Математическая статистика и анализ данных. Учебное пособие

№ 4442 МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

УНИВЕРСИТЕТ НАУКИ И ТЕХНОЛОГИЙ МИСИС

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра математики

О.В. Максимова

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА И АНАЛИЗ ДАННЫХ

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2023

УДК 519.22 М17

Р е ц е н з е н т д-р техн. наук, проф., советник генерального директора

ФГБУ «Институт стандартизации», профессор МГИМО МИД России И.З. Аронов

Максимова, Ольга Владимировна.

М17 Математическая статистика и анализ данных : учеб. пособие / О.В. Максимова. – Москва : Издательский Дом НИТУ МИСИС, 2023. – 172 с.

Пособие представляет теоретический курс с охватом базовых тем математической статистики, необходимых для изучения дальнейших дисциплин по специальности. В нем рассматриваются современные методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений со справочной информацией использования программного модуля Excel. Материал сопровождается практическими примерами и задачами, а также историческими сведениями и списком источников. Пособие адаптировано для сжатого изложения.

Предназначено для студентов специальностей 28.03.01 «Нанотехнологии и микросистемная техника», 28.03.03 «Наноматериалы», 03.03.02 «Физика», 11.03.04 «Электроника и наноэлектроника», 22.03.01 «Автоматизация технологических процессов и производств (в машиностроении)» Института новых материалов и нанотехнологий.

УДК 519.22

Максимова О.В., 2023

НИТУ МИСИС, 2023

Содержание

Обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

РАЗДЕЛ 1.Случайные события и их вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1. Предмет теории вероятностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Случайные события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Вероятность случайных событий, их свойства . . . . . . . . . . . 14 1.4. Независимые и зависимые случайные события, условная вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

РАЗДЕЛ 2. Случайные величины и их числовые характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1. Понятие случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Системы случайных величин. Независимые случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3. Числовые характеристики случайных величин . . . . . . . . . . 34

РАЗДЕЛ 3. Законы распределения случайных величин. . . . . . . . 40 3.1. Законы распределения ДСВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2. Законы распределения НСВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

РАЗДЕЛ 4. Предельные теоремы теории вероятностей . . . . . . . . 56 4.1. Законы распределения НСВ (продолжение) . . . . . . . . . . . . . 56 4.2. Предельные теоремы теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . 59 4.3. Законы распределения НСВ, часто применяемые в математической статистике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

РАЗДЕЛ 5. Выборочный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.1. Задачи и терминология математической статистики. . . . . . 70 5.2. Точечные оценки параметров генеральной совокупности, их свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.3. Понятие доверительного интервала. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

РАЗДЕЛ 6. Доверительные интервалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.1. Доверительный интервал (продолжение раздела 5) . . . . . . . 82 6.2. Доверительный интервал для математического ожидания. . . 83 6.3. Доверительный интервал для дисперсии. . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.4. Доверительный интервал для вероятности успеха в серии независимых испытаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3

РАЗДЕЛ 7. Проверка параметрических гипотез для одной выборки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.1. Вводные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.2. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7.3. Проверка параметрических гипотез.

Случай одной выборки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

РАЗДЕЛ 8. Проверка параметрических гипотез для двух выборок. Критерий согласия Пирсона 2 (хи-квадрат) . . . . . . . . 111

8.1. Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 8.2. Параметрические гипотезы для двух выборок . . . . . . . . . . 112 8.3. Критерий согласия Пирсона 2 (хи-квадрат). . . . . . . . . . . . 121

РАЗДЕЛ 9. Основы корреляционно-регрессионного анализа. . . 126 9.1. Что изучает корреляционно-регрессионный анализ . . . . . 126 9.2. Корреляционный анализ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 9.3. Регрессионный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Приложение 1. Формулы, связанные с теоремами сложения и умножения вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

П1.1. Формула полной вероятности (ФПВ) . . . . . . . . . . . . . . . . 144 П1.2. Формула Байеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 П1.3. Формула Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Приложение 2. Зависимость случайных величин . . . . . . . . . . . . 148 П2.1. Функции от случайных величин. Нормальный закон для линейного преобразования случайной величины . . . . . . . . 148 П2.2. Ковариация. Свойства математического ожидания

и дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Приложение 3. Методы получения точечных оценок.

Первичный анализ данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 П3.1. Метод моментов и метод максимального правдоподобия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

П3.2. Систематизация и начальная обработка данных . . . . . . . 152

Приложение 4. Статистики и значения функций некоторых распределений в Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Приложение 5. Основные законы распределения . . . . . . . . . . . . 158

Приложение 6. Табулированные таблицы распределений . . . . . 159

4

ОБОЗНАЧЕНИЯ

достоверное событие (пространство элементарных исходов)

B(p) закон распределения Бернулли с параметром p

Bi(n, p) биномиальный закон распределения с параметрами n, p

G(p) геометрический закон распределения с параметром p

5

F(k1, k2) закон распределения Фишера с k1 и k2 степенями свободы

(x) функция Лапласа

основная и альтернативная (конкурирующая) гипотезы H0, H1 соответственно

уровень значимости (вероятность ошибки I рода)

доверительная вероятность (уровень надежности, = 1 – )

вероятность ошибки II рода

начало и конец доказательства

(*)пример

6

ПРЕДИСЛОВИЕ

Пора выбрать стратегию «МОЖЕТ БЫТЬ» и приступить…

Я.И. Хургин. Да, нет или может быть…

Каждый день мы принимаем решения, анализируя ситуацию вокруг нас. Иногда мы даже не замечаем, что приняли какое-то решение, основываясь на полученной извне информации. И если результат оказался не очень удачным, пеняем на плохую информацию или просто невезение. Ввиду этого не только в своей повседневной жизни, но и в профессиональной деятельности, мы стараемся придавать решениям бо\льшую надежность, хотя в некоторых ситуациях интуиция не срабатывает. Повысить точность принимаемых решений можно, применив иногда даже очень простую статистическую модель и статистические методы. Как только математика вступает в практическую область, она сразу воплощается в сборе, описании, моделировании и предсказании реальных процессов. Именно в статистике она обретает силу, выходя за пределы идеализированных и оторванных от жизни формул и расчетов.

Знание основ курса «Математическая статистика и анализ данных» (МСиАД) способствует развитию у студентов навыков принятия решений на основе статистического мышления. Этот курс знакомит студентов с терминологией теории вероятностей и математической статистики, важными статистическими законами распределения и основами кор- реляционно-регрессионного анализа.

Между тем потребность изучения МСиАД также продиктована необходимостью систематизации у студентов знаний, приобретения умений и формирования компетенций в области принятия решений на основе статистического мышления, при выборе лучшей альтернативы из нескольких возможных, а также при изучении в дальнейшем таких дисциплин, как «метрология», «статистическое управление

7

процессами» и др. Помимо этого, знания, полученные студентами при изучении курса, могут быть использованы ими в ходе выполнения дипломной работы, а также при формировании и дальнейшем развитии комплекса собственных профессиональных и научных интересов в рамках индивидуальной образовательной траектории.

Настоящее учебное пособие содержит сжатое изложение базовых тем теории вероятностей с продвижением и углублением в разделы статистики, сопровождающимися помимо практических примеров и справочной информации использованием программного модуля Excel для обработки результатов наблюдений, исторической справкой и полезными ссылками на дополнительные литературные источники.

Учебное пособие косвенно состоит из двух блоков,

впервом блоке содержится три раздела, во втором – шесть. В первом блоке даются базовая терминология и необходимые в дальнейшем теоремы теории вероятностей. Второй блок пособия посвящен изложению стандартных приемов сбора и систематизации данных, а также подходам к их анализу, раскрывающим возможности изучения в дальнейшем современных математических методов в этой сфере. К некоторым разделам дополнительный материал можно найти

вприложениях.

Учебное пособие предназначено для студентов второго года обучения Института новых материалов и технологий (ИНМиН), изучающих дисциплину МСиАД. Кроме того, отдельные материалы пособия могут быть востребованы студентами других факультетов университета, осваивающих и применяющих основы математической статистики.

Автор будет благодарен за критические замечания и выявление недочетов, которые можно направлять по следующему адресу: ov.maksimova@misis.ru.

8

РАЗДЕЛ 1 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ИИХ ВЕРОЯТНОСТЬ

Вмире господствует случай и одновременно действуют порядок и закономерность, которые формируются из массы

случайностей согласно законам случайного.

А.Реньи. Трилогия о математике

1.Случайное событие служит «качественной» оценкой эксперимента.

2.Изучение закономерностей в случайных экспериментах начинается с построения математической модели этих экспериментов.

3.Любая модель начинается с задания вероятностного пространства, и выясняется множество всех возможных результатов данного эксперимента.

4.Определяется подход к расчету вероятности интересующего нас события. Затем рассматриваются те подмножества этого множества, которые влекут наступление интересующих нас событий.

5.Если событие сложное (представляется суммой/произ-

ведением некоторых событий Ai), то его вероятность можно попытаться вычислить с помощью теорем сложения и умно-

жения. Для применения этих теорем важно заранее определить и учитывать совместность и зависимость событий Ai.

1.1.Предмет теории вероятностей

Часто в нашей повседневной жизни, произнося слова наподобие «Вероятно, завтра я пойду на лекцию по теории вероятностей», мы определенно, сознательно или бессознательно, приписываем, исходя

из собственного опыта, некоторую вероятность событию «завтра я пойду на лекцию по теории вероятностей». Но эта веро-

9

ятность должна быть оценена с помощью совокупности сведений, благоприятствующих и не благоприятствующих этому событию, которые учитываются при подсчете вероятности. Ваше решение пойти на данную лекцию может зависеть отчасти от погодных условий именно в этот день, от того, успеете ли вы покормить вашего кота или вообще успеете ли проснуться к началу лекции, от пробок по пути на дороге и многого другого. Таким образом, ваше решение по отношению к этой конкретной лекции служит результатом взаимодействия многих факторов, иногда непредсказуемых. С таким типом неопределенных событий мы встречаемся, когда неизвестно, какой из законов случайных событий действует в данном конкретном случае.

Другое дело, когда мы подбрасываем обычную игральную кость. Результат ее падения случаен и не может быть определен заранее. Но с равной уверенностью можно ожидать появления одного

из шести очков. Иметь дело с такими событиями, вообще говоря, несложно. Результат такого эксперимента диктуется законом случайных событий, проявляющемся в этом частном случае.

В первом примере мы встречаемся с событиями, которые нельзя повторить многократно в одних и тех же условиях, в отличие от второго. Во втором примере мы имеем возможность в одинаковых условиях не только многократно, а сколько угодно раз производить наблюдения. Но и их результат заранее (до совершения эксперимента) точно определить нельзя. Однако вполне правдоподобно, что с увеличением числа наблюдений частота наступления этого события будет мало и несистематически меняться. Установлено, что случайные события в массе своей подчиняются некоторым общим неслучайным закономерностям, главная из которых – свойство статистической устойчивости: если некоторое событие A может произойти в результате эксперимента, то доля экспериментов, в которых данное событие произошло, с ростом общего числа экспе-

10