Математические модели управления производственно-экономическими системами. Учебное пособие

Поскольку в процессах функционирования экономических сис- тем характеристики объектов могут существенно изменяться, они также называются переменными. Соответственно, входные характе- ристики могут называться управляющими, а выходные – управляемыми переменными.

Структурное представление ЭММ, отвечающее приведённым оп- ределениям, графически изображено на рис. 3.1.

Выходные харак- теристики (управляемые переменные)

Модель объекта

Рис. 3.1. Представление ЭММ как объекта управления

Определим далее следующие термины, используемые для по- строения ЭММ [13], [36]:

Начальные условия – значения факторов, определяющих началь- ное состояние объекта.

Критерий оптимальности – показатель, имеющий определённое экономическое содержание и служащий для формализации конкрет- ной цели управления. Критерий оптимальности определяет смысло- вое содержание цели и выражается при помощи целевой функции.

Целевая функция – математическая зависимость, описывающая сущность критерия оптимальности. В соответствии с этим содержа- тельный смысл целевой функции полностью определяется критерием оптимальности. В случае наличия нескольких критериев оптимально- сти каждый из них должен быть формализован своей частной целевой функцией.

31

Система ограничений – совокупность соотношений, определяю- щих существующие взаимосвязи между факторами и границы облас- ти изменения параметров и характеристик. Система ограничений оп- ределяет закономерности протекающих экономических процессов и пределы значений допустимых решений.

Уравнения связи – аналитические зависимости, осуществляющие математическую формализацию системы ограничений.

Задание критерия оптимальности и системы ограничений, по су- ществу, определяют концепцию построения модели, или концептуальную модель. Их формализация – целевая функция и уравнения свя- зи – представляют собой математическую модель [48].

Решением математической модели является множество (сово- купность) значений переменных, которое удовлетворяет её уравнени- ям связи. Решения, имеющие экономический смысл, называются структурно допустимыми. Модели, имеющие несколько допустимых решений, называются вариантными, в отличие от безвариантных, имеющих одно решение. Среди структурно допустимых решений ва- риантной модели, может находиться решение, при котором целевая функция, в зависимости от смысла модели, имеет наибольшее или наименьшее значение. Такое решение, как и соответствующее значе- ние целевой функции, называется оптимальным [47].

В практике построения математических моделей экономических систем как объектов управления, наиболее часто встречаются две за- дачи. Первая задача возникает когда уравнения, описывающие пове- дение объекта моделирования, известны. В этом случае, решается прямая задача – находится реакция объекта на различные входные сигналы [73].

Вторая задача, когда неизвестно математическое описание объек- та, но имеются или могут быть заданы совокупности соответствую- щих входных и выходных переменных. Эта задача является задачей идентификации, т.е. определения на основе экспериментальных дан- ных структуры и параметров модели [81].

32

Одним из методов решения задачи идентификации при модели- ровании экономических объектов является метод «черного ящика» или кибернетическое моделирование [9], [17], [88], [94].

Сущность данного метода состоит в том, что при исследовании объектов они рассматриваются как недоступный для наблюдения, изучения и описания «черный ящик», имеющий определенные входы и выходы (см. рис. 3.1). В процессе моделирование наблюдению под- вергается лишь значения входных и выходных параметров. При этом не рассматриваются внутренние характеристики, структура и устрой- ство объекта.

Конструктивной математической моделью, реализующей данный подход является применение при моделировании аналитических за- висимостей в форме производственных функций [1], [43], [55], [74], [89] и др. В этом случае входными параметрами являются затраты различных ресурсов экономической системы – x, выходными пере- менными – показатели выпуска продукции или других экономиче- ских и материальных благ – y. Основываясь на статистических значе- ниях величин входов и выходов за анализируемый период времени, находят такие параметры а производственной функции у=f(x, a), при которых вычисленные по зависимости f(x, a) значения у при извест- ных входах лучше всего аппроксимируют фактические значения вы- ходов.

Такой способ построения математических моделей экономиче- ских систем в форме производственных функций характеризуется достаточно высокой аппроксимативной точностью и широко распро- странён при математическом моделировании экономических объек-

тов [55], [89].

При этом следует отметить, что применение данного подхода к описанию функционирования сложных систем имеет ряд ограниче- ний. Так, в случае большого числа входных и выходных величин су- щественно снижается достоверность описательных свойств модели, построенной на основе регрессионного анализа, применяемого для идентификации параметров.

33

Как показывает практика, удовлетворительные модели в форме производственных функций получаются при описании ситуации, в которой выходной фактор существенно связан не более чем с пятью- шестью входными факторами. Это обстоятельство определяет грани- цы использования данного метода [48].

При этом следует учитывать, что без информации о внутреннем устройстве «чёрного ящика» нельзя формировать однозначные суж- дения о сущности взаимосвязей между входными и выходными па- раметрами. Подробно основные виды, свойства, характеристики и методы идентификации параметров производственных функций бу- дут рассмотрены в четвёртом разделе.

Первым, важнейшим шагом в реализации методологии киберне- тического подхода к математическому моделированию экономиче- ских систем является построение концептуальной модели – совокуп- ности качественных зависимостей между факторами, критериев оп- тимальности и ограничений, характеризующей базовые свойства и закономерности функционирования объектов моделирования [48].

Концептуальная модель определяет следующие основные черты экономических объектов:

∙условия функционирования объекта (они определяются харак- тером взаимодействий между объектом и его окружением, между элементами объекта);

∙цели исследования объекта и направления улучшения его функционирования;

∙возможности управления объектом, определяющие состав управляемых переменных объекта.

Построение концептуальной модели включает в себя следующие стадии [48]:

∙составление упрощённого, адекватного сценария функциони- рования объекта;

∙формулировка целей функционирования объекта;

∙формализация целей в форме критериев оптимальности;

34

∙формализация внешних и внутренних ограничений;

∙выбор характеристик объекта и внешней среды, которые долж- ны быть включены в математическую модель;

∙классификация факторов модели и выделение управляющих и управляемых переменных.

Концептуальная модель определяет состав факторов и их взаимо- действий в математической модели, но не описывает количественный характер этих взаимосвязей. На этом этапе моделирования определя- ется сущность критериев оптимальности и характер ограничений, оп- ределяющих целевую направленность модели.

После завершения этапа описания концептуальной модели стро- ится конструктивная, математическая модель объекта, состоящая из количественных, математических соотношений, формализующих ка- чественные зависимости концептуальной модели. Критерий опти- мальности принимает вид целевой функции, система ограничений формализуется в виде уравнений связи.

Отметим, что формализация концептуальных понятий является весьма нетривиальной, творческой деятельностью. Окончанием этапа построения конструктивной математической модели являются проце- дуры оценки её адекватности относительно реальных значений и фактических характеристик, а также анализ точности полученного результата и погрешностей расчётов.

3.2.ТИПОЛОГИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ ВХОДНЫХ И ВЫХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭКОНОМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

Определение состава входных и выходных параметров, включае- мых в модель, является важным этапом построения ЭММ, оказы- вающим определяющее влияние на содержательную сущность моде- ли, на адекватность и точность расчётов по ней. Выходные факторы характеризуют конечные результаты производственно-экономи- ческой деятельности, и их выбор осуществляется на основе значимо- сти их вклада в критерий эффективности экономической системы.

35

Выбор входных характеристик осуществляется на основе выяв- ления их влияния на ход протекания производственно-экономических процессов. Выходными характеристиками, как правило, являются по- казатели выпуска конечной продукции, входными величинами – за- траты ресурсов различных видов. Базовый состав перечня входных и выходных характеристик реальных производственно-экономических систем представлен в табл. 3.1 [48].

Таблица 3.1

Типовые входные и выходные переменные модели производственно-экономической системы

36

Структуризация входных и выходных характеристик, представ- ленная в табл. 3.1, проведена на базе основных типов используемых ресурсов. Оценка характеристик соответствующих входов и выходов может быть проведена также на основе иных признаков.

Приведём классификацию характеристик объектов по следую- щим признакам [48]:

1. По возможности количественного и качественного описа-

ния процессов выделяются следующие характеристики:

∙количественные – допускающие численное измерение их зна- чений. При этом каждый фактор может количественно определяться по проявлению самых различных свойств – пространственных, вре- менных, информационных, физических. Количественно, могут быть также оценены и поведенческие характеристики факторов: стацио- нарность или нестационарность, устойчивость или неустойчивость, непрерывность или дискретность;

∙порядковые – распределяющие множество объектов по группам, упорядочивающим анализируемые объекты по степени проявления изучаемого свойства. При этом каждая из групп соответствует неко- торой области значений количественных факторов, характеризующих данное свойство;

∙классификационные (номинальные) – относящие совокупности некоторых, не поддающихся упорядочиванию объектов, к однород- ному по анализируемому свойству классу.

37

2. По степени неопределённости выделяются классы характери-

стик:

∙детерминированные – факторы, значения которых для иссле- дуемых процессов определены и известны;

∙случайные (стохастические) – факторы, для которых известны статистические законы распределения и их характеристики. При этом каждая конкретная реализация такого фактора в исследуемом процес- се неизвестна;

∙неопределённые – факторы, для которых известна только об- ласть возможных значений фактора и отсутствует информация о ста- тистическом законе его распределения. Отметим, что возможны об- стоятельства, когда при определённых условиях удаётся перевести эти факторы в разряд случайных или даже детерминированных [86].

3. По роли факторов в модели выделяются:

∙выходные характеристики внешней среды (входные управ-

ляющие переменные модели функционирования объекта). Они могут быть детерминированными, стохастическими и неопределенными. Выбор управляющих переменных, их количество и область измене- ния значений устанавливаются исследователем на основе изучения свойств экономических объектов управления;

∙процедурные действия – дискретные события, влияющие на протекание процесса функционирования объекта (пуск и останов ус- тановок (предприятий), изменение режимов (условий) работы, и т.п.). Эти воздействия могут рассматриваться как заданные дискретные управляющие переменные. Процедурные действия в математической модели учитываются в виде логических условий, определяющих пра- вила их введения. Обычно, каждое конкретное процедурное действие определяет также границы изменения количественных характеристик модели;

∙начальные характеристики объекта – детерминированные факторы, характеризующие состояние элементов объекта на момент начала моделирования;

38

∙ выходные переменные – управляемые, зависимые переменные, характеризующие текущее состояние объекта моделирования. К этим переменным предъявляется требование целенаправленным образом изменяться в процессе функционирования исследуемого объекта. Ве- личина выходных переменных зависит от значений входных характе- ристик, процедур управления и начальных параметров объекта.

На рис. 3.2 графически представлена структура рассмотренных основных классификационных признаков входных и выходных пара- метров.

Рис. 3.2. Классификационные признаки входных и выходных факторов

3.3. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ УПРАВЛЕНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ

В силу сложности и масштабности реальных производственно- экономических систем (ПЭС) является затруднительным моделиро- вание их деятельности при помощи одной ЭММ. Даже если адекват- ную модель удастся построить, то неизбежно возникнут расчётные трудности из-за огромной размерности модели и неустойчивости её решения к многочисленным реально существующим возмущениям [48]. Поэтому для анализа функционирования реальных ПЭС, целе- сообразно строить систему взаимосвязанных ЭММ, состоящую из комплекса моделей, описывающих деятельность отдельных подсис-

39

тем, входящих в выбранный объект моделирования. Такой комплекс моделей целесообразно представить в виде интегрированной системы экономико-математических моделей.

Интегрированная система экономико-математических моделей

– это совокупность логически, информационно и алгоритмически связанных моделей, отражающих экономические, организационные и технологические процессы производственной деятельности в объек- тивно существующем единстве [100].

Если в качестве объекта моделирования рассматривать регио- нальный производственно-технологический комплекс (РПТК), то его целесообразно представить в виде следующих взаимосвязанных под- систем: РПТК в целом; отрасли народного хозяйства, представленные в данном регионе; административно-хозяйственные единицы; хозяй- ственные объединения (корпорации, холдинги); сами предприятия – как основные структурные единицы производственно-экономической системы [30]. Каждую из подсистем целесообразно изучать на основе индивидуальной, специализированной модели.

При этом следует учитывать, что любая выделенная подсистема представляет собой сложную производственную, экономическую и социальную систему, каждый элемент которой, в свою очередь, также может быть представлен в виде многоуровневой, иерархической сис- темы.

Для конструктивной формализации и построения как комплекса взаимосвязанных ЭММ, так и любой частной модели необходима система правил, общих принципов, позволяющих корректно и эффек- тивно осуществлять процесс конструирования моделей.

Общие принципы построения систем экономико-математических моделей ПЭС определяются методологией системного анализа [42], [66], [93]. В соответствии с системным подходом конструирование комплекса ЭММ должно опираться на следующие базовые принципы:

1.Принцип достаточности и достоверности используемой ин- формации.

2.Принцип инвариантности информации.

40