Математические модели управления производственно-экономическими системами. Учебное пособие

91

Из рис. 5.5, а, б видно, что в период с 1990 по 2001 гг. имеют место значительные отклонения модельных и исходных значений. На этом участке модель (5.3) фактически непригодна для описания протекания процессов в исследуемой СПЭС.

После качественного анализа графиков модельных и расчётных траекторий протекания процессов в СПЭС изучим количественные показатели построенных моделей, представленные в табл. 5.1. В ней приведены численные значения коэффициентов ЛКД (5.3) – A и α – для соответствующих периодов моделирования. Найдены значения дисперсии – DА, Dα и оценки среднеквадратического отклонения этих параметров – SА, Sα. Значимость этих коэффициентов определена путём расчёта абсолютных значений t-критерия Стьюдента. Для сопоставления в скобках приведены табличные значения t-критерия с T-2 степенями свободы (T – число периодов наблюдений).

Из данных табл. 5.1 видно, что при 2,5 %-ном уровне достоверности все коэффициенты моделей на интервалах: [1965– 2001] и [1965–1990] значимы, расчётные значения t-статистики существенно превышают табличные. Из этого следует вывод, что выбор модели ПФ в форме (5.1) для анализа рассматриваемых процессов является статистически обоснованным.

В модели, описывающей поведение процессов с 1990 по 2001 гг., незначимым является коэффициент А, абсолютные значения t-статистики которого меньше единицы, при tтабл.=2,23. Этот параметр можно признать значимым лишь при 20 %-ном уровне значимости tтабл.=0,73, что определяет достаточно малую (0,8) доверительную вероятность расчётов по уравнению (5.3). Вследствие этого, применение модели (5.3) для описания процессов на временном интервале 1990–2001 гг. является статистически необоснованным.

Дополнительно отметим, что во всех моделях, рассчитанных по сглаженным данным, абсолютные значения t-статистики для всех коэффициентов увеличиваются. Следовательно, построенные модели более эффективны для описания сглаженных данных, чем несглаженных.

92

Далее, при анализе значений параметров и характеристик моделей будем для сокращения записей указывать сразу два значения

– первое для фактических и второе – для сглаженных данных. Проанализируем экономический смысл полученных величин

коэффициентов эластичности выпуска по капиталу α, все значения которых, как указывалось выше, достоверны в применённой модели ЛКД (5.3) по t-статистике.

На всём временном интервале идентификации параметр α имел значения 0,57 и 0,58. Эти величины, характеризующие относитель- ный вклад основных фондов в выпуске продукции машинострои- тельного комплекса, соответствуют известным средним значениям для промышленного производства. Так в работе академика Гранбер- га А.Г. [29] приведены значения эластичности α=0,5382 в моделях на основе однородной ПФ Кобба – Дугласа, найденные для экономики

СССР в период с 1960 по 1985 гг.

На первом периоде 1965–1990 гг. идентифицированная величина α равна 0,66 и 0,67. Эти значения выше средних величин на всём временном интервале, и свидетельствуют о достаточно эффективной отдаче основного оборудования машиностроительного комплекса в эти годы. Величина α в период с 1990 по 2001 гг. равна 0,46 и 0,49. Эти значения говорят о резком снижении эффективности использования основных производственных фондов на этапе структурных перестроек.

Найденные значения среднеквадратической ошибки расчётов СКВО – σ – (см. табл. 5.1) в явной форме определяют погрешность вычислений по модели. Количественный анализ СКВО для несглаженных данных показывает, что для интервала 1965–1990 гг. величина среднеквадратической ошибки составляет 0,037 (3,7 %), что является хорошим результатом. Для расчётов процессов с 1990 по 2001 гг. значения СКВО равно 0,135 (13,5 %), что показывает высокий уровень погрешности (практическую непригодность) при

93

расчёте по данной модели. При вычислении характеристик на всём интервале исследования величина ошибки имеет значение 0,099 (9,9 %).

Сопоставление с расчётами по моделям, построенным на основе сглаженных данных, показывает, что точность расчётов возрастает. Величина СКВО для трёх вариантов расчётов, соответственно, равна

2,5 %, 11 % и 8,6 %.

Адекватность полученных регрессионных моделей характеризу- ется величиной коэффициента детерминации R2. На интервалах [1965–1990] и [1965–2001] для несглаженных данных значения R2 весьма высоки – 0,992 и 0,958 соответственно. Эти показатели опре- деляют высокую степень взаимной корреляции фактических данных и результатов расчётов по моделям. Для расчётов по сглаженным данным значения R2 ещё выше – 0,997 и 0,968.

Значения коэффициента детерминации R2 для модели 1990– 2001 гг. составляют 0,445 и 0,58 для фактических и сглаженных дан- ных, т.е. они также свидетельствуют о непригодности модели на этом периоде.

Дополнительно следует отметить, что исходная информация на интервале 1990–2001 гг. состоит из малого числа фактических дан- ных – 12 значений. В этом случае коэффициент R2 является неинфор- мативным и вместо него следует применять скорректированный ко- эффициент детерминации R2sc (4.91). Его значения характеризуют взаимную корреляцию расчетных и исходных данных ещё ниже – 0,39 и 0,54 (см. табл. 5.1). Таким образом, в целом на интервале 1990– 2001 гг. модель ЛКД (2.58) оказывается полностью непригодной.

Отметим, что для большего числа исходных данных – 37 на ин- тервале: [1965–2001] гг. и 26 на интервале [1965–1990] гг. значения скорректированного показателя R2sc отличаются от базовой величины R2 на десятые доли процента. Поэтому в дальнейшем анализе будем учитывать скорректированные значения R2sc только для интервала

[1990–2001] гг.

94

Статистическая значимость (достоверность) коэффициента детерминации и, в целом, параметров уравнения регрессии (5.5) определяются на основе значений F-статистики, рассчитанных по формуле (4.92). Для обеспечения достоверности, значения рассчитан- ных F-статистик должны превышать критические значения F-кри- терия. Табличные значения F-критерия для различных уровней значимости и степеней свободы v1=n – 1, v2=T – n, где n – число оцениваемых параметров, равное двум, представлены в табл. 5.2 по материалам [68].

видно, что для моделей на общем и первом интервалах все расчётные значения существенно превышают табличные для уровня значимости α=0,001 и ниже с большим запасом. При этом оценки по сглаженным данным имеют большие значения F-критерия. Следовательно, в соответствии с F-критерием, вычисленные параметры и характе- ристики на этих интервалах также достоверны.

Для второго интервала с 1990 по 2001 гг. в варианте сглаженных данных коэффициент детерминации R2 значим на уровне α=0,01, в исходном варианте – при α=0,025. Это также свидетельствует о более низком уровне достоверности этой регрессионной модели по сравнению с двумя предыдущими на первом и общем интервалах.

95

На заключительном этапе качественного анализа проверим выполнение гипотезы, которая предполагалась перед построением модели, о случайности и статистической независимости между собой отклонений εi (некоррелированности соседних εi) [44].

Численной оценкой этого предположения является критерий Дарбина – Уотсона – DW (4.93). Близость данного показателя к двум является необходимым условием случайного характера отклонений от линии регрессии [38]. Как видно из табл. 5.1 все критерии DW существенно меньше двух, что свидетельствует о неслучайности отклонений εi. Это означает, что в рассмотренных моделях остались неучтёнными некоторые существенные факторы, и прогнозные возможности моделей в форме однородных ПФ Кобба – Дугласа (5.1) невысоки. Отметим также, что для сглаженных данных критерий DW имеет худшие значения.

Таким образом, рассмотренные линеаризованные модели имеют, в целом, удовлетворительные оценки качества для интервалов [19651990] гг. и [1965-2001] гг. (кроме критерия DW) и явно непригодны для аппроксимации на интервале с 1990 по 2001 г. Для более адек- ватного описания исследуемого комплекса требуется совершенство- вание и уточнение моделей.

Проанализируем показатели качества описания машинострои- тельного комплекса на основе однородной ПФ Кобба – Дугласа (ОКД) в форме степенной зависимости (5.1). Известно, что различные представления моделей могут обладать различающимися аппрокси- мативными свойствами [45].

На рис. 5.6 дана графическая иллюстрация результатов модели- рования на основе ОКД (5.1) фактического выпуска продукции машиностроительным комплексом в исследуемых временных ин- тервалах.

На рис. 5.7 представлены аналогичные результаты для случая сглаженных данных.

96

Рис. 5.6. Траектории выпуска продукции (модель ОКД, фактические данные) (– – реальный выпуск продукции Y (тыс. руб. в сопоставимых ценах);

- - - расчёт по модели ОКД на всём интервале исследования; расчёты по ОКД для первого и второго интервалов)

Рис. 5.7. Траектории выпуска продукции (модель ОКД, сглаженные данные) (– – реальный выпуск продукции Y (тыс. руб. в сопоставимых ценах);

- - - расчёт по модели ОКД на всём интервале исследования; расчёты по ОКД для первого и второго интервалов)

97

Из рис. 5.6, 5.7 видно, что на интервале 1965–1990 гг. существует удовлетворительное соответствие модельных расчётов с исходными данными. После 1990 года сходимость результатов практически отсутствует.

Численные значения основных характеристик и показателей модели ОКД (5.1) приведены в табл. 5.3.

Таблица 5.3

Параметры и характеристики моделей однородной ПФ Кобба – Дугласа (модели ОКД)

Период: 1965–2001 гг.

98

Из анализа свойств модели ОКД (см. табл. 5.3) и сопоставления её с моделью ЛКД (см. табл. 5.1) следует, что корреляция расчётов с фактическими данными для модели ОКД ухудшилось на общем и втором интервалах. Так величина R2sc уменьшилась для сглаженных данных более чем в два раза – с 0,5801 до 0,2462.

Несколько улучшились и без того хорошие показатели соот- ветствия расчётных и статистических данных для первого интервала. Так, для сглаженных данных величина R2 для модели ОКД стала рав- ной 0,998. Значения F-статистики ухудшились для общего и второго интервалов и улучшились для первого.

Показатель DW остался плохим для всех вариантов за исклю- чением модели для первого интервала по несглаженным данным (DW=1,31), где с определённой долей допущения можно признать отсутствие статистически значимой автокорреляции остатков.

Таким образом, в целом, модели на основе однородной ПФ Кобба

– Дугласа удовлетворительно описывают функционирование машиностроительного комплекса для периода стабильной экономики с 1965 по 1990 гг. При этом остаются неучтёнными какие-то факторы, которые следует выявить для усовершенствования проанализирован- ных моделей.

Однородная ПФ полностью непригодна на интервале переход- ного периода 1990–2001 гг. с резкими изменениями динамики поведения производственно-экономической системы. С определённой долей допущения модель ОКД может быть использована для опи- сания общей направленности протекания производственных про- цессов в отрасли на всём периоде исследования с 1965 по 2001 гг.

5.2.ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ НА ОСНОВЕ НЕОДНОРОДНЫХ ПФ

Сцелью совершенствования моделей ПФ и устранения несоот- ветствий, выявленных в предыдущем разделе, изучим возможности аппроксимации исследуемых процессов на основе неоднородной производственной функции Кобба – Дугласа – (НКД-модели) [55].

99

Эта ПФ имеет три параметра идентификации a, b (a+b¹1), A, и, соответственно, обладает более гибкими аппроксимативными свойствами по сравнению с ОКД.

Запишем НКД в явном виде:

В(5.12) А – масштабный коэффициент, a, b – характеристики эластичности выпуска по капиталу и труду [89].

Влогарифмической форме неоднородная ПФ Кобба – Дугласа (ФКД-модель) принимает линейный вид:

Исходная статистика, метод сглаживания, периоды интервалов моделирования и идентификации те же, что использовались в предыдущем параграфе при построении моделей на основе ОКД.

Результаты расчётов статистических показателей качества аппроксимации для линейной формы (5.13) представлены в табл. 5.4.

Таблица 5.4

Параметры и характеристики линеаризованных моделей неоднородной ПФ Кобба – Дугласа (модели ФКД)

Период: 1965–2001 гг.

100