.

Дальше однозначно рассуждать не удается, поэтому можно рассмотреть оба варианта, обычно при решении логических задач один из вариантов дает противоречие, а другой приводит к

75

решению (если оно единственное). Рассмотрим сначала первый вариант: датчанин живет в пятом доме. Сведем все записанные рассуждения в таблицу 22. Последующие шаги рассуждения будем снова комментировать в последней строке таблицы.

Обращаем внимание на 4 строку таблицы 22. В ней осталась одна пустая ячейка, куда должна быть помещена «вода», а это будет противоречить условию 15, так как в доме № 2 не может жить курильщик Marlboro. Значит, наше предположение, что датчанин живет в доме № 5, было неверным. Остается только один вариант: датчанин живет в доме № 2. Внесем соответствующие изменения в таблицу 23.

76

Осталась одна пустая ячейка в третьей строке, тогда в доме №5 живет швед. Осталась одна пустая ячейка в четвертой строке, следовательно, в доме № 3 курят сигареты Pall Mall. Остается расставить животных. Это делаем на основании условий 2, 6 и 10. Получаем, что рыба принадлежит немцу. Ответ представлен в таблице 24.

Ученикам может быть предложено и обратное задание: по имеющемуся решению (таблице, вспомогательной схеме) составить текст.

Задача 5. Составьте текст задачи по таблице 25.

С позиции формирования умения аргументировать интересны задачи на раскрытие логических софизмов, на анализ данных, на установление закономерностей. Рассмотрим некоторые из них.

Задача 6. Логический софизм.

Вход в парк некоего могущественного князя был запрещен. Если нарушитель попадался, его ожидала смерть, но ему предоставлялось право выбирать между виселицей и обезглавливанием. Он должен был что-то заявить, и если его утверждение было

77

истинным, его обезглавливали, а если ложным, то его вешали. Что нужно было заявить нарушителю, чтобы избежать установленного правила и остаться живым?

Ответ: нарушителю нужно сказать, что его повесят.

Задача 7. Виктор, Роман, Юрий и Сергей заняли на математической олимпиаде первые четыре места. Когда их спросили о распределении мест, они дали три таких ответа:

1)Роман – второй, Сергей – первый;

2)Виктор – третий, Сергей – второй;

3)Виктор – четвертый, Юрий – второй.

Как распределились места, если в каждом ответе только одно утверждение истинно?

Пояснение по задаче. Решая подобные задачи (где вариантов дляпереборанемного),обычновыдвигаютпредположениеипроверяют, соответствует ли оно (и полученные из него выводы) условию. Начать можно с любого из трех условий. Например, предположим, что на первом месте оказался Сергей. Тогда из второго получим, что Виктор – третий. Из третьего: Юрий – второй, а Роман – четвертый. Все условия выполняются. Далее нужно рассмотреть другие предположения (например, Роман – второй, из чего получим противоречие из 2-го и 3-го условий, и т.д.), чтобы можно было сказать, что решение единственное.

Задача 8. Проведите рассуждение и дайте обоснованный ответ на поставленный вопрос.

На острове в Тихом океане живут два племени: молодцы, которые всегда говорят только правду, и лжецы – всегда лгут. Турист встретил туземца и спросил его: «Кто ты?» Когда услышал, что он из племени молодцов, нанял его на работу слугой. Они увидели вдали другого местного жителя. Турист послал своего слугу спросить, к какому племени принадлежит этот туземец. Слуга вернулся и сказал, что тот утверждает, что он из племени молодцов. Вопрос: был ли слуга из племени молодцов или же лжецов?

Ответ. Слуга был молодцом, т.к. он сказал правду. Любой местный житель на поставленный вопрос (к какому племени он относится?) может дать один ответ, что он – молодец.

78

Задача 9. У рассеянной хозяйки есть три ящика для рассады с надписями «Огурцы», «Цветы» и «Ромашки». Она посадила семена ромашек, огурцов и колокольчиков в эти ящики так, что все надписи оказались неверными. Что вырастет в ящике с надписью «Ромашки»?

Варианты: (A) огурцы; (B) колокольчики; (C) ромашки;

(D) нельзя определить; (E) арбузы.

Верный ответ: (B).

Задача 10. У Насти дома живут разные животные. Известно следующее:

–все, кроме двух, – попугаи;

–все, кроме двух, – котята;

–все, кроме двух, – кролики.

Сколько домашних животных у Насти?

Ответ: три.

Задание 11. Перед Вами четыре карты. У каждой с одной стороны буква, а с другой – цифра. Вы видите только одну сторону. Сколько карт достаточно перевернуть, чтобы проверить утверждение, что у гласных букв на обороте всегда четное число?

Ответ: две (первую и третью, т.к. по поводу согласных ничего не сказано).

В действующих школьных учебниках логических задач обычно мало. При необходимости их всегда можно подобрать из дополнительной литературы. Тем не менее ниже приведем комплекс таких задач.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Пришли как-то к Великому Султану три мудреца. И попросили рассудить – кто из них самый мудрый. Султан устроил им состязание. Он показал 2 белых колпака и 3 черных. Потом посадил их в кружок и надел каждому один из этих пяти колпа-

79

ков. Каждый видит других двоих, но своего колпака увидеть не может. Сидят молча, думают. Кто первый поймет, какой у него колпак – тот, значит, и самый мудрый. Если султан всем троим надел по черному колпаку, как один из мудрецов через некоторое время смог об этом догадаться?

Задача 2. По обвинению в краже перед судом предстали Сидоров, Петров, Иванов. Следствием установлено следующее:

1)если Петров виновен или Иванов невиновен, то виновен Сидоров;

2)если Иванов невиновен, то Сидоров невиновен.

Выясните, виновен ли Иванов.

Задача 3. Приведите рассуждения и представьте обоснованный ответ на поставленный вопрос.

Узнику предложены на выбор три помещения, в одном из которых находится принцесса, а в двух других – тигры. На дверях комнат вывешены таблицы со следующим текстом.

Король сказал узнику, что только одно из данных утверждений является истинным. В каком помещении находится принцесса?

Задача4. Перед началом забегов зрители обсуждали скаковые возможности трех лучших лошадей с кличками Огонь, Туман, Стрелок.

–Победит или Огонь, или Стрелок, – сказал один болельщик.

–Если Огонь будет вторым, то победу принесет Туман, – сказал другой болельщик.

–Много вы понимаете в лошадях, – возмутился третий болельщик. – Вторым придет или Туман, или Огонь.

–А я вам скажу, – вмешался четвертый болельщик, – что если Огонь придет третьим, то Стрелок не победит.

После забега выяснилось, что три лошади – Огонь, Туман и Стрелок – заняли три первых места, не деля между собой ни од-

80