Математические модели управления производственно-экономическими системами. Учебное пособие

101

Из анализа данных табл. 5.4 следует, что на общем периоде идентификации все оценки коэффициентов построенных моделей значимы. На первом периоде незначимыми являются оценки для масштабного коэффициента ln(А). На втором интервале исследования значимой является только оценка параметра β в варианте сглаженных данных. Наблюдается общая тенденция роста расчётных значений t-статистики для моделей, рассчитанных по сглаженным данным.

Аппроксимативные свойства моделей ФКД улучшились по сравнению с моделями ЛКД. Значения среднеквадратической ошибки стали меньше и составили 7,85 % и 6,35 % для общего и 3,47 % и 2,23 % для первого периодов. На втором периоде оценки СКВО практические не изменились.

Коэффициент детерминации для общего и первого периодов увеличился, наилучшее значение данный показатель принимает для модели с 1965 по 1990 гг. в варианте сглаженных данных – R2=0.9985. Эти коэффициенты являются значимыми, F-статистика значительно превышает табличные значения.

102

Модели на интервале с 1990 по 2001 гг. стали иметь меньшие значения скорректированного коэффициента детерминации R2sc. Однако эти показатели нельзя признать значимыми, так как расчётные значения F-статистики составляют 1,89 и 3,88, при табличном значении F2,9=4.2 (при уровне значимости α=0,05).

Устойчиво проявляется тенденция уменьшения ошибки аппроксимации и повышения адекватности при использовании сглаженного варианта первичной статистики на всех интервалах исследования. Значения критерия Дарбина – Уотсона DW изменились незначительно и остаются достаточно низкими для признания отсутствия автокорреляции.

Для содержательной экономической интерпретации модели ФКД помимо факторных эластичностей α и β в табл. 5.4 приведены также значения полной эластичности λ=α+β, характеризующей интегра- льную, масштабную эффективность производства, в целом.

На первом периоде 1965–1990 гг. значения эластичности по фондам α равны 0,64 и 0,62. Эти величины близки к значениям, идентифицированным в модели ЛКД однородной ПФ Кобба – Дугласа (см. табл. 2.1). Эластичность выпуска по труду равна 0,50 и 0,58. Это достаточно высокие оценки вклада трудовых ресурсов. При этом α>β, что отражает больший вклад капитала в конечные продукт. Суммарная эластичность выпуска, в целом, λ равна 1,14 и 1,20. Эти значения характеризуют достаточно высокую суммарную эффективность использования капитальных и трудовых ресурсов в первом периоде.

Во втором периоде значения α чрезмерно высоки 1,45 и 2,20. Однако в соответствии с t-статистикой их следует признать недостоверными, и содержательного экономического смысла они не имеют. Аналогично обстоят дела и со значениями β и λ на этом интервале.

На всём периоде моделирования значения α – 0,58 и 0,59 практически те же, что и у однородной ПФ – модели ЛКД (табл. 5.1),

103

и они достаточно достоверны. Значения β равны 0,72 и 0,71. Это очень высокие значения вклада трудовых ресурсов, существенно превышающие вклад капитала β>α. Соответственно, весьма высокой оказывается и суммарная эластичность λ – 1,31 и 1,30. Значения β и λ в модели ФКД с экономической точки зрения являются завы- шенными, что с математической точки зрения является следствием влияния периода с 1990 по 2001 гг., где модель ФКД оказывается недостоверной по всем параметрам и показателям качества.

В целом, модель ФКД также как модель ЛКД не учитывает важные факторы, определяющие сущность экономических процессов, что приводит к неудовлетворительным характеристикам этих моделей, кроме, частично, первого периода с 1965 по 1990 гг.

Проанализируем качество описания исследуемых процессов на основе модели неоднородной ПФ Кобба – Дугласа – НКД в форме (5.12). Численные значения параметров модели возьмём по результатам идентификации, представленным в табл. 5.4.

На рис. 5.8, 5.9 представлены графики, иллюстрирующие пове- дение расчётных траекторий моделей НКД.

Рис. 5.8. Траектории выпуска продукции (модель НКД, фактические данные) (– – реальный выпуск продукции Y (тыс. руб. в сопоставимых ценах);

- - - расчёт по модели НКД на всём интервале исследования; расчёты по НКД для первого и второго интервалов)

104

Рис. 5.9. Траектории выпуска продукции (модель НКД, сглаженные данные) (– – реальный выпуск продукции Y (тыс. руб. в сопоставимых ценах);

- - - расчёт по модели НКД на всём интервале исследования; расчёты по НКД для первого и второго интервалов)

Визуально наблюдается удовлетворительное совпадение расчётных и фактических значений характеристик для первого временного интервала. Особенно хорошее соответствие имеет место для сглаженных данных. На втором интервале сходимость расчётов с фактическими значениями остаётся низкой.

Значения параметров и основных качественных характеристик моделей НКД представлены в табл. 5.5.

Таблица 5.5

Параметры и характеристики моделей неоднородной ПФ Кобба – Дугласа (модели НКД)

Период: 1965–2001 гг.

105

Из сопоставления характеристик неоднородных производствен- ных функций – ФКД (табл. 5.4) и НКД (табл. 5.5) следует, что, в целом, аппроксимативные свойства модели НКД несколько ниже, чем модели ФКД. Уменьшилась величина коэффициентов детерминации R2 и R2sc для всех моделей, кроме варианта несглаженных данных для второго периода. Снизились расчётные значения F-статистик (кроме

106

этой же ситуации). Остались неудовлетворительными величины критериев Дарбина – Уотсона DW для всех моделей.

В целом модели, построенные на основе неоднородных ПФ для общего и первого интервалов, имеют несколько лучшие аппрокси- мативные свойства и адекватность по сравнению с аналогичными моделями однородных ПФ, однако учёт в моделях значимых факторов неудовлетворителен. В случае моделирования поведения процессов на интервале с 1990 по 2001 гг. модели продолжают оставаться непригодными для адекватного описания протекающих процессов.

5.3. СИНТЕЗ МОДЕЛЕЙ С УЧЁТОМ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГРЕССА

Как было отмечено ранее, одним из возможных существенных факторов, неучтённых в предшествующих построениях является научно-технический прогресс. Введём данный фактор в построенные

впредыдущих разделах модели, и проведём сравнительный анализ качественных характеристик таких моделей.

Втеории производственных функций фактор НТП обычно вводится как дополнительный член уравнения, экспоненциально зависящий от времени t в виде (4.51). Будем применять модели ПФ с нейтральным НТП, – нематериализованным ни в одном из рассматри- ваемых факторов производства [89].

Математическую модель в форме ОКД с учётом НТП запишем

ввиде

где τ – характеристика темпа роста эффективности технологических

107

Методом наименьших квадратов найдём неизвестные параметры: A, α, τ, и проведём качественный анализ полученных характеристик модели. Результаты расчётов для линейной формы (5.15) пред- ставлены в табл. 5.6.

Таблица 5.6

Параметры и характеристики линеаризованных моделей на основе однородной ПФ Кобба – Дугласа с учетом научно-технического прогресса (модели ЛНТ)

Период: 1965–2001 гг.

108

109

Проанализируем данные табл. 5.6 и сравним их с характеристи- ками линеаризованной однородной ПФ Кобба – Дугласа без учёта НТП – ЛКД (5.3).

Отметим снижение оценок значимости параметров однородной ПФ – A и α – в модели ЛНТ (табл. 5.6) по сравнению с моделью ЛКД (табл. 5.1), кроме одного значения для сглаженных данных второго периода. Введённый в модель ЛНТ фактор НТП – τ – значим лишь в модели на интервале с 1990 года в варианте сглаженных данных. Во всех других моделях фактор НТП является незначимым. Значения среднеквадратических ошибок в моделях ЛНТ и ЛКД близки между собой.

Для моделей второго временного интервала характерно значительное увеличение скорректированного коэффициента детерминации R2sc с 0,3895 до 0,4751 по фактической статистике и с 0,5381 до 0,8015 при сглаженных данных.

Все значения R2 являются значимыми на уровне α=0,001, расчётные значения F-критерия в несколько раз превосходят табличные. Исключение составляет второй интервал, где уравнение регрессии (5.15) значимо только на уровне α=0,05 для исходных данных.

Учёт в моделях НТП фактора времени τ, лишь незначительно повысил оценки DW. В моделях для первого и второго интервалов значения критерия DW превышают единицу в вариантах несгла- женных данных, однако и в этих случаях нельзя признать верной гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков.

Как и во всех предыдущих моделях, более удовлетворительные оценки имеют модели ЛНТ на интервале с 1965 по 1990 гг. Эти модели имеют высокие аппроксимативные свойства (коэффициент детерминации R2 возрастает до 0,9967), однако статистическая незначимость параметра τ и наличие автокорреляции не позволяют в полной мере удовлетворительно оценить эти модели.

110