Математические модели управления производственно-экономическими системами. Учебное пособие

∙определение взаимосвязей между целями управления объектом

иэкономическими показателями деятельности.

В соответствие этим задачам виды используемых моделей могут быть также классифицированы следующим образом [48]:

∙функциональные модели работы объекта, описывающие функ- ции объекта и взаимосвязанной совокупности процессов функциони- рования его отдельных элементов;

∙процедурные модели, описывающие порядок (процедуру) воз- действий на объект для обеспечения требуемых условий протекания процессов;

∙модели элементарных процессов, определяющие математиче- ские зависимости между внутренними и внешними переменными процесса;

∙стоимостные модели, определяющие зависимости между эко- номическими показателями деятельности и целями управления объ- ектом.

2.2.ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

При изучении производственно-экономических систем матема- тические модели могут применяться для самых разных вышеперечис- ленных целей, что приводит к использованию моделей различных классов. Построение одной-единственной математической модели для исследования всех аспектов поведения реальных экономических объектов практически не представляется возможным из-за исключи- тельной сложности такой задачи. Поэтому, как правило, при матема- тическом моделировании исследуемого объекта строят частные вспомогательные модели, отражающие ту или иную информацию об объекте, имеющуюся у разработчика на данном этапе построения модели.

Основными процессами математического моделирования эконо- мических объектов являются следующие этапы [48].

21

1.Содержательная постановка задачи.

2.Математическая формализация задачи.

3.Решение сформулированной задачи.

4.Анализ и интерпретация полученных результатов.

Первый этап – содержательная (экономическая) постановка зада- чи. На данном этапе определяются экономические объекты, которые следует исследовать, а также ситуации, которые нужно изучить. Со- бирается информация об объектах, о ресурсах и их характеристиках, процессах производства, распределения, обмена и потребления про- дукции. Объем и содержание экономической информации определя- ются сущностью и целями исследования. К экономической информа- ции предъявляются требования достоверности, своевременности, оперативности, значимости, непротиворечивости, полноты и содер- жательности.

Второй этап – математическая формализация задачи. На этом этапе строится математическая модель процесса. Для того чтобы за- дачу можно было описать математически проводится качественное и количественное изучение объектов и процессов в них. При этом сложные системы и объекты, разбиваются на части-подсистемы и элементы, – т.е. проводится декомпозиция задачи. Определяются ко- личественные и качественные характеристики элементов, описыва- ются структурные и функциональные взаимосвязи между ними. Они формализуются в виде систем уравнений, неравенств и т.п.

При построении математической модели следует учесть в воз- можно более полном объёме всю собранную информацию об объекте и сформулировать критерии эффективности исследуемой экономиче- ской задачи.

Третий этап – нахождение решений сформулированной задачи. На данном этапе осуществляется выбор метода или методов решения задачи. Далее на основе соответствующего метода строится решение поставленной задачи.

Четвёртый, заключительный этап – анализ и интерпретация по- лученных результатов. На этом этапе проводится количественный и

22

качественный анализ, исследуются свойства и показатели эффектив- ности полученных решений, изучаются зависимости характеристик процессов от параметров задачи, на основе математического анализа свойств решений осуществляется содержательная экономическая ин- терпретация полученных результатов.

В соответствие этим этапам моделирования основные стадии процесса построения ЭММ можно представить в форме следующей табл. 2.1.

Выше было сформулировано, что при математическом моделиро- вании экономических задач могут применяться самые разнообразные виды ЭММ, и выделено два класса моделей – по целям и задачам мо- делирования. Классификация ЭММ возможна также по различным

23

другим характерным признакам: особенностям исследуемых объек- тов, методам моделирования, функциям моделей, размерности ЭММ, сферам приложения и пр. [19].

В соответствии с этим существуют различные системы класси- фикации, при этом тот или иной подход к классификации в значи- тельной степени носит достаточно условный характер [1], [56], [57] и др. Рассмотрим основные применяемые подходы к классификации ЭММ.

2.3. ПОДХОДЫ К КЛАССИФИКАЦИИ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

По функциональному признаку выделяются модели экономиче-

ского анализа, модели планирования и модели учета.

По признаку размерности модели классифицируются на макро-

модели, локальные модели и микромодели.

Макроэкономические модели описывают экономические системы как единое целое, связывая между собой агрегированные материаль- ные и финансовые показатели: валовой национальный продукт (ВНП), потребление, инвестиции, занятость, процентную ставку, ко- личество денег и пр. [63].

Цель таких моделей состоит в выявлении общесистемных зако- номерностей, установлении важнейших экономических пропорций и соотношений, темпов роста производства и уровней потребления, ра- циональной отраслевой структуры и в разработке более обоснован- ных перспективных планов хозяйственного развития.

Макроэкономические модели в зависимости от принятых уров- ней детализации могут, в свою очередь подразделяются на односек-

торные, двухсекторные и многосекторные. В односекторной модели рассматривается единая, нерасчленённая экономика, в двухсекторной модели выделяется группа производства средств производства и группа производства предметов потребления. Одна- и двухсекторные модели в силу высокой степени агрегированности показателей не по- зволяют непосредственно решать задачи, которые возникают в про- цессе конкретного планирования.

24

Более полная информация о механизме взаимосвязей в экономи- ческих системах представляется многосекторными моделями, в кото- рых сфера производственно-финансовой деятельности может пред- ставляться десятками, а порой сотнями и даже тысячами самостоя- тельных отраслей [12].

К локальным экономическим моделям относятся модели, с помо-

щью которых анализируются и прогнозируются показатели деятель- ности и развития частных (локальных) экономических подсистем – отраслевых, территориальных и др. Так строятся модели прогноза на- учно-технического прогресса, модели динамики производительности труда и т.д.

Микроэкономические модели описывают деятельность отдельных функциональных составляющих экономики и их взаимодействие в рыночной среде. Вследствие разнообразия типов экономических объ- ектов и форм их взаимодействия на рынке, существует большое чис- ло различных микроэкономических моделей.

Этот класс моделей позволяет проводить углубленный анализ деятельности отдельных предприятий и фирм, выявлять резервы рос- та их эффективности. В качестве методологии построения и иденти- фикации параметров микроэкономических моделей широко исполь- зуются методы математической статистики – корреляционный и рег- рессионный анализ, индексный и выборочный методы.

По содержательным признакам ЭММ разделяются на следую- щие классы:

Статистические модели – это модели типа «вход-выход», в ко- торых строятся корреляционно-регрессионные зависимости конечно- го результата производственно-экономической деятельности от одно- го или нескольких независимых входных факторов в конкретный мо- мент или период времени. Эти модели широко используются для по- строения производственных функций, как при анализе отдельных экономических объектов, так и систем, в целом.

Динамические модели используются для анализа изменения со- стояний экономических систем. Они описывают механизмы и взаи-

25

модействия в экономике, определяющие динамические закономерно- сти протекания процессов. При построении этого класса ЭММ широ- ко используется аппарат дифференциальных и разностных уравнений

[28], [37].

Балансовые модели – описывающие систему балансов про- изводства и распределения продукции. Они обычно конструируются в форме балансовых матриц. Данный вид моделей служит для уста- новления пропорций и взаимосвязей при планировании различных отраслей деятельности, с целью определения равновесных условий функционирования рыночной системы. Классическим примером ба- лансовых – равновесных моделей являются: модель Эрроу-Гурвица [14], модель «затраты-выпуск» В.В Леонтьева [58] и др. [4], [49].

Схематически описанная классификация ЭММ по определяющим признакам представлена на рис. 2.2.

Определяющие признаки экономико-математических моделей

Рис. 2.2. Классификация ЭММ по определяющим признакам

26

Различные классы ЭММ можно выделить также на основе базо- вых характеристик моделей.

По назначению модели разделяются на модели структуры, функционирования и оценочные [48].

Модели структуры отображают связи между объектом, в целом, его элементами и внешней средой. Они подразделяются на следую- щие виды:

−каноническую модель, описывающую в агрегированных пере- менных взаимодействие объекта с окружающей средой через входные

ивыходные величины;

−модель внутренней структуры, определяющую состав элемен- тов объекта и связи между ними;

−модель иерархической структуры, в которой объект декомпо- зирован в виде многоуровневой соподчинённой системы.

Этот класс моделей обычно представляется в виде блок-схем, а также графов и матриц связей.

Среди моделей функционирования выделяются следующие:

−модель жизненного цикла системы – описывает процессы, этапы существования системы;

−модели операций – описывает взаимосвязанную совокупность процессов функционирования элементов объекта при реализации тех или иных его функций.

−информационные модели – отображают взаимосвязи между источником и потребителем информации, виды информации, харак- тер ее преобразования, а также временные и количественные харак- теристики данных;

−процедурные модели – описывают порядок взаимодействия элементов объекта при выполнении различных операций.

−временные модели – описывают процедуру функциониро- вания объекта во времени и распределение временного ресурса по от- дельным элементам объекта.

27

Оценочные модели предназначены для проведения комплексной технико-экономической оценки объекта, отыскания стоимостных ха- рактеристик и (или) его оптимизации по экономическим критериям. В большинстве случаев эти модели являются вторичными по отно- шению к моделям функционирования

По степени неопределённости описания исследуемых процессов экономико-математические модели разделяются на детерминирован-

ные и стохастические.

Вдетерминированных моделях поведение систем однозначно определяется входными данными, свойствами объектов и существует конкретная, чёткая причинно-следственная взаимосвязь между всеми протекающими процессами.

Встохастических моделях зависимость выходных характери- стик от входных воздействий и управлений имеет вероятностный ха- рактер, и одни и те же входные данные, в общем случае, могут при- водить к различным конечным результатам. Стохастические модели описывают случайные процессы, имеющие неопределённый характер

ииспользуют инструментарий теории вероятностей и матема- тической статистики.

По полноте описания возможного многообразия реально проте- кающих процессов выделяются линейные и нелинейные модели.

Линейные модели описывают экономические объекты, характери- стики и параметры которых считаются постоянными, независимыми от режимов и условий протекания анализируемых процессов [26].

Нелинейные модели учитывают изменение значений величин эко- номических факторов и параметров взаимодействий от характеристик производственной и управленческой деятельности. Они описывают гораздо более широкий класс закономерностей протекания экономи- ческих процессов по сравнению с линейными моделями [93].

Схематически классификация ЭММ по базовым характеристикам приведена на рис. 2.3.

28

Базовые характеристики экономико-математических моделей

Рис. 2.3. Классификация ЭММ по базовым характеристикам

29

III.ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

ВЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

3.1.КИБЕРНЕТИЧЕСКИЙ ПОДХОД ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ КАК ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

Построение экономико-математических моделей, адекватно опи- сывающих исследуемые объекты, особенно необходимо для решения задач управления. Под управлением понимается такое входное воз- действие на объект, в результате которого состояние объекта изменя- ется требуемым образом [61].

Введём следующее, конструктивное определение понятия эконо-

мико-математической модели объекта управления (далее по тексту ЭММ) и её составляющих. В аспекте решения задач управления эко- номическими системами под ЭММ будем понимать совокупность ве- личин (факторов), характеризующих экономическую сущность рас- сматриваемых систем и уравнений взаимосвязи между ними, адек- ватно описывающих закономерности протекающих процессов.

Многообразие факторов разделим на два класса величин – пара-

метры и характеристики. Под параметром объекта будем пони-

мать факторы, характеризующие свойства объекта и составляющих его элементов.

Характеристиками будем называть факторы, описывающие по- ведение объекта и внешней среды. Характеристики, в свою очередь, разделим на две группы – входные и выходные.

Под входными характеристиками будем понимать факторы, с помощью которых можно целенаправленно управлять поведением экономического объекта. Входные характеристики формируются внешней средой объекта и определяют управляющее воздействие из- вне на объект.

Под выходными характеристиками будем понимать величины,

описывающие состояние экономического объекта.

30