Математические модели управления производственно-экономическими системами. Учебное пособие

∙ попали ли оценки коэффициентов регрессии в предполагаемые из содержательных соображений интервалы.

Основная идея оценки параметров способом МНК заключается в минимизации суммы квадратов невязок между реальными статисти- ческими данными, описывающими тот или иной процесс, и расчёта- ми по модели.

Для реализации метода МНК применительно к идентификации моделей ПЭС рассматривается производственная функция системы:

как множественное регрессионное уравнение, где

x(t) – известные значения входных (объясняющих) переменных; f(×) – аналитическая зависимость, определяющая производствен-

ную функцию. Явный вид функции f формируется исследователем в соответствии с стоящими перед ним целями и наличием информации об изучаемой ПЭС;

a1, …, ak – вектор идентифицируемых (настроечных) параметров ПФ;

ym(t) – модельные значения выходной (объясняемой) переменной, рассчитываемые на основе сконструированной функции f(×).

Оценки параметров ПФ (4.68) находятся из условия минимизации суммы квадратов отклонений расчётных значений функции ym=f(x, a) в точках x(t), t=1, …, T, от фактических, статистических данных y(t),

t=1, …, T [55]:

В (4.69) y(t) – известные значения выходной (объясняемой) пере- менной;

e2(t) – значения квадратов ошибок (остатков): ε(t)=y(t) – ym(t); S(a1, …, ak) – сумма квадратов отклонений (интегральная, квадра-

тичная невязка);

[t, T] – временной интервал статистической совокупности исход- ных данных.

71

В соответствии с методом МНК, если функция f линейна по па- раметрам a1, …, ak или сводится к таковой, является выпуклой и дифференцируемой, то необходимым и достаточным условием суще- ствования минимума ошибки является равенство нулю частных про- изводных по параметрам оценки – a1, … ak [55], [40]. Совокупность приравненных к нулю частных производных определяет систему ли- нейных уравнений, решение которых даёт численные значения иско- мых параметров ПФ.

При идентификации параметров ПФ, в общем случае, получается неустранимая ошибка оценивания et. Обычно полагается, что [23]:

1.Ошибка et является случайной величиной.

2.Математическое ожидание ошибки равно нулю М(et)=0.

3.Дисперсия ошибки постоянна D(et)=const, "t.

4.Значения et независимы между собой.

Если данные предположения выполняются, то оценки парамет- ров, полученные на основе МНК, являются:

1.Несмещёнными – отсутствует систематическая ошибка при оценивании.

2.Состоятельными – при числе наблюдений n®¥ с вероятно- стью, как угодно близкой к единице, величины оцениваемых пара- метров сходятся к истинным значениям. При этом наблюдается рост достоверности оценок при увеличении выборки n.

3.Эффективными – имеют наименьшую дисперсию по отноше-

нию к другим линейным оценкам. Если случайная ошибка et имеет нормальный закон распределения, то оценки МНК имеют наимень- шую дисперсию относительно всех несмещённых оценок [52], [38].

Далее в качестве базовой модели ПЭС примем рассмотренную ранее (4.7) многомерную производственную функцию (МПФ). Пред-

положим, что тем или иным способом мы можем привести синтези-

72

В (4.70) αi – оцениваемые параметры (весовые коэффициенты) входных величин хt,i; t=1,2…T; i=1,2…n. βj – веса, соответственно, выходных переменных yt,j; t=1,2…T; j=1,2…m.

Для однозначности масштабирования искомых коэффициентов положим значение веса β1, при первой компоненте вектора Y единич- ными – β1=1. В матричной форме, соотношения между массивами входных и выходных данных (4.70) имеют вид:

Матричное уравнение в форме (4.71) имеет неизвестные величи- ны как в левой – βj, так и в правой частях – αi. Приведём его к стан- дартной форме и сгруппируем все неизвестные в правой части ра- венства:

Полученное уравнение имеет стандартный вид линейных соот- ношений, соответствующих классической постановке задачи оценки параметров по методу МНК. В (4.72) необходимо найти вектор пара- метров:

состоящий из весовых коэффициентов как выходных характеристик xi, так и выходных yj, минимизирующий сумму квадратов невязки εt.

73

Обозначим через Q матрицу правой части соотношения (4.71). Тогда условие минимизации ошибки по методу МНК (4.69) в матрич- ной форме примет вид [38]:

Индекс «′» в (4.74) отвечает операциям транспонирования соот- ветствующих матриц.

Вычисляя в (4.74), частные производные от суммы квадрата ошибки εt соответственно по всем компонентам вектора Z и прирав- нивая их к нулю, получим [38]:

Матричное уравнение (4.75) представляет собой систему n+m+1 линейных уравнений относительно n+m+1 неизвестных параметров вектора Z:

В общем случае неособой матрицы его решением являются иско- мые оценки коэффициентов многомерной производственной функции вида (4.70), принятой в качестве математической модели ПЭС.

Полученное решение для значений параметров МПФ (4.70) пока- зывает, что на величину каждого коэффициента модели (4.70), в принципе, влияют все исходные данные – элементы вектора Q. В со- держательном плане это означает, что изменение показателей выпус- ка одного из продуктов yj приводит к изменению характеристик тех- нологий всех других производств yk, k¹j. В теоретическом плане, та- кой подход даёт минимальную погрешность модельного описания.

С точки зрения практического применения использование таких моделей, с одной стороны, трудоёмко. С другой стороны, реальные производства используют достаточно стабильные технологии, и пока- затели выпуска продукции определяются, главным образом, затрата-

74

ми ресурсов на это производство. Связь с другими, особенно, с мало связанными, смежными технологиями играет второстепенную роль.

Исходя из таких соображений, при построении производствен- ных функций для многомерных экономических объектов имеет смысл осуществлять декомпозицию моделей МПФ, и строить модель исследуемого процесса как аддитивную совокупность одномерных ПФ с одним анализируемым выходом и всеми входными затратами ресурсов. В формальном плане это означает, что в векторе выходных весов β в (4.71) следует учесть только первый доминирующий ком- понент (для определённости положить его единичными). При этом математическая постановка задачи идентификации (4.71) в матрич- ной форме примет вид:

Из (4.77) для каждой t-той строки матричной зависимости будут

Соотношение (4.78) отвечает канонической форме множествен- ного уравнения регрессии. Его коэффициенты оцениваются стан- дартным классическим путём, и процедура идентификации является частным случаем выполненной выше (4.70)–(4.76) при β2=β3=…=βm=0. Запишем соответствующие расчётные формулы для отыскания значений коэффициентов α0, α1, …, αn в матричной форме.

Уравнение (4.78) в матричной форме имеет вид:

75

Раскроем матричное произведение правых скобок, дифференци- руем по параметрам αn и приравняем частные производные к нулю. В матричной форме имеем постановку:

∂S = - ¢× + × ¢× ×α = (4.81)

¶α 2 X Y 2 ( X X ) 0 .

Из данной постановки получим систему линейных уравнений:

Соответственно матрицы входящие в данное уравнение имеют вид:

Из уравнения (4.82) получаем системы линейных уравнений, ре- шение которых даёт численное значение искомых параметров регрес- сионного уравнения (4.78), на основании которых переходим к пара- метрам исходных ПФ.

В структурной форме описанная декомпозиция МПФ была при- ведена на рис. 4.2. Далее в прикладных задачах будет использоваться такая декомпозиция.

Завершающим этапом построения моделей на основе ПФ являет- ся оценка качества полученных решений.

Оценка статистической значимости коэффициентов регрессион- ного уравнения проводится на основе расчёта t-статистики. Полагает-

76

ся, что величины ошибок et имеют распределение Стьюдента с (T-n-1) степенями свободы. Тогда значения t-статистики для каждого i-того коэффициента ai рассчитываются по формуле [38]

В формулах (4.85)–(4.87)

S2 – стандартное отклонение коэффициента ai. Dai – величина дисперсии значений ai.

Wii – диагональный элемент матрицы (XT×X)-1, X – матрица исход- ных данных в уравнении (4.79);

T – число наблюдений, T³n+1, iÎ[0, n];

n – число коэффициентов множественной линейной регрессии. Величина:

– необъяснённая дисперсия остатков et (мера разброса зависимой пе- ременной относительно лини регрессии).

В случае если число степеней свободы, достаточно велико (не менее 8–10), то при 5 %-ном уровне значимости и двусторонней аль- тернативной гипотезе критическое значение t-статистики равняется практически двум [38].

Если t Î [2, 3], то значения коэффициентов признаются весьма значимыми. Выполнение условия t>3 свидетельствует о практической 100 %-ной значимости коэффициента регрессии. Если t-статистика по модулю меньше единицы, то значения полученных коэффициентов являются незначимыми.

77

Общее качество уравнения линейной регрессии оценивается ко- эффициентом детерминации R2, являющимся квадратом коэффициен- та множественной корреляции [38]:

∑( yt - ycp )2 . t =1

Коэффициент детерминации R2 характеризует долю разброса вы- ходной переменной, объясненной с помощью данного уравнения. Обычно, в качестве меры разброса переменной используется ее дис- персия, и тогда R2 определяет долю дисперсии выходной переменной, объясненной с помощью регрессии. Для хорошего качества уравне- ния регрессии коэффициент R2 должен быть близок к единице.

Отметим, что в случае малого числа наблюдений T показатель R2 становится неинформативным, и в этом случае для оценки качества уравнения регрессии применяют скорректированный коэффициент детерминации – R2sc [64]:

Смысл проверяемой нулевой гипотезы заключается в том, что ес- ли произошло событие, которое является маловероятным, если дан- ная гипотеза верна, то эта гипотеза отвергается. Для распределения Фишера имеются таблицы критических значений для различных уровней значимости α и степеней свободы v1=n, v2=T – n – 1, где n –

78

число оцениваемых параметров. Для проверки нулевой гипотезы по таблицам находится критическое значение Fα, v1, v2, и нулевая гипоте- за отвергается, если F > Fα, v1, v2.

Одним из основных свойств отклонений εt фактических величин y(t), t=1, … T от расчётных значений f(x) в точках x(t), t=1, … T, по- ложенных в основу отыскания регрессионного уравнения, является их статистическая независимость между собой.

Для анализа независимости отклонений применяют статистику Дарбина – Уотсона, рассчитываемую по формуле [61]:

T−1

∑(εt −εt −1 )2

t =1

Статистика Дарбина – Уотсона применяется для проверки гипо- тезы об отсутствии автокорреляции остатков εt первого порядка. Для этого по таблицам (при данном уровне значимости, числе наблюде- ний и независимых переменных) находятся доверительные интервалы d, в пределах которых нулевая гипотеза принимается, отвергается или не может быть принята или отвергнута.

Для статистики Дарбина – Уотсона существуют два критических значения, меньшие двух: нижнее d1, как граница для признания поло- жительной автокорреляции остатков, и верхнее d2, как граница при- знания её отсутствия. При проверке гипотезы об отрицательной авто- корреляции остатков эти критические значения отражаются симмет- рично относительно числа 2 [61].

Если значение статистики DW принадлежит интервалу (0; d1), то имеет место положительная автокорреляция остатков. Если значение DW находится в интервале (4-d1; 4), то существует отрицательная ав- токорреляция остатков, эта ситуация достаточно редко встречается в содержательном анализе.

Если статистика Дарбина – Уотсона близка к двум, то есть при- надлежит интервалу (d2; 4-d2), то отклонения от регрессии считают

79

случайными и автокорреляция остатков отсутствует. Это означает, что линейная функция с высокой вероятностью отражает реальную взаимосвязь исследуемых величин. При этом, скорее всего, не оста- лось существенных неучтенных факторов, влияющих на выходную переменную, и какая-либо другая нелинейная формула не превосхо- дит по статистическим характеристикам базовую линейную. Эта си- туация DW [d2, 4-d2) отвечает, в целом, высокому качеству получен- ных уравнений, и в данном случае, построенные модели обладают не только удовлетворительными аппроксимативными характеристика- ми, но и хорошими прогнозными свойствами [38].

Основываясь на изложенных результатах по синтезу моделей про- изводственных функций, их идентификации и оценке качества рас- смотрим конкретные задачи моделирования экономических систем.

80