Математические модели управления производственно-экономическими системами. Учебное пособие

Принцип эффективной реализуемости. Требует выполнения со-

ответствия степени точности исходной информации, точности реше- ния задачи и допустимой погрешности, точности результирующей информации, которая необходима для практических целей.

Помимо приведённых, общих принципов [44], основанных на подходах системного анализа, при построении ЭММ используются ряд частных принципов. Далее представлены некоторые наиболее значимые, частные принципы. Приведённый состав не является пол- ным, и в каждом конкретном случае возможно и целесообразно ис- пользование иных, специальных принципов, характерных для иссле- дуемой категории объектов моделирования [100].

Принцип развития требует постоянного совершенствования сис- темы моделей, включения в ее состав новых моделей, использование которых становится необходимым и возможным по мере общего со- вершенствования методологии планирования и управления.

Принцип единства означает сбалансированное формирование всего комплекса экономико-математических моделей в единой струк- туре взаимосвязанных блоков. Его реализацией является единство и общность методологического подхода к построению частных ЭММ, используемых на разных уровнях и стадиях исследования.

Принцип относительной автономности предусматривает воз-

можность выделения из общей системы моделей относительно само- стоятельных частей – локальных моделей.

Принципы соответствия и адаптации в системе экономико-

математических моделей означают соответствие и корректирование моделей требуемым целям и задачам управления.

Принцип необходимого разнообразия заключается в том, что для адекватного отражения объективных процессов в состав системы мо- делей следует включать модели различного вида, в том числе реали- зующие методы математической статистики, математического про- граммирования, межотраслевого баланса, сетевые и имитационные модели.

42

Принцип взаимного дополнения групп моделей утверждает, что для каждого из основных блоков системы моделей целесообразно выделять взаимодополняющие группы моделей, имеющие близкое назначение.

Принцип увязки моделей означает, что между моделями групп и блоками системы, в целом, должны устанавливаться следующие виды взаимосвязей: логическая, информационная и алгоритмическая.

Логическая связь определяет общую последовательность функ- ционирования моделей в системе, логику взаимного согласования разнообразных моделей.

Информационная связь обеспечивает взаимосвязанный обмен информацией иерархий частных моделей: выходная информация од- них моделей служит входной информацией для других, и т.д. Инфор- мационная связь между моделями характеризуется горизонтальной и вертикальной связями:

∙горизонтальная – связывает модели одного уровня иерархии.

∙вертикальная – формирует связи между различными уровнями управления.

Алгоритмическая связь определяет совокупность алгоритмов и программ преобразования входной и выходной информации для всей системы моделей.

Сформулированные общие и частные принципы моделирования позволяют обоснованно конструировать иерархические, многоуров- невые системы экономико-математических моделей различной сте- пени сложности и полноты описания. При этом на каждом уровне моделирования для каждой частной модели должны быть выделены основные, существенные характеристики объекта исследования, ко- торые найдут отражение в моделях в качестве переменных, целевых функций или ограничений.

Отметим, что, в целом, построение и исследование математиче- ских моделей интересующего экономического явления не является самоцелью, это лишь способ вскрытия и анализа закономерностей изучаемых процессов, подготовки и принятия эффективных управ- ленческих решений, оптимальных, по тем или иным критериям, в данной обстановке.

43

IV. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

ВФОРМЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

4.1.ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННО-ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ КАК ОБЪЕКТА ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ

Произвольную производственно-экономическую систему (ПЭС) можно представить в виде процесса преобразования входных пара- метров (ресурсов различной природы) в выходные параметры (ко- нечные продукты). Такое преобразование, осуществляемое ПЭС, ха- рактеризует процесс производства любой продукции.

Экономическая сущность всякого производственного процесса определена целесообразной деятельностью человека, с помощью ко- торой он преобразует природу и приспосабливает ее для удовлетво- рения своих потребностей. «Всякий труд – имеет своей целью произ- вести какой-либо результат» [24].

Таким образом, производственный процесс можно определить как целенаправленную деятельность людей, которые с помощью средств и предметов труда путём совокупности ряда приёмов и спо- собов перерабатывают исходные ресурсы в готовую для потребления продукцию.

В функционирующей экономической системе всё многообразие как выпускаемой продукции, так и используемых при её производст- ве ресурсов можно определённым образом структурировать и клас- сифицировать по тем или иным признакам. Таким образом, осущест- вляется объединение (агрегирование) факторов по некоторому функ- циональному признаку. Признаки и принципы агрегирования должны соответствовать реальной структуре функционирования экономики. Обоснованное агрегирование факторов возможно как для экономиче- ской системы, в целом, а также для производственных отраслей, ком- плексов и промышленных предприятий – основных структурных единиц экономики.

44

Далее будем полагать, что функционирование ПЭС характеризу- ется некоторым небольшим числом агрегированных факторов – ре- сурсами и продуктами, структурированными по определённым при- знакам. Соответствующую такой ПЭС производственную деятель- ность будем называть агрегированной экономической технологией. Характеристики ПЭС будем считать стабильными и саму технологию

– неизменной [55].

На основе этих положений, представим модель функционирова- ния ПЭС в виде процесса преобразования n разнородных по эконо- мической и технологической сущности входных ресурсов – xi, i = 1, …, n в некоторое количество m конечных продуктов – yj, j = 1, …, m –

рис. 4.1.

Рис. 4.1. Модель процесса функционирования ПЭС

Совокупность входных ресурсов, определим вектором X, т.е.

Ассортимент выпускаемой продукции обозначим через вектор Y:

Задачей экономико-математического моделирования в этом слу- чае является определение количественных связей между входными и выходными параметрами ПЭС, исследование функциональных зави- симостей между ними, изучение свойств взаимосвязей характеристик системы в условиях внешних воздействий.

Одним из наиболее распространённых видов математических мо- делей, применяемых для решения этой задачи, является класс произ-

водственных функций (ПФ).

45

В общем виде ПФ представляет собой формализованное описа- ние связи между используемыми ресурсами и выпускаемой продук-

цией [44]:

В (4.3):

X – вектор входных ресурсов (4.1);

Y – вектор выходных величин – выпускаемых продуктов (4.2); A – вектор параметров ПФ.

F – оператор, описывающий базовые свойства и закономерности исследуемой экономической системы.

Выражение ПФ (4.3) можно записать также в явной форме, раз- решённой относительно Y:

В (4.5) f – функция, описывающая зависимость выпуска продук- ции от входных ресурсов. Зависимость f называется также функцией выпуска.

Представляя (4.3) в форме, разрешённой относительно X, запи-

В дальнейшем формулу (4.7) примем в качестве базовой модели ПФ. Уравнение (4.7), описывающее протекание производственных процессов в ПЭС, будем называть многомерной производственной функцией – МПФ [89].

46

Исследование ПЭС на основе МПФ с математической точки зре- ния является весьма сложной задачей. Поэтому анализ ПЭС с конеч- ным числом выходных характеристик yj, j=1, …, m целесообразно проводить на основе декомпозиции ПЭС. Представление многомер- ной ПФ в виде совокупности одномерных ПФ показано на рис. 4.2. При этом каждая из частных выходных характеристик yj описывается самостоятельным независимым соотношением:

Рис. 4.2. Декомпозиция МПФ как объекта математического моделирования

Такая декомпозиция многомерных производственных функций, по существу, отвечает концепции кибернетического моделирования – «черного ящика», – когда существо внутренних процессов системы не рассматривается [89]. Отметим, что в задачах, когда требуется найти распределение ресурсов МЭО по производимым продуктам и определить доли затраченных ресурсов в составе выходных характе- ристик, то приведённая декомпозиция МПФ не даёт решения таких задач, и необходимо анализировать многомерную ПФ в исходной форме (4.5). При этом сложность проблемы существенно возрастает.

Далее положим, что проведена декомпозиция МПФ, и в качестве базовой модели ПФ будем использовать зависимость (4.8), её также будем записывать в виде:

47

естественно, подразумевая наличие вектора параметров А, и называть (4.9) одномерной ПФ, определяющей функциональную связь между выпуском продукта y и входными ресурсами xi, i=1, … n.

Выбор конкретного вида ПФ для описания функционирования МЭО, определяется составом показателей, суммой знания об изучае- мом объекте, с одной стороны, и целями исследований, с другой. В общем случае, вид зависимости в модели одномерной ПФ (4.9) может быть произвольным.

Одномерным ПФ различных видов, как математическим моделям реальных экономических объектов, посвящены обширные исследова-

ния [1], [23], [43], [55], [74], [89], [90] и др.

4.2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА И ГРУППЫ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОДНОМЕРНЫХ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Одномерные ПФ, как математические модели реальных экономи- ческих объектов, обладают рядом общих характеристик. Базовые свойства производственно-экономических процессов и их формали- зованные описания имеют следующий вид:

1. Осуществление производственного процесса в случае отсутст- вия хотя бы одного ресурса xi невозможно:

f(x, …, xi, … xn) = 0 при xi=0 (4.10)

Действительно, исходя из сущности производственной деятель- ности, следует, что при полном отсутствии хотя бы одного из ресур- сов реализовать производственный процесс невозможно.

2. Увеличение затрат входных ресурсов должно приводить к рос- ту (как минимум, не уменьшению) выпуска продукции, т.е.:

∂f

В (4.11) величина ∂xi является частной производной от выпуска y

по ресурсу xi и характеризует эффективность использования i-того

48

ресурса. При этом условие (4.11) формально описывает экономиче- скую целесообразность производственной деятельности.

3. В случае увеличения использования лишь одного производст- венного ресурса, при постоянном количестве других снижается эф- фективность его применения (в лучшем случае остаётся постоянной):

Зависимость (4.12) означает, что в условиях неизменной агреги- рованной технологии все используемые ресурсы взаимозависимы, и изменение только одного из ресурсов уменьшает суммарную эффек- тивность его использования.

4. Пропорциональный, совместный рост используемых ресурсов

Соотношение (4.13) означает, что должен присутствовать эконо- мический эффект расширения масштаба производства.

Во многих случаях, увеличение выпуска продукции пропорцио-

ПФ удовлетворяющую соотношению (4.14) будем называть линейно однородной функцией с постоянной отдачей от расширения масштабов производства.

Возможны ситуации, когда соотношение для ПФ (4.14) принима-

Для зависимости (4.15) характерны следующие закономерности:

∙при t>1 ПФ имеет возрастающую отдачу от расширения мас- штабов производства;

∙при t=1 ПФ принимает вид (4.14) и имеет постоянную отдачу;

∙при t<1 ПФ имеет убывающую отдачу от расширения масшта- бов производства.

49

На основе одномерных ПФ и их базовых свойств определяются конструктивные экономические характеристики эффективности про- изводственно-технологических процессов.

Первичной, важнейшей группой характеристик производствен- ных процессов являются показатели выпуска продукции и объёмы используемых ресурсов.

На их основе отыскиваются показатели эффективности произ- водств, которые определяются путем сопоставления показателей вы- пуска с затратами ресурсов на производственную деятельность. Эти характеристики эффективности производственного процесса выра- жаются через натуральные показатели выпуска и затрат ресурсов, а также через иные объемные и качественные показатели, получаемые из первичных с использованием определённых норм и масштабных коэффициентов.

Другую группу показателей эффективности составляют прирост- ные и темповые показатели динамики производственного процесса. Они вычисляются на основе изменения показателей первой группы. Такими являются, например, абсолютный прирост выпуска продук- ции, прирост выпуска продукции на единицу основных фондов или на единицу прироста численности работников, темпы роста произво- дительности труда или фондоотдачи.

В соответствии с этими видами экономических характеристик, отражающими функционирование реальных производств, формиру- ются показатели эффективности, которые определяются на основе математических моделей в форме ПФ. Выделим следующие основ- ные показатели:

Показатель (4.16) характеризует объём выпускаемой продукции, приходящейся на единицу затраченного i-того ресурса (для трудовых ресурсов это будет средняя производительность труда, для капиталь- ных – средняя фондоотдача и т.д.).

50