Математические модели управления производственно-экономическими системами. Учебное пособие

Для ПФ вида (4.34) характеристики нулевого порядка принимают вид следующих показателей эффективности:

Фондоотдача:

Приведённые показатели в классе двухфакторных агрегирован- ных технологий характеризуют эффективность использования капи- тальных и трудовых ресурсов в производственном процессе и эффек- тивность функционирования экономической системы в целом.

Рассмотренные двухфакторные ПФ являются в настоящее время эффективным способом анализа и исследования широкого круга экономических процессов и систем.

4.5.НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ПРОГРЕСС

ВМОДЕЛЯХ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

При учете изменения технологических характеристик произ- водств во времени производственную функцию (4.34) можно пред- ставить в виде:

В (4.47) A(t) и B(t) – некоторые функции времени, описывающие факторы повышения эффективности использования ресурсов в ре- зультате влияния научно-технического прогресса (НТП) на производ- ственный процесс.

61

Под НТП будем понимать совокупность всех процессов, которые приводят к увеличению количества продукции без роста объёмов ис- пользуемых ресурсов [44].

В постановке (4.47) учитывается так называемый «автономный» научно-технический прогресс, т.е. полагается, что рост эффективно- сти использования ресурсов не зависит от капиталовложений и дина- мики изменения рабочей силы и приносится извне [44].

Наиболее распространены три способа учета влияния «автоном- ного» НТП:

1. A(t) ≡ B(t). Такие процессы НТП отвечают пропорциональному росту во времени эффективности использования как материальных,

увеличение общей эффективности функционирования происходит при неизменности основных свойств агрегированной экономической технологии.

2. A(t) ≡ 1. В этом случае растёт эффективность использования трудовых ресурсов и остаётся неизменной эффективность использо- вания материальных ресурсов. Технический прогресс воздействует непосредственно на производительность труда – имеет место трудо- сберегающий НТП.

3. B(t) ≡ 1. В этом случае возрастает эффективность использова- ния материальных ресурсов при неизменности эффективности ис- пользования трудовых ресурсов. Эта ситуация отвечает капиталосбе-

62

Рассмотренный в постановках (4.48)–(4.50) НТП является ней- тральным т.е. не материализованным ни в одном из факторов произ- водства. Рост эффективности в этом случае обусловлен только фак- тором времени. Зависимости A(t), B(t) описываются наиболее часто экспоненциальными функциями [55]:

Использованные в моделях (4.48)–(4.50) нейтральный НТП фактически является экзогенным, внешним фактором, без дополни- тельных затрат ресурсов увеличивающим эффективность функциони- рования производственной системы.

Помимо такого подхода для описания НТП также применяется теория «овеществлённого» технического прогресса. Построение мо- дели НТП в этом случае основано на предположении, что научно-тех- нический прогресс определяется новым, более совершенным оборудованием и (или) новой, более квалифицированной рабочей силой, введёнными за исследуемый период времени [55], [89].

ПФ (4.48) для материальных ресурсов, введённых в году v, имеет

где K(v) – количество материальных ресурсов, приобретённых в году v. L(v) – число рабочих, соответствующее возросшему уровню

материальных ресурсов.

Модель (4.52) «овеществлённого» НТП формально описывает рост материальных факторов производства, однако не объясняет сущностные причины происхождения технического прогресса. Для этих целей используются модели «индуцированного» НТП, где про- гресс связывается с предыдущим развитием экономики – уровнем предшествующих капиталовложений, – и является следствием этого развития. Основанием такой гипотезы служит предположение о том, что объёмы предшествующих капиталовложений определяют степень технологического развития.

63

Более общий подход к определению сущности технического про- гресса рассматривает НТП как самостоятельную отрасль производства [44]. В работе [103] была предложена одна из таких моделей в виде:

величина А не является заданной функцией времени, а должна удов- летворять дифференциальному уравнению:

где μ – затраты на научные исследования и δ – некоторый оператор. Рассмотренные подходы по-разному описывают НТП, его приро-

ду, принципы организации и влияние на технологические процессы. Наиболее перспективным является рассмотрение НТП в виде отдель- ной отрасли, однако существенной трудностью в этом случае пред- ставляется определение функциональной зависимости δ(A, μ) в по- становке (4.54).

4.6. ТЕМПОВАЯ ЗАПИСЬ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Модели ПФ могут быть определены не только на множестве ин- тегральных показателей факторов производства и объёмных значени- ях выпуска, но и на основе дифференциальных, относительных ха- рактеристик – темпов прироста показателей.

Непрерывные темпы прироста определяются соотношениями:

– для выпускаемой продукции:

64

– дискретный темп прироста материальных ресурсов:

– дискретный темп прироста трудовых ресурсов:

Темпы прироста производственных факторов характеризуют ин- тенсивность использования ресурсов: усреднённые на единичном временном интервале, для дискретных показателей и текущие, для каждого момента времени, для непрерывных процессов.

Модельное описание ПФ в темповой записи в общем случае при- нимает вид:

В (4.64) отношения в левой и правой частях равенства являются соответственно непрерывными темпами прироста выпуска продук- ции, капитала и труда. В соответствии с введёнными обозначениями (4.55)–(4.57) соотношение (4.64) принимает вид:

Соотношение (4.65) и является ПФ Кобба– Дугласа в темповой записи. Соответственно, при замене дифференциалов в (4.63) на сами приращения получим запись в дискретных темпах прироста.

65

Следует отметить, что в темповой записи степенная неоднород- ная производственная функция Кобба – Дугласа (4.61*) является ли- нейной зависимостью (4.65).

4.7. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СВОЙСТВ ДВУХФАКТОРНЫХ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Рассмотренные ранее характеристики и выявленные свойства ПФ для случая двух факторов производства имеют наглядную геометри- ческую интерпретацию.

Выше было сказано, что одно и то же количество конечной про- дукции – Y можно получить при различных соотношениях объёмов разных производственных ресурсов. На плоскости ресурсов – K и L это положение наглядно иллюстрируется кривыми постоянного уровня выпуска – изоквантами. Эти кривые, которые называются также кривыми безразличия, являются геометрическим местом точек, в которых различные сочетания объёмов ресурсов производства K и L дают одинаковое количество выпускаемой продукции:

y2const.>y1const.

f(K,f(K,L)L)==y2const.

const.

f(K, L) = y1const.

L

Рис. 4.4. Изокванты (кривые постоянного уровня выпуска) на плоскости факторов производства

Поведение изоквант характеризуется следующими основными свойствами:

66

Таким образом, возможности и степень замещения факторов производства можно определить по форме, наклону и кривизне изо- кванты. Так, в случае полного замещения факторов, характерного для систем, описываемых линейной ПФ (4.29), предельная норма заме- щения ресурсов является константой. Изокванты в этом случае явля- ются прямыми линиями – рис. 4.5.

f(x1, x2) = yconst.

x1

Рис. 4.5. Кривые постоянного уровня выпуска

вслучае полного взаимозамещения факторов производства

Вслучае полностью незамещаемых факторов производства, когда для обеспечения производственного процесса требуется строго лими- тированные пропорции определённых ресурсов, изокванта представ- ляет собой вертикальные и горизонтальные прямые, параллельные осям координат, исходящие из точки, соответствующей заданной пропорции факторов – рис. 4.6.

f(x1, x2) = yconst.

x1

Рис. 4.6. Вид изокванты в случае незамещаемых ресурсов

68

Эта производственно-экономическая ситуация описывается ПФ с постоянными пропорциями (4.31).

Эластичность замещения ресурсов (4.24) определяет степень кри- визны изокванты, т.е. как быстро изменяется наклон кривой безраз- личия. Следует отметить, что данный показатель постоянен для большинства типов ПФ, т.е. не изменяется при движении вдоль неко- торой изокванты и не зависит от её выбора. Для линейной функции он равен бесконечности, а для функции с постоянными пропорциями

–нулю [44].

4.8.МЕТОДИКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ПФ И ОЦЕНКА КАЧЕСТВА

МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Для эффективного использования производственных функций ПЭС, модели экономических систем должны быть идентифицируемыми, то есть должна существовать конструктивная процедура вычисления их параметров [77], обеспечивающая сходимость резуль- татов расчётов по модели и показателей функционирования реальных ПЭС [8], [91]. Критерием идентифицируемости является мера отклонения модельных расчётов от фактических статистических данных.

В качестве базового подхода идентификации параметров произ- водственных функций ПЭС будем применять один из возможных способов – метод наименьших квадратов (МНК). Этот метод явля- ется одним из наиболее распространённых, эффективным на практике и в тоже время достаточно простым [52]. Основные положения метода наименьших квадратов были сформулированы в 1794 году Гауссом [21], позднее этот метод был независимо переоткрыт Ле- жандром в 1806 году, и далее развит и обоснован в работах Лапласа [25]. Его становление, анализ свойств метода и его модификаций, практические приложения описаны в работах [18], [40], [62] и др.

Следует отметить, что наряду с применяемым в работе базовым методом наименьших квадратов существует достаточно большое

69

число других методов идентификации. В их основу положены как вероятностные подходы: байесовский метод оценивания, метод максимального правдоподобия, так и другие: [31], [33], [39], [81],

[82], [97].

В отличие от этих подходов, несомненным достоинством метода МНК является его простота и отсутствие необходимости знания вероятностных характеристик параметров исходных данных [83], необходимо лишь задать определённую структуру идентифици- руемой модели [77]. К недостаткам метода следует отнести чувстви- тельность оценок МНК к редким выбросам экспериментальных данных, что в этих случаях требует предварительной процедуры обработки исходных данных – сглаживания.

Среди модификаций базового метода МНК можно выделить: метод взвешенных наименьших квадратов, метод штрафных функ- ций, обобщённый МНК (марковские оценки), рекуррентные формы МНК, адаптивные МНК и др. [40], [60], [75].

Оценку качества идентифицированных параметров и адекват- ность математических моделей будем проводить на основе методов многомерного регрессионного анализа [35], [38].

Оценка качества модели состоит из следующих этапов:

∙проверка статистической значимости каждого коэффициента уравнения регрессии;

∙оценка общего качества уравнения регрессии;

∙проверка гипотез, выполнение которых предполагалось при оценивании уравнения.

Необходимой составляющей оценки качества, также является со- держательный анализ математической модели – интерпретация свойств производственных процессов, описываемых полученными уравнениями регрессии:

∙действительно ли значимыми оказались объясняющие факто- ры, важные с точки зрения теории;

∙положительны или отрицательны коэффициенты, показываю- щие направление воздействия этих факторов;

70