Математические модели управления производственно-экономическими системами. Учебное пособие

i-того ресурса на единицу продукции или ёмкость продукции по от- ношению к данному ресурсу: трудоёмкость, фондоёмкость, энерго- ёмкость и т.д.

Характеристика (4.18) показывает соотношение затрат, соответ- ственно i-того и j-того ресурсов, обеспечивающее требуемый выпуск продукции. В случае если в качестве i-того ресурса выступают капи- тельные ресурсы, а в качестве j-того – трудовые, то данный показа- тель (4.18) определяет фондовооружённость труда. Если эти виды ресурсов меняются местами, то показатель характеризует трудовоо-

ружённость фондов.

2. Характеристики первого порядка.

Предельная производительность i-того ресурса:

Величина ri характеризует предельное значение отношения при- роста выпуска продукции y к увеличению затрат i-того ресурса xi при xi→0 и постоянных значениях других ресурсов. Предельная производительность i-того ресурса (4.19) равна дополнительному ко- личеству продукта, которое получается при увеличении i-того ресур- са на единицу.

Эластичность выпуска по i-тому ресурсу:

51

Показатель (4.20) характеризует относительную предельную производительность ресурса в производственном процессе или отно- шение процентного прироста продукции к процентному приросту за- трат соответствующего ресурса.

Величина Ei(x) показывает, на сколько процентов изменяется вы- пуск продукции при изменении i-того ресурса на один процент. Эла- стичность выпуска Ei(x) можно также трактовать как отношение пре- дельной производительности (4.11) к средней (4.16), и как произведе- ние предельной производительности на средние затраты ресурса.

Эластичность выпуска по масштабу производства:

Величина e(x) характеризует интегральную экономическую эф- фективность производственного процесса и определяет относитель- ное увеличение выпуска продукции y при расширении масштаба про- изводственной деятельности λ [8*].

Выражение (4.21) может быть представлено также в другом виде. Вычисляя производную d(f(λX))/dλ как неявную функцию от пере- менных λxi имеем:

Из (4.22) видно, что эластичность выпуска по масштабу произ- водства равна сумме эластичностей выпуска по всем ресурсам. Для однородных ПФ (4.15) эластичность по масштабу производства (4.21) равна степени однородности данной функции.

Качественно, эластичность e(x) показывает, на сколько процентов увеличится выпуск продукции при возрастании масштаба деятельно- сти на один процент.

Предельная норма замещения i-того ресурса j-тым – отношение предельных затрат ресурсов взятых со знаком минус.

52

Показатель hij является характеристикой взаимозаменяемости ре- сурсов и показывает, сколько единиц j-того ресурса требуется для за- мещения одной единицы i-того ресурса для обеспечения постоянства выпуска продукции.

Знак минус в выражении (4.23) означает, что при уменьшении за- трат одного ресурса затраты другого ресурса требуется увеличить.

Количественно, величина hij определяется отношением предель- ных производительностей i-того и j-того ресурсов.

3. Характеристики второго порядка.

Эластичность замещения ресурсов:

Показатель σij характеризует относительную эффективность взаимозаменяемости различных факторов и, являясь величиной вто- рого порядка, определяет скорость изменения предельной нормы за- мещения ресурсов.

Величина σij равна процентному изменению соотношения затрат i-того и j-того ресурсов, отнесённому к процентному изменению их предельных производительностей. При σij = 0 ресурсы незамещаемы. В случае если σij →∞, ресурсы полностью взаимозамещаемы [44].

4.3.ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

ИИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Рассмотренные выше модели ПФ характеризуются аналитиче- ской зависимостью f(x) общего вида. При математическом моделиро- вании реальных экономических объектов функции f(x) являются кон- кретными, однозначно определёнными математическими конструк- циями.

Рассмотрим типовые одномерные ПФ, наиболее широко приме- няемые для описания экономических объектов. Такие ПФ описывают производственно-экономические системы, характеризующиеся не- сколькими входными воздействиями и одной выходной величиной.

53

Простейшей моделью ПФ является линейная производственная функция (ЛПФ):

В (4.25), (4.26), (4.27), (4.28) ai – весовые коэффициенты, харак-

теризующие вклад соответствующих ресурсов xi в производственной технологии; A, p – структурные, масштабные коэффициенты.

Численные значения коэффициентов ai, A, p определяются из идентификации моделей ПФ по статистическим данным функциони- рования экономических объектов.

Рассмотрим более детально характеристики и свойства приве-

Вычислим по формулам (4.16)–(4.24) введённые выше характери- стики для линейной ПФ (4.29) и результаты представим в форме табл. 4.1.

54

Таблица 4.1

Характеристики линейной ПФ

Из анализа данных табл. 4.1 следует, что линейная ПФ характе- ризуется полной взаимозаменяемостью ресурсов, постоянством и не- зависимостью значений предельной производительности и предель- ной нормы замещения факторов от объемов ресурсов. Из описания (4.29) также вытекает, что выпуск продукции может быть достигнут затратами только одного из ресурсов. Это не соответствует выполне- нию условия (4.10) и накладывает ограничения на использование ли- нейной ПФ для описания свойств реальных экономических объектов.

Линейная функция обычно применяется для моделирования крупномасштабных систем, в которых выпуск продукции является результатом одновременного функционирования и взаимодействия большого числа различных производственных технологий [55].

Результаты вычисления характеристик для производственной функции Кобба – Дугласа (4.30) представлены в табл. 4.2.

55

Из анализа характеристик ПФ Кобба – Дугласа следует, что ре- сурсы являются взаимозаменяемыми. При этом для компенсации единицы i-того ресурса требуется возрастающее количество дополни- тельных затрат j-того ресурса. Ввод новой единицы ресурса приносит эффект, пропорциональный средней производительности имеющего- ся ресурса [55].

В зависимости от показателя эластичности по масштабу произ- водства может наблюдаться возрастающая (ε(x)>1), убывающая (ε(x)<1) или постоянная (ε(x)=1) отдача на масштаб производства. При фиксированном выпуске предельная производительность падает с ростом затрат используемого ресурса.

ПФ Кобба – Дугласа достаточно широко применяется для описа- ния крупно- и среднемасштабных объектов (отрасль, производствен- ное объединение), характеризующихся устойчивым, стабильным функционированием

3. Производственная функция с постоянными пропорциями фак- торов (функция Леонтьева):

56

Характеристики ПФ с постоянными пропорциями приведены в табл. 4.3.

Таблица 4.3

Характеристики ПФ с постоянными пропорциями

Рассматриваемая ПФ с постоянными пропорциями является мо- делью процессов, отвечающих решениям задачи линейного програм- мирования [55]:

ние затрат одного из ресурсов при фиксированном значении второго к увеличению выпуска не приводит. Факторы производства незаме- щаемы, характерен эффект постоянной отдачи на масштаб произ- водства.

Применяется в случаях, когда производственный процесс харак- теризуется наличием одного или нескольких существенно лимити- рующих, дефицитных ресурсов.

4. Функция с постоянной эластичностью замещения (CES):

Характеристики ПФ с постоянной эластичностью замещения приведены в табл. 4.4.

Таблица 4.4

Характеристики ПФ с постоянной эластичностью замещения

57

В зависимости от параметра р в показателе эластичности заме- щения ресурсов ПФ (4.33) может трансформироваться в рассмотрен- ные ранее функции. При р → –1 ПФ (4.33) преобразуется в линейную ПФ с бесконечной эластичностью (4.29). При р → 0 получается ПФ Кобба – Дугласа (4.30) с единичной эластичностью замещения. При р → ∞ зависимость (4.33) принимает вид ПФ с фиксированными про- порциями затрат (4.31) и нулевой эластичностью замещения.

ПФ вида (4.33) применяются в случаях, когда отсутствует точная информация о степени взаимозаменяемости производственных фак- торов, но существуют предположения о неизменности уровня взаи- мозаменяемости ресурсов при изменении их объёмов. В этом случае можно полагать, что экономическая технология обладает устойчиво- стью к пропорциям факторов [55].

Рассмотренные выше классы типовых производственных функ- ций являются модельными, теоретическими конструкциями и харак- теризуют свойства абстрактных технологий с высокой степенью агре- гированности параметров. При математическом моделировании ре- альных объектов и экономических процессов выбор конкретного вида ПФ обуславливается целями исследования, требованиями к полноте и адекватности описания, объёмом и достоверностью исходной инфор- мации.

Выбранные теоретические зависимости формируют структуры моделей с набором соответствующих параметров, которые иденти- фицируются по реальной статистике. Следует отметить, что различ- ные виды ПФ имеют не только отличающиеся структуры, но и раз- личные аппроксимативные и интерпретирующие свойства. Исследо- вания в данной области широко представлены в литературе: [38], [44], [55], [64], [74], [89], [100], и др.

58

4.4.ДВУХФАКТОРНЫЕ ПФ – ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

ИХАРАКТЕРИСТИКИ

При моделировании ПЭС большую роль играет выбор состава и числа производственно-экономических показателей, количества настроечных, идентифицируемых параметров. Для анализа наиболее общих системных закономерностей следует применять модели с наивысшей степенью агрегирования показателей.

Максимальная степень агрегирования реализуется в моделях ПФ с одной выходной величиной – выпуском продукции – и с двумя входными воздействиями – затратами капитальных (K) и трудовых ресурсов (L). В таких моделях объём производимой продукции харак- теризуется единым интегральным показателем, – как правило, стои- мостью выпускаемых товаров. При этом единицей измерения являет- ся денежный измеритель.

Затраты трудовых ресурсов определяются численностью рабо- тающих, единица измерения – количество работников. Затраты мате- риальных ресурсов определяются стоимостью производственных фондов или овеществлённым (прошлым) трудом. Единица измерения

–денежный измеритель.

Вэтом случае агрегированная экономическая технология описы- вается входными параметрами – стоимостью производственных фон- дов (K, руб.) и численностью работающих (L, чел.); и выходным па- раметром – стоимостью выпускаемой, товарной продукции (Y, руб.). Структурное представление агрегированной технологии приведено на рис. 4.3.

Рис. 4.3. Структурное представление производственно-экономической системы

59

Производственные функции, описывающие такие агрегирован- ные технологии получили название двухфакторных ПФ. Производст- венная функция (4.8) для этого случая принимает следующий вид:

где K – материальные и L – трудовые ресурсы.

Применение двухфакторных производственных функций в форме (4.34) в качестве математических моделей существенно упрощает задачу содержательного анализа и моделирования экономических процессов.

Сформулируем свойства двухфакторной ПФ, которые являются частным случаем рассмотренных ранее базовых свойств ПФ.

>0, при K > 0, L > 0 .

∂L

3.Увеличения использования лишь одного производственного ресурса снижается эффективность его использования:, L )( KF

∂L 2 < 0, при K > 0, L > 0 .

4.Изменение масштабов производства приводит к росту резуль-F

60