Методика обучения школьников работать с математической задачей. Учебное пособие для студентов

Вспоминаем определение и признаки параллелограмма. Тогда появляется несколько вариантов, т.е. происходит ветвление пути поиска. Есть смысл записать их все, так как ученики еще не знают, какой будет осуществлен. При этом необходимо обратить внимание, что для осуществления поиска будет достаточно одного из них. Скорее всего, нужно будет доказать одно из трех условий (а, б, в). Обозначим их (***).

3. Как легко заметить, точку встречи мы снова не получили. Значит, нужно делать еще один шаг.

3.1.Шаг сверху снова сделать не удастся, (*) не развернется.

3.2.Шаг снизу будет представлять собой разворачивание одного из трех условий в (***). Можно, конечно, проделать это и для всех трех, но ученикам будет пока трудно охватить все случаи, поэтому лучше ограничиться одним из них. Попробуем развернуть условие (б). Начнем с параллельности.

Чтодостаточнодоказать,чтобыутверждать,чтоEF||PQ?

Снова мы можем опереться либо на определение, либо на признаки параллельности прямых.

–В первом случае достаточно показать, что EF и PQ не пересекаются. Как-то проблематично продолжать их до бесконечности. Оставим этот случай.

–Чтобы использовать признак равенства внутренних накрест лежащих(иливнутренниходносторонних)углов,нужнодоказать либо их равенство, либо то, что в сумме они составляют 1800. Поскольку четырехугольник произвольный, то не видно, как можно это сделать. Оставим и этот случай.

–Есть еще один признак (параллельности двух прямых третьей). Две прямые у нас есть, а вот третьей пока нет. Но так как появилась цель найти эту прямую, то ученики, скорее всего, обнаружат ее самостоятельно (пока на уровне догадки). Это прямая AC. Чертеж преобразуется еще раз (рис. 8).

21

Рис. 8

–так как AE=BE и BF=CF, то EF – средняя линия треугольника ABC, следовательно, EF||AC;

–так как AQ=DQ и CP=DP, то PQ – средняя линия треугольника ADC, следовательно, PQ||AC.

Следовательно, по признаку параллельности прямых EF||PQ. Из свойства средней линии треугольника получим, что

EF= 0,5·AC= PQ.

Веточки рассуждения снизу и сверху встретились. Способ доказательства найден. Можно оформлять доказательство.

Так как мы обучаем учеников данному приему, то очень важно, чтобы каждый смог отчетливо представить весь путь и лишь после этого приступить к оформлению решения. Поэтому можно составить схему поиска. Она позволит не только охватить рассуждения целиком, но и проследить логичность, а также облегчит оформление самого доказательства. Обращаем внимание на его оформление. Так как при разворачивании заключения мы получали достаточные условия, то от точки встречи до заключения доказательство оформляется в обратном порядке.

Рассмотренная задача имеет несколько вариантов решения. Проведя аналогичные рассуждения для условий (а) и (в) из (***), можно получить еще два решения. После того как осуществлена описанная выше работа, можно предложить ученикам организовать поиск доказательства для условий (а) и (в) самостоятельно. Рассуждения кажутся на первый взгляд простыми, но, скорее всего, в доказательстве появятся лишние шаги. На это необходимо обратить внимание школьников.

22

Описанная работа помогает формировать у детей универсальные учебные действия:

–осуществлять поиск способа решения (доказательства);

–обнаруживать новое решение задачи;

–проводить анализ найденного решения, результата.

2.4. Поиск косвенного доказательства

_____________________________________

Виды косвенного доказательства (способом от противного и методом исключения) выделены в примерной основной образовательной программе школы [1, 20] и включены в состав УУД. Основная роль по их формированию у школьников, конечно, отводится математике. Рассмотрим оба эти способа.

2.4.1. Способ доказательства от противного

Сущность этого способа хорошо известна. Однако доказательство от противного школьники часто связывают с теоремами школьного курса геометрии. Это ограничение, естественно, совершенно не оправдано.

Для устранения названного недостатка необходимо на конкретных примерах продемонстрировать перед учащимися возможности способа доказательства от противного. Наиболее часто он может применяться при решении геометрических задач на доказательство, при доказательстве неравенств, а также при доказательстве единственности проведенного в стереометрии построения.

Вторым моментом, на котором следует остановиться, является то, что достаточно часто школьники усваивают способ чисто формально,непонимаядоконцаегосущность.Скореевсего,причина заключается в недостатке логических знаний. Ученики не

23

видят, что лежит в основе способа доказательства от противного. Поэтому, если нет возможности познакомить их с соответствующим логическим содержанием (правилами отрицания суждения, основными логическими законами и структурой аргументации), то нужно подробнее остановиться на самом способе, его этапах и последовательности организации рассуждений. Для облегчения восприятия материала можно предложить схему поиска доказательства от противного (рис. 9).

Оформляем доказательство методом от противного

Рис. 9

Рассмотрим пример.

Задача. Доказать, что для произвольного треугольника вы-

24

1. Предполагаем, что (*) неверна, тогда существует треуголь-

Сразу необходимо обратить внимание на то, что школьники часто формулируют отрицание неправильно. Они сразу записывают (**), проходя мимо требования «существует треугольник». Причина – не знают (и не понимают) правила отрицания общеутвердительного суждения (квантор общности «все», подразумеваемый для (*), заменяется при отрицании на квантор существования «некоторые»).

2. Преобразуем (**). Сделать это можно по-разному. Заметим,

3. В ходе преобразований получили неравенство (!), противоречащее определению полупериметра. Следовательно, наше предположение (*) верно для любого треугольника. Значит, задача доказана.

Этап работы, требующий сделать вывод о противоречии (или обнаружить его), часто вызывает затруднения у учеников. Они не могут до конца осознать, с чем нужно «искать противоречие». А учитель не может ограничить область поиска. Действительно, противоречие может быть с аксиомой или ранее изученной теоремой или с определением. Это с одной стороны.

А с другой – настроившись на противоречие, школьники готовы его «увидеть» где угодно. Особенно это касается геометрических задач. Чертеж построить не могут – противоречие. Получили какое-то утверждение, которое не увязывается с их представлениями, – тоже противоречие. В этом случае учителю приходится постоянно спрашивать: «А мы это доказывали? Тогда почему вы решили, что такого быть не может?»

25

Наконец, последний часто встречающийся недостаток – учащиеся не делают грамотного вывода. Снова срабатывает установка на то, что необходимо получить противоречие. Поэтому часто приходится слышать: «Получили противоречие. Все». Ученик уже практически забыл, что требовалось доказать. Поэтому нужно просить не только сделать устный вывод, но и оформить соответствующие записи в тетради.

2.4.2. Доказательство методом исключения

Доказательство методом исключения также является видом косвенного доказательства. В школьном курсе математики данный метод раскрывается редко. (С переходом основной школы на ФГОС делать это будет необходимо.) Часто ученики о нем практически ничего не знают. Однако значение доказательства методом исключения достаточно велико. Он эффективно используется в тех случаях, когда тезис (заключение задачи) может быть включен в качестве одного из членов в разделительное суждение (с союзом или). Построенное разделительное суждение должно исчерпывать все возможные варианты ситуации, описываемой в задаче. Далее показываем, что тезис удовлетворяет условию задачи, а остальные члены разделительного суждения – нет. На основании этого делаем вывод, что тезис доказан, так как других вариантов, устраивающих задачу, нет. Рассмотрим на конкретном примере.

Задача. Сумма цифр трехзначного числа равна 7, число делится на 7. Доказать, что цифры десятков и единиц в этом числе равны.

Дано: хуz делится на 7, х+у+z=7. (*) Доказать y=z.

Доказательство. Преобразуем хуz с учётом (*) и разложения многозначного числа по степеням 10 (для школы привычно выражение: по разрядам):

26

хуz = 100х + 10у + z = 100 (7 – y – x) + 10y + z = 700 – 90y – 99z = = (700 – 91y – 98z) + (y – z) = 7 (100 – 13y – 4z) + (y – z),

так как 7 – простое число, хуz делится на 7 и 7(100–13у–14z) делится на 7, следовательно, (у – z) делится на 7. Тогда у – z =7k, где k – целое число.

Так как у и z – цифры, то k может быть равно 0; 1; –1. [Обращаем внимание, что получили разделительное сужде-

ние: k = 0 или k = 1 или k = –1. Легко заметить, что тезис (z = у) соответствует случаю k = 0].

Рассмотрим все три варианта:

1)у – z = 0 у = z – заключение теоремы;

2)у – z = 7 у = 7 + z (подставим в (*)) х + 7 + z + z = 7

х+ 2z = 0, – что невозможно, т. к. х≠0 (первая цифра числа). Значит, случай k = 1 не имеет места;

3)k = –1 также не имеет места (рассуждения аналогичные). Таким образом, остался единственный вариант, удовлетворя-

ющий условию задачи, k = 0, то есть х=у. Задача доказана.

2.5. Несовершенный анализ

_____________________________________

Несовершенный анализ является одним из приемов поиска способа решения задачи. К сожалению, с сущностью этого приема школьников знакомят крайне редко. Но ученики могут его осваиватьисамостоятельно.Усвоениеприемачащевсегоидетна интуитивном уровне, и суть его остается скрытой, что, естественно, приводит к ошибкам. Поэтому рассмотрим несовершенный анализ подробнее.

Сущность несовершенного анализа. Предполагаем, что за-

дача решена. Выясняем, что из этого можно получить. Пытаемся прийти от заключения (вопроса) к данным путем выведения следствий. Обращаем внимание на то, что находим для заключения необходимые условия (отличие от движения от условия к заключению). В ходе описанной работы получаем цепочку рассуждений:

27

заключение 1 2 3 4 условие.

Следующим этапом работы является проверка обратимости каждого шага цепочки, т.е. выясняем, можно ли получить цепочку, записанную в обратном порядке:

условие 4 3 2 1 заключение.

Если хотя бы на одном этапе обратимость нарушается, то от «найденного» способа придется отказаться.

Как видим, несовершенный анализ не всегда может привести к успеху. Именно этот момент и проверка обратимости шагов лежат в основе ошибок учеников. Данный прием может использоваться в качестве вспомогательного на этапе поиска решения. Он часто способствует выявлению нужной идеи и используется в основном при работе с задачами на доказательство и построение. Блок-схема несовершенного анализа представлена на рисунке 10.

Рассмотрим задачу.

A Дано: АВ – касательная;

CАС – секущая.

Доказать:АВ2=АС·AD(рис.11). (*)

В

D

Рис. 11

Поиск доказательства с помощью несовершенного анализа.

Достраиваем необходимые треугольники (рис. 12).

28

Рис. 10

29

АИдея доказательства найдена, оба

Cшага обратимы. Остается доказать подобие АВС и АDВ. Как видим, несовершенный анализ мож-

Вно до конца и не проводить. Так чаще всего и бывает.

D

Рис. 12

Для отработки данного приема нужно организовать его использование в работе с конкретными задачами, недостатка в которых не будет. Их можно найти в школьных учебниках геометрии. Думается, есть необходимость специально остановиться и на отличии этого способа от рассмотренных ранее.

30