Математические модели управления производственно-экономическими системами. Учебное пособие

Экономическая значимость параметров α и τ в модели ЛНТ следующая. На первом периоде значения α – 0,68 и 0,70 – соответствуют ранее рассмотренным моделям ЛКД и ФКД. Величина τ имеет очень малое значение порядка 10-3, оно отрицательно, и в соответствии с t-статистикой недостоверно. Поэтому судить о вкладе НТП на основе модели ЛНТ невозможно. Аналогичное заключение относится к модели на всём временном интервале и к варианту несглаженных данных на втором интервале.

Модель для второго интервала в варианте сглаженных данных достоверна по всем параметрам и характеризует отрицательный вклад от использования основного капитала в анализируемом комплексе в 1990–2001 гг. – α < 0. Это негативное обстоятельство частично компенсируется положительной ролью НТП в эти годы – τ > 0.

Так же как и в предыдущих ситуациях, на основе идентифици- рованных в модели ЛТП коэффициентов проанализируем аппрокси- мативные свойства однородной ПФ Кобба – Дугласа с научно-техни- ческим прогрессом в форме модели ОНТ, отвечающей зависимости

(5.14).

Графики моделируемых и реальных траекторий развития отрасли на основе моделей ОНТ представлены на рис. 5.10, 5.11.

Рис. 5.10. Траектории выпуска продукции (модель ОНТ, фактические данные) (– – реальный выпуск продукции Y (тыс. руб. в сопоставимых ценах);

- - - расчёт по модели ОНТ на всём интервале исследования; расчёты по ОНТ для первого и второго интервалов)

111

Рис. 5.11. Траектории выпуска продукции (модель ОНТ, сглаженные данные) (– – реальный выпуск продукции Y (тыс. руб. в сопоставимых ценах);

- - - расчёт по модели ОНТ на всём интервале исследования; расчёты по ОНТ для первого и второго интервалов)

Из рис. 5.10, 5.11 видно хорошее согласование расчётных и фактических значений. Имеет место весьма высокое соответствие результатов для сглаженных данных первого периода. Для второго периода, как и в предыдущих случаях, построенная модель требует существенной доработки.

В табл. 5.7 представлены параметры данных ПФ и выборочные, качественные характеристики модели ОНТ.

Таблица 5.7

Параметры и характеристики моделей однородной ПФ Кобба – Дугласа с учетом НТП (модели ОНТ)

Период: 1965–2001 гг.

112

Из данных табл. 5.7 следует, что наиболее адекватной модель ОНТ является на периоде с 1965 по 1990 гг. в варианте сглаженных данных, где коэффициент детерминации возрос до значения R2=0,9985. Для второго периода значения скорректированного коэффициента детерминации R2sc в модели ОНТ формально уменьшились по сравнению с моделью ЛНТ, но при этом одновременно снизился уровень достоверности значений этих величин – F-критерий.

Сохранилась общая тенденция улучшения аппроксимативных качеств моделей с использованием сглаженных данных, при одновременном уменьшении прогнозных качеств моделей и снижении в 1,5–2 раза значений статистики DW, что свидетельствует

113

о росте степени автокорреляции остатков в моделях и неустранении этого явления введением фактора НТП. В целом, модели с учётом научно-технического прогресса – ЛНТ и ОНТ – несмотря на некоторое улучшение показателей качества, являются недостаточно пригодными для адекватного моделирования протекания процессов в исследуемом комплексе.

Попытаемся усовершенствовать модельные конструкции и рассмотрим неоднородную ПФ Кобба – Дугласа с учётом влияния НТП. Запишем модель в виде:

Приведём её к линейной зависимости в логарифмической форме:

Четыре неизвестных параметра уравнения (2.17) – модели ФНТ – отыщем методом МНК и проведём статистический анализ качества полученных моделей. Результаты расчётов представлены в табл. 5.8.

Таблица 5.8

Параметры и характеристики линеаризованных моделей неоднородной ПФ Кобба – Дугласа с учетом НТП (модели ФНТ)

Период: 1965–2001 гг.

114

115

Данные табл. 5.8 показывают, что для общего и первого периодов расчёты на основе неоднородной ПФ с учётом НТП (модель ФНТ) близки к результатам расчётов по неоднородной ПФ без учёта НТП (модель ФКД) и несколько лучше расчётов по однородной ПФ с учётом НТП (модель ЛНТ).

116

Значения среднеквадратической ошибки СКВО, коэффициентов детерминации R2 для всех вариантов фактических и сглаженных данных зачастую отличаются на доли процентов, а то и полностью совпадают. Так R2 для общего периода равно: 0,9776 и 0,9850 для ФКД; 0,9605 и 0,9701 для ЛКТ и 0,9782 и 0,9865 для ФНТ. Для первого периода соответствующие значения равны: 0,9965 и 0,9985

для ФКД; 0,9924 и 0,9967 для ЛНТ и 0,9966 и 0,9985 для ФНТ.

Практическое совпадение расчётов по модели ФНТ и ФКД можно объяснить тем, что параметр НТП – τ – в модели ФНТ также как и в модели ЛНТ на общем и первом интервалах оказывается незначимым по t-критерию (табл. 5.8, 5.6), и его учёт не приводит к совершенствованию моделей ПФ. Низкое значение критерия DW дополнительно указывает на существование важных факторов, неучтённых в модели ФНТ на общем и первом интервалах.

Совершенно иная ситуация имеет место при использовании модели ФНТ для описания процессов на втором интервале. Здесь показатели качества резко улучшаются. Значения СКВО уменьшаются с 13,83 % и 10,23 % для ФКД и с 13,18 % и 7,58 % для ЛНТ до 8,65 % и 5,42 % для ФНТ. Значения коэффициента детерминации R2 возрастают с 0,2959 и 0,4630 для ФКД и с 0,5228 и 0,8195 для ЛНТ до 0,7552 и 0,8662 для ФНТ. Соответственно, значения скорректированного коэффициента детерминации R2sc возрастают с 0,1395 и 0,3437 для ФКД и с 0,4751 и 0,8015 для ЛНТ до

0,6634 и 0,8160 для ФНТ.

Такое резкое улучшение показателей качества модели ФНТ на интервале 1990–2001 гг. соответствует тому, что параметр НТП – τ – впервые оказывается значимым: расчётные значения t-статистики для него существенно превышают табличные (табл. 5.8). На этом втором интервале оказались значимыми и все остальные параметры модели ФКТ. Эти оценки значимы на уровне α=0,01 для фактических данных и при α=0,001 в случае сглаженных данных.

117

По F-критерию достоверными являются значения R2. Величина критерия Дарбина – Уотсона DW свидетельствует о практическом отсутствии автокорреляции остатков, и о том, что все учтённые в модели факторы – A, α, β, τ – достаточно полно описывают существо протекающих процессов. Таким образом, впервые из всех рассмот- ренных ранее видов ПФ, модель ФНТ оказалась конструктивной при описании процессов на этапе структурных перестроек 1990–2001 гг.

При этом лучшее совпадение расчётов с исходными данными имеется для усреднённых значений. Соответствующую этому случаю величину СКВО σ=0,0542 можно признать удовлетворительной при описании процессов на втором интервале.

Значения параметров α, β и λ в модели ФНТ аналогичны соответствующим величинам модели ФКД (табл. 5.4), и они имеют практически ту же содержательную экономическую сущность, кото- рая была выявлена ранее при анализе модели ФКД. Значения пара- метров τ на общем и первом интервалах являются недостоверными, и содержательной интерпретации не имеют. Параметры α, β и τ на втором интервале, являются достоверными и также, как и в модели ЛНТ, они характеризуют, в целом, отрицательную эффективность использования капитала и трудовых ресурсов, и положительную, компенсирующую роль НТП.

Результаты расчётов с идентифицированными, приведёнными в табл. 5.8 параметрами иллюстрируются графиками на рис. 5.12, 5.13, описывающими выпуск продукции неоднородной ПФ Кобба – Дугласа с учётом НТП в форме зависимости (5.16) – модель ННТ.

На графиках наглядно видно достаточно высокая степень совпадения между модельными и реальными данными. Наиболее чётко согласованность прослеживается для варианта сглаженных исходных данных – рис. 5.13.

118

Рис. 5.12. Траектории выпуска продукции (модель ННТ, фактические данные) (– – реальный выпуск продукции Y (тыс. руб. в сопоставимых ценах);

- - - расчёт по модели ННТ на всём интервале исследования; расчёты по ННТ для первого и второго интервалов)

Рис. 5.13. Траектории выпуска продукции (модель ННТ, сглаженные данные) (– – реальный выпуск продукции Y (тыс. руб. в сопоставимых ценах);

- - - расчёт по модели ННТ на всём интервале исследования; расчёты по ННТ для первого и второго интервалов)

Параметры и основные качественные характеристики модели ННТ представлены в табл. 5.9.

119

Таблица 5.9

Параметры и характеристики моделей неоднородной ПФ Кобба – Дугласа с учетом НТП (модели ННТ)

Период: 1965–2001 гг.

120