Математические модели управления производственно-экономическими системами. Учебное пособие

V. СИНТЕЗ СТРУКТУР МОДЕЛЕЙ НА ОСНОВЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

5.1. ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ И ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА МОДЕЛЕЙ НА ОСНОВЕ ОДНОРОДНЫХ ПФ

В качестве прототипного объекта исследования выберем одну из ведущих отраслей промышленного комплекса Самарской области – отрасль машиностроения и металлообработки, удельный вес которой в объёме произведённой промышленной продукции составляет порядка 60 % [85]. Сформулируем предпосылки, на базе которых построим модельные зависимости.

Объектом моделирования будем считать процесс преобразования производственных ресурсов в конечный продукт, т.е. процесс производства в реально функционирующей хозяйственной системе на основе некоторой агрегированной экономической технологии, которая является «идеальной» моделью исследуемого производ- ственного процесса [55].

Для объекта будем отыскивать объективную и устойчивую связь между входными ресурсами и объёмом выпуска продукции. Моделируемый объект будем рассматривать как единое целое, без учёта его структуры, формы и способов организации производ- ственных отношений.

Производственные ресурсы будем предельно агрегировать, и характеризовать двумя макроэкономическими показателями: коли- чеством овеществлённого, прошлого труда (основными производ- ственными фондами) и вкладом живого труда (численностью трудовых ресурсов).

При построении производственных функций будем учитывать структурные изменения в отрасли и существенные технологические новации: внедрение новых технологий производства и обработки материалов, совершенствование технологических процессов произ-

81

водства и пр. Эти изменения учтём путём выделения фактора влияния научно-технического прогресса (НТП).

С учётом перечисленных предпосылок приступим к построению моделей регионального машиностроительного комплекса.

Исходные данные для построения возьмём из серии статисти- ческих ежегодников [78], [85] и работы [72]. Сопоставимость эконо- мических характеристик в различных периодах обеспечим их пересчётом к единому уровню цен 1990 г. на основе фактических цен и приростных оценок показателей динамики производства.

Изучим возможность описания функционирования отраслевого комплекса на основе типовой, однородной производственной функ- ции Кобба – Дугласа:

где А – масштабный коэффициент, α – параметр, характеризующий эластичность выпуска по капиталу.

Преобразуем функцию (5.1), записав её в форме более простой зависимости – взаимосвязи между производительностью труда Y/L и

Для однородной ПФ Кобба – Дугласа (5.2) будем применять обо- значение ОКД-модель (ОКД).

В логарифмической форме соотношение (5.2) представим в виде линейной связи:

Будем называть линеаризованную ПФ Кобба – Дугласа (5.3) ЛКД-моделью (ЛКД). Будем считать, что численные значения дина- мических рядов для производительности труда Y/L и фондовоору- женности K/L, входящие в соотношение (5.3), известны на основе ис- ходных статистических выборок за соответствующий период времени T. Тогда (5.3) является линейным уравнением, содержащим две неиз-

82

вестные величины – константы ln(A) и α. Применим стандартный ме- тод наименьших квадратов для отыскания значений величин Ln(A) и α. Введём обозначения:

Параметры a и b в (5.5) найдём методом МНК. В соответствии с вышеприведёнными общими соотношениями (4.80)–(4.84), для част- ного случая (5.5) будем иметь следующие зависимости:

– функцию сумм квадратов отклонений фактических значений от расчетных:

Раскроем скобки в системе уравнений (5.7) и запишем её в стан- дартном виде:

Разрешая (5.8), получим:

83

Таким образом, найдены в окончательном виде значения пара- метров уравнения линейной регрессии (5.5) – a и b. На основе значе- ний a и b оценим параметры A и α уравнения (5.1). В соответствии с (5.4) оценка b является несмещённой оценкой параметра [23] и, сле- довательно, α=b. Далее из (5.4) вытекает следующая оценка A=ea. Оценка масштабного коэффициента A в уравнении (5.1) является смещённой вверх оценкой A. Коррекцией данного смещения является преобразование [23]:

где Asc – скорректированное значение A,

Da – значение дисперсии коэффициента a, полученное на основе

(5.10).

На практике различие между Аsc и А незначительны (как правило менее 0,1 %) ими можно пренебречь, и далее будем считать, что A=ea.

Идентификацию параметров производственной функции ЛКД (5.3) проведём для двух вариантов исходных данных: по сглаженным и несглаженным значениям статистических величин.

Сглаживание проводилось с целью устранения влияния случай- ных выбросов статистических данных на основе метода скользящего среднего [5]. Число уровней сглаживания принималось равное трём:

В (5.11) YFITt – сглаженное значение ряда Y.

Второе и предпоследнее значения ряда принимались равными значениям среднего арифметического, соответственно, первого и второго, последнего и предпоследнего значений исходного ряда. Крайние значения ряда оставлялись неизменными.

Исходные и сглаженные ряды статистических величин для рас- сматриваемой задачи, взятые в соответствии с данными статистиче- ских сборников [78], [85], приведены на рис. 5.1. Для обеспечения ре- презентативности выборки данные брались за 35 лет, начиная с 1965 года, когда промышленный комплекс бывшего СССР функциониро- вал достаточно стабильно и эффективно.

84

Рис. 5.2. Показатели функционирования отрасли (– – производительность труда y (Y/L);

–◊– фондовооружённость труда k (K/L);

–ο– фондоотдача g (Y/K); --- сглаженные ряды)

Из рис. 5.2 видно, что в период с 1965 по 1990 гг. монотонно воз- растали фондовооружённость k и производительность труда y, фон- доотдача g постоянно падала. После 1990 года при резком росте фон- довооружённости продолжала падать фондоотдача; производитель- ность труда вела себя нестабильно. На временных интервалах 1990– 1994 гг. и 1997–1998 гг. она падала, в периоды 1994–1997 гг. и 1998– 2001 гг. возрастала.

Проведём построение моделей производственных функций и идентификацию параметров на основе представленных исходных данных. В соответствии с вышеприведённым качественным анализом статистических характеристик, на первом этапе исследования для вы- явления общих, глобальных закономерностей функционирования производственного комплекса построим полную математическую мо- дель для исследуемой задачи, для всего временного интервала с 1965 по 2001 гг. Затем, исходя из того, что трудно надеяться на удовлетво-

86

рительное описание одной математической конструкцией существен- но различного функционирования комплекса в периоды директивной экономики (1965–1990 гг.) и этапе перестроек (1990–2001 гг.), по- строим производственные функции отдельно для этих периодов. Изу- чим вопрос конструирования полной модели на основе объединения (склеивания) этих частных описаний.

В табл. 5.1 приведены параметры и качественные характеристики моделей, рассчитанные по формулам (5.2)–(5.10) и отвечающие из- ложенной методологии для линеаризованной модели однородной ПФ Кобба – Дугласа – ЛКД.

Таблица 5.1

Параметры и характеристики линеаризованных моделей однородной ПФ Кобба – Дугласа (модели ЛКД)

Период: 1965–2001 гг.

87

ln(K/L), и сопоставление расчётных значений с фактическими и сгла- женными исходными данными.

88

89

Из рис. 5.3, а, б следует, что полная модель, идентифицированная на всём интервале 1965–2001 гг., в целом достаточно удовлетвори- тельно описывает тенденцию функциональной взаимосвязи между входными и выходными характеристиками машиностроительного комплекса и большую часть исходных данных. Однако показатели кризисных процессов с 1990 по 2001 гг. значительно отличаются от расчётных.

90