Математические модели управления производственно-экономическими системами. Учебное пособие

Задачи многокритериальной оптимизации с противоречивыми критериями возникают, когда для оценивания функционирования систем одновременно применяются экономические показатели эф- фективности (рентабельность, себестоимость, производительность ресурсов), технологические критерии качества (надёжность, точ- ность, долговечность), а также социальные, экологические и другие характеристики.

Далее важной чертой экономических задач является то, что вход- ными величинами производственных систем являются различного рода материальные ресурсы (природные, сырьевые, технологические, трудовые, капитальные, энергетические, информационные и др.) и величина этих ресурсов ограничена. Эти ограничения обычно задают- ся, поэтому математические постановки экономических задач долж- ны включать условия ограниченности ресурсов, как правило, в виде некоторой системы неравенств.

Во многих задачах необходимо также учитывать случайный, вероятностный характер протекающих экономических процессов и взаимодействий.

Как уже было отмечено, характерной особенностью экономиче- ских задач является их нелинейность. Зависимости между затратами ресурсов и выходом конечного продукта, законы рыночного поведе- ния, функции зависимости спроса и предложения, как правило, явля- ются нелинейными.

Важным свойством задач моделирования рыночного поведения экономических объектов является необходимость учёта множест-

венности возможных различных стратегий поведения конкурентов,

и других хозяйствующих субъектов. Нескоординированность прини- маемых управленческих решений оказывает значительное влияние на характеристики экономической ситуации, в целом, – меняются коли- чество используемых ресурсов, объёмы выпускаемой продукции, це- ны на изделия и т.д. В этом случае возникают постановки игровых оптимизационных задач [53].

Существенной общей особенностью экономических задач явля- ется их дискретность. Конечное число хозяйствующих субъектов,

11

способов производства, выбора технологического оборудования, ог- раниченная численность работников, прерывистый характер времен- ного протекания всех процессов и взаимодействий определяют дис- кретное функционирование экономических систем, как по объектам, так и во времени. При этом для построения экономико- математических моделей необходимо использование дискретной временной переменной.

В целом, специфика экономических задач, исследуемых матема- тическими методами, определяется особенностями производственно- экономических систем. Эти особенности экономических систем тре- буют применения соответствующего адекватного математического аппарата.

Следует иметь в виду, что экономические системы развиваются и усложняются во времени. Изменяются их структура и функции, воз-

растает роль научно-технического прогресса [2], [80]. Часть матема-

тических методов, применявшихся ранее, устаревает, другие требуют корректировки и совершенствования. Постоянно возникает потреб- ность в разработке и появлении новых методов.

1.3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ И РЕШЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Вэкономических исследованиях, в целом, давно применяются математические модели и методы. На первых этапах они имели вид достаточно простых расчётных соотношений.

В60-х годах двадцатого столетия академик В.С. Немчинов выде- лил следующие пять базовых математических методов исследования экономических систем [70]:

1) балансовый метод;

2) метод математического моделирования;

3) векторно-матричный метод;

4) метод экономико-математических множителей (оптимальных общественных оценок);

5) метод последовательных приближений.

12

Практически в то же время академик Л.В. Канторович выделил четыре группы математических моделей [51]:

∙макроэкономические модели, куда относятся балансовый метод и модели спроса;

∙модели взаимодействия экономических объектов (на основе теории игр);

∙модели линейного программирования;

∙модели оптимизации, выходящие за пределы линейного про-

граммирования (динамическое, нелинейное, целочисленное, и стохастическое программирование).

Одним из основных, наиболее распространённых подходов явля- ется метод линейного программирования. Он был разработан акаде- миком Л.В. Канторовичем в 30-е годы ХХ-го века [51].

Метод линейного программирования основан на учёте трёх базо- вых особенностей экономических задач – существовании большого числа переменных (ресурсов и продуктов), ограниченности исполь- зуемых ресурсов и оптимизации целевой функции эффективности. При определённых допущениях многие экономические задачи можно свести к линейной оптимизации.

Другим хорошо разработанным и широко распространённым способом решения экономических задач является метод динамиче- ского программирования. Задачи динамического программирования описывают многошаговые процессы принятия решений формирова- ния оптимальной стратегии. В основу метода положено фундамен- тальное свойство оптимальных решений, что по отношению к любо- му существующему состоянию системы совокупность последующих решений должна составлять оптимальную стратегию. При использо- вании этого подхода появляется возможность из множества возмож- ных вариантов решений выделить оптимальные [16], [20].

Кроме этих, детально разработанных методов в экономических исследованиях достаточно широко применяются подходы, основан- ные на применении теории игр [53], [69].

13

Суть такого подхода заключается в том, что игрок (участник эко- номических взаимоотношений) должен выбрать оптимальную страте- гию в зависимости от того, какими он представляет действия против- ников (конкурентов, факторов внешней среды и т.д.). В зависимости от того, насколько игрок осведомлен о возможных действиях против- ников, игры (под игрой понимается совокупность определённых пра- вил) бывают открытого и закрытого типов. При открытой игре опти- мальной стратегией будет выбор максимального минимума выигры- ша («максимина») из всей совокупности решений, представленных в матричной форме. Соответственно противник будет стремиться про- играть лишь минимальный максимум («минимакс») который в случае игр с нулевой суммой будет равен «максимину» [53], [69].

Как правило, в реальной жизни число игроков больше двух. В этом случае появляются возможности для кооперированной игры, ко- гда игроки до начала игры могут образовывать коалиции и, соответ- ственно, влиять на ход игры.

Стратегии игроков не обязательно должны содержать одно реше- ние. Может быть так, что для достижения максимального выигрыша потребуется применять смешанную стратегию (когда две или не- сколько стратегий применяются с какой-то вероятностью). При этом, в закрытых играх следует учитывать вероятность того или иного ре- шения противника. При таком подходе, в теории игр стало необходи- мым применение аппарата теории вероятностей, который впоследст- вии нашел свое применение в экономических исследованиях в виде отдельного метода – стохастического моделирования [8], [86].

Суть метода стохастического моделирования состоит в учёте в уравнениях задачи или в целевой функции вероятностных факторов. В случае нежесткой, или двухэтапной задачи применение стохастиче- ского моделирования даёт возможность получения скорректирован- ного плана действий на основе известных характеристик случайных величин.

Наряду с приведёнными способами математического моделиро- вания применяются методы нелинейного, целочисленного програм- мирования, а также некоторые другие подходы [96], [87], [41].

14

Сущность метода нелинейного программирования заключается в нахождении глобального (общего) или локального (частного) макси- мума или минимума функции. Значительную сложность в этом под- ходе представляет трудность определения, является ли найденный оптимум общим или локальным.

Для целочисленного программирования основная проблема за- ключается в трудности подбора целых значений функций. Общим для применения этих методов является возможность частичного сведения их к задаче линейного программирования.

Рассмотренные математические методы обладают большой сте- пенью общности. Представление решений экономических задач в форме универсальных математических зависимостей даёт возмож- ность выявлять общие закономерности и базовые свойства производ- ственно-экономических процессов и систем. При этом исследуемые общие характеристики могут быть получены как путём непосредст- венного решения конкретных поставленных математических задач, так и путём содержательной интерпретации аналитических решений, ранее полученных при изучении других технических, управленче- ских, организационных и иных модельных задач.

15

II. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ – ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ И ПОДХОДЫ

ККЛАССИФИКАЦИИ

2.1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ, ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ПОСТРОЕНИЯ

Сформулируем понятие экономико-математической модели (ЭММ) и определим её сущность. Сам термин «модель» происходит от латинского modulus, что можно перевести на русский язык как: мера, мерило, образец, норма [44]. Под конструкцией экономическая модель будем понимать некоторый условный образ исследуемого экономического объекта или системы объектов, которые являются предметом научного метода познания – моделирования.

Под моделированием будем понимать исследование объекта мо- делирования косвенным путём, при помощи анализа некоторых дру- гих вспомогательных объектов – соответствующих моделей [44]. Бу- дем далее считать, что в процессе моделирования и дальнейшего изу- чения свойств модели формируются новые знания об объекте моде- лирования [38].

Всоответствии с этим, экономической моделью будем считать некоторую вспомогательную систему, при помощи которой изучают (моделируют) свойства и поведение базового объекта исследования, которые находятся в определённом объективном соответствии с ха- рактеристиками изучаемого экономического объекта.

Вцелом, всё многообразие экономических моделей можно разде- лить на следующие виды:

∙вещественные (физические);

∙смешанные (гибридные);

∙символические (знаковые) модели.

Вещественные модели, в свою очередь, подразделяются на моде- ли подобия и аналоговые. Модели подобия основаны на изучении рассматриваемых процессов в других масштабах. Природа процесса,

16

его физическая, содержательная сущность одинаковы как для модели, так и для исследуемого оригинала. Характеристики моделей подобия определяются на основе масштабных изменений, производимых в со- ответствии с критериями подобия.

Аналоговые модели основаны на исследовании процессов иной физической природы. Известны аналогии между протеканием про- цессов в механических, тепловых, электрических, пневматических, гидравлических, а также, в экономических динамических системах. На базе этих аналогий строятся соответствующие аналоговые модели, предназначенные для исследования статических и динамических свойств анализируемых объектов [27].

Под гибридными понимаются модели, соединяющие в себе черты вещественных и символических моделей. В классе гибридных выде-

ляются комплексные и аналогово-цифровые модели.

Комплексные модели являются совокупностью различных, разно- родных моделей. Аналогово-цифровые модели сочетают в себе анало- говое моделирование непрерывных процессов с цифровым моделиро- ванием дискретных событий.

Символические модели характеризуются тем, что свойства реаль- ных объектов и отношения между ними описываются формальными символами – знаками.

Многообразие символических моделей разделяется на описатель-

ные (дескриптивные) и математические модели.

Дескриптивные модели основаны на словесном (семантическом) описании наблюдаемых процессов и фактов.

В математических моделях для описания функционирования объектов и систем используются символьные, математические конст- рукции.

Класс используемых математических описаний весьма широк. К нему относятся схемы, чертежи, графики, номограммы, логические соотношения, таблицы решений, кривые, всевозможные уравнения, аналитические зависимости. Схематически совокупность рассмот- ренных классов экономических моделей представлена на рис. 2.1.

17

торов выражают через меньшее число, усреднённых, агрегированных показателей, не допускающих непосредственного измерения в реаль- ных условиях.

2.Анализ чувствительности – выявление из большого числа дей- ствующих факторов тех, которые в большей степени влияют на инте- ресующие исследователя выходные характеристики.

Модели анализа чувствительности должны иметь возможность варьирования в них интересующими исследователя факторами: ха- рактеристиками внешней среды, начальными условиями, перемен- ными управления. Помимо ядра математической модели – системы функциональных соотношений – они включают модели входов, обес- печивающие целенаправленную вариацию входных факторов, и мо- дели выходов, проводящие обработку результатов моделирования и дающие итоговую информацию о степени чувствительности модели к тому или иному фактору. Анализ чувствительности используется также для оценки точности полученных решений.

3.Прогноз состояний – оценка поведения объекта при некотором предполагаемом сочетании внешних условий. Спецификой задач про- гноза является явная зависимость отыскиваемых решений от време- ни. В таких задачах время выступает в качестве независимой пере- менной.

Вмоделях прогноза к основной системе функциональных соот- ношений добавляются динамические модели входов, отражающие характер изменения входных факторов во времени, а также в зависи- мости от специфики задачи могут присутствовать модели внешней среды.

4.Оценка качества функционирования – определение соответст-

вия поведения исследуемого объекта требуемым критериям.

Вотличие от рассмотренных ранее типов моделей модели оценки качества функционирования включают расчеты интегральных и иных критериев, формализующих цели исследования. Модели оценки ка- чества занимают промежуточное место между описательно- конструктивными и оптимизационными моделями – в них заданы

19

критерий и его некоторое «критическое» значение, но проводится не оптимизация, а лишь сопоставление найденного расчетного значения с «критическим», после чего принимается решение об удовлетворе- нии характеристик объекта предъявленным требованиям.

5.Сравнение альтернатив – сопоставление ограниченного числа альтернативных вариантов поведения экономических систем или же сопоставление нескольких предлагаемых принципов или методов экономического воздействия по тем или иным критериям сравнения.

Модельные задачи сравнения предусматривают оценку каждого варианта по одному или нескольким критериям и дальнейший выбор наилучшего.

6.Управление процессами – отыскание управляющих входных воздействий, приводящих к достижению поставленных перед эконо- мической системой целей.

Модели управления позволяют определять законы, алгоритмы управления и способы формирования управленческих решений.

7.Оптимизация поведения – отыскание таких характеристик эко- номических систем и способов экономических воздействий, при ко- торых обеспечивается экстремальное (максимальное или минималь- ное) значение целевой функции поведения.

Модели оптимизации являются основой нахождения наиболее эффективных решений экономических задач.

Всоответствии с приведёнными целями для построения матема- тических моделей экономических объектов и управления на их осно- ве поведением объектов необходимо решение следующих основных задач [46]:

∙описание функций, реализуемых объектом моделирования;

∙определение внутренних взаимодействий в процессе функцио- нирования объекта (описание процесса преобразования входных воз- действий в выходные характеристики);

∙определение математических зависимостей между воздейст- виями внешней среды, значениями параметров и выходными пере- менными изучаемого объекта;

20