Математическая статистика и анализ данных. Учебное пособие

3.Почему ковариация неудобна для описания тесноты связи между величинами?

4.Как найти выборочный коэффициент корреляции?

5.Что помимо тесноты связи можно определить по коэффициенту корреляции?

6.Если rXY = 0, то следует ли, что исследуемые величины независимы?

7.Если rXY = 1, то что можно сказать о случайных величинах?

8.Приведите пример величин, которые коррелируют положительно, отрицательно.

9.Пусть для двух выборок объемов n1 > n2 коэффициент корреляции rXY = 0,47.

а) Для выборки объема n1 он оказался значимо отличным от нуля при = 0,05. Будет ли он значим для выборки объ-

ема n2? Почему?

б) Для выборки объема n2 он оказался значимо отличным от нуля при = 0,05. Будет ли он значим для выборки объема n1? Почему?

10.Какую основную задачу решает регрессионный анализ?

11.Какой метод используется для нахождения коэффициентов линии регрессии? В чем он заключается?

12.Какая переменная называется регрессором?

13.Как вы думаете, какая форма зависимости наиболее точно описывает связь заработной платы с возрастом человека? Чему приблизительно равен коэффициент корреляции для этих величин?

14.Подумайте, почему точки наблюдений имеют отклонения от регрессионной прямой. Чем это можно объяснить?

141

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Сборники задач

1.Ефимов А.В., Поспелов А.С. Сборник задач по математике для втузов. В 4 ч. Ч. 4: учеб. пособие для втузов / под общ. ред. А.В. Ефимова и А.С. Поспелова. – 3-е изд. перераб.

идоп. – М.: Издательство физико-математической литературы, 2003. – 432 с. – ISBN 5-94052-037-5 (Ч. 4).

2.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие для студентов вузов. – 4-е изд. – М.: Высш. шк., 1998. – 399 с. ISBN 5-06-003465-8.

3.Фадеева Л.Н., Жуков Ю.В., Лебедева А.В. Математика для экономистов. Теория вероятностей и математическая статистика: задачи и упражнения. – М.: Эксмо, 2006 (Ульяновск: Ульяновский Дом печати). – 334 с. ISBN 5-699-12632-5.

Основные источники

4.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для студентов вузов. – 6-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 1998. – 478 с.: ISBN 5-06-003464-X.

5.Вентцель Е.С., Овчаров А.А. Теория случайных процессов и ее приложения. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.

6.Крупин В.Г., Туганбаев А.А. Теория вероятностей. – М.: Факториал Пресс, 2006. – 126 с. ISBN 5-88688-081-X.

7.Хальд А. Математическая статистика с техническими приложениями / пер. с англ. Н.Н. Воробьева [и др.]; под ред.

Ю.В. Линника. – М.: Изд-во иностр. лит., 1956. – 664 с.

Дополнительные источники

8. Борель Э. Вероятность и достоверность / пер. со 2-го фр. изд. И.Б. Погребысского; под ред. и с предисл. Б.В. Гнеденко. – 2-е изд., стер. – М.: Наука, 1964. – 119 с.

142

9.Борель Э. Случай / пер. с франц. Ю.И. Костицыной; под ред. проф. В.А. Костицына. – М.; Пг.: Госиздат, 1923. – 215 с.

10.Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики: учеб. пособие. – 5-е. изд. – М.: ЛЕНАНД, 2014. – 592 с. ISBN 978-5-9710-1025-8.

11.Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика: для инженеров и науч. работников. – М.: Физматлит, 2006. – 813 с. ISBN 5-9221-0707-0.

12.Кумэ Х. Статистические методы повышения качества. – М.: Финансы и статистика, 1990. – 304 с.

13.Реньи А. Трилогия о математике. – М.: Мир, 1980. –

376 с.

14.Тьюки Дж. Анализ результатов наблюдений. Разведочный анализ. – М., 1981. – 693 с.

143

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ФОРМУЛЫ, СВЯЗАННЫЕ С ТЕОРЕМАМИ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Часто сложное событие имеет такую структуру, к которой можно применить готовую формулу, служащую результатом применения теорем сложения и умножения вероятностей.

П1.1. Формула полной вероятности (ФПВ)

Пусть имеется двухступенчатый эксперимент, т.е. для проведения второй части эксперимента нужно знать результат первого эксперимента. Например, чтобы получить отметку за экзамен случайно взятого из группы студента, знание баллов за экзамен недостаточно, необходимо иметь априорную информацию о его семестровом рейтинге.

Теорема (ФПВ). Пусть A1, A2, …, An – полная группа событий. Тогда для любого события A справедлива формула

P(A) = P(A1) · P(A| A1) + P(A2) · P(A| A2) +…+ P(An) · P(A| An).

…

An

A6

144

Если A1, A2, …, An – полная группа событий, то в соответствии со свойствами (определение 4 раздела 1) событие A можно представить (рис. П1.1)

A = AA1 + AA2 +...+ AAn.

События AA1, AA2, ... AAn попарно несовместны (следует из свойств полной группы событий), поэтому из свойства 2 аксиомы вероятности P3 имеем

P(A) = P(AA1) + P(AA2) +…+ P(AAn).

События A и A1, A и A2, ... A и An зависимы, поэтому по теореме умножения вероятностей получаем искомую формулу.

П1.2. Формула Байеса1

Теорема Байеса используется для обновления вероятности гипотезы по мере получения дополнительной информации о том, произошло интересующее событие или нет.

Пусть также имеется двухступенчатый эксперимент. Причем известно, что в результате событие A произошло. Тогда ставится задача найти не первоначальные вероятности P(A1), P(A2), …, P(An), которые называются априорными, а вероятности P(A| A1), P(A| A2), …, P(A| An), которые называются апостериорными (т.е. вероятности после совершения опыта). Часто в практических задачах нас интересуют именно апостериорные вероятности. К примеру, если студент сдал экзамен на отметку «A», то можно рассмотреть вероятности P(A| A1), P(A| A2), …, P(A| An), дающие представления о его семестровой успеваемости (частотах рейтинговых баллов).

1 Теорема Байеса не была принята математиками до середины ХХ в. Она подвергалась критике как субъективная. Во время Второй мировой войны формула была использована Аланом Тьюрингом. Сам Байес был проповедником и первым описал новый подход к вероятностям, но именно Лаплас выразил его идеи в виде теоремы.

145

Теорема (ФБ). Пусть A1, A2, …, An – полная группа событий. Пусть произошло событие A. Тогда справедлива формула Байеса

P(Ak| A) =

P Ak P A | Ak ,

P A1 P A | A1 P A2 P A | A2 P An P A | An

где k = 1, 2, …, n.

Из определения 8 раздела 1 условной вероятности P(Ak| A) =

на формулу теоремы умножения вероятностей, получаем искомое утверждение теоремы.

Таким образом, теорема дает количественную оценку того, насколько должны измениться наши убеждения в связи с тем, произошло событие или нет.

Байесовский вывод нашел применение в широком спектре видов деятельности, включая науку, инженерию, философию, медицину, спорт и право.

П1.3. Формула Бернулли

Пусть имеются испытания Бернулли:

1)n независимых опытов;

2)в каждом опыте возможен только успех («У») или неуспех («Н»);

3)вероятность успеха p не меняется от опыта к опыту.

К примеру, испытаниями Бернулли служит покупка лотерейных билетов (успех – выигрыш, неуспех – проигрыш).

Теорема (формула Бернулли). Пусть имеются испытания Бернулли. Тогда вероятность k успехов в n испытаниях задается формулой

146

Pn(k) = Cnk · pk · qn – k,

где p вероятность успеха в одном опыте; q = 1 – p.

Каждый результат проведения n независимых опытов может быть представлен цепочкой символов «У» и «Н». Пусть сначала произошло k успехов, тогда неуспехов будет (n – k):

УУ…У НН…Н . Вероятность такой цепочки есть pk · qn – k.

k n k

Число таких цепочек равно Cnk . И так как разные «цепочки» служат попарно несовместными событиями, то в силу свой-

ства 2 аксиомы вероятности P3 интересующая вероятность равна Pn(k) = Cnk · pk · qn – k .

147

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ЗАВИСИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

П2.1. Функции от случайных величин. Нормальный закон для линейного преобразования случайной величины

В некоторых задачах необходимо произвести расчет числовых характеристик (к примеру, математического ожидания) не для самой случайной величины, а для некоторой от нее функции.

Утверждение 1. Линейное преобразование не изменяет вид закона распределения, т.е. оно равносильно изменению масштаба изображения кривой распределения и переносу начала координат в новую точку.

Замечание. Если случайная величина ~ N(m, 2), то ( –

m

–m) ~ N(0, 2) и ~ N(0, 1) (центрирование и нормирование случайной величины, о котором речь шла ранее).

Утверждение 2. Если имеется случайная величина с плотностью f(x) и необходимо найти математическое ожидание от ее функции h( ), то не обязательно находить функцию плотности для h( ), а можно произвести расчет по формуле

НСВ: M(h( )) = h f x dx ,

ДСВ: M(h( )) = h xi P xi .

i

Использование этих формул дает возможность рассчитывать также и дисперсию для h( ).

148

П2.2. Ковариация. Свойства математического ожидания и дисперсии

Определение 1. Математическим ожиданием (или центром рассеяния) двумерной случайной величины = { 1, 2} называется вектор

M = {M 1, M 2}.

Определение 2. Ковариацией двух случайных величин 1,2 называется число

cov( 1, 2) = M( 1 – m1)( 2 – m2),

где m1 = M 1, m2 = M 2.

Замечание. Размерность ковариации есть произведение размерностей случайных величин 1, 2, что затрудняет ее интерпретацию для практических задач.

Свойства ковариации cov( 1, 2): 1 cov( , ) = D ;

2 cov( 1, 2) = M( 1 2) – M 1 · M 2 (расчетная формула);

3 cov( 1, 2) = cov( 2, 1);

4 cov(a1 1 + b1, a2 2 + b2) = a1a2 cov( 1, 2).

1 cov( , ) = M( – m)( – m) = M( – m)2 = D . 2 Пусть M 1 = m1, M 2 = m2. Тогда

cov( 1, 2) = M( 1 – m1)( 2 – m2) =

св во

= M( 1 2– m1 2 – m2 1 + m1m2) M( 1 2) – m1M( 2) –

– m2 M( 1) + m1m2 = M( 1 2) – M 1 · M 2.

3 Очевидно.

4 Аналогично 2 с применением свойств математического ожидания.

Теорема. Если случайные величины 1, 2 независимы и имеют конечные математические ожидания, то

M( 1 2) = M 1 · M 2.

149

Докажем эту теорему для НСВ. Случайная величина = = { 1, 2} имеет двумерную плотность распределения f(x1, x2). Тогда анологично одномерной случайной величине

Из теоремы и свойств ковариации вытекают важные свойства математического ожидания и дисперсии, о некоторых из них речь шла в разделе 2.

Свойства математического ожидания и дисперсии:

1 D( 1 ± 2) = D 1 + D 2 ± 2 cov( 1, 2); 2 1, 2 – независимы cov( 1, 2) = 0;

3 1, 2 – независимы D( 1 ± 2) = D 1 + D 2; 4 1, 2 – независимы M( 1 2) = M 1 · M 2.

1 Докажем свойство для суммы. M 1 = m1, M 2 = m2. Тогда

опр.

D( 1 + 2) M(( 1 + 2) – (m1 + m2))2 =

=M(( 1 – m1)+ ( 2 – m2))2 =

=M( 1 – m1)2+ M( 2 – m2)2 + 2M( 1 – m1) ( 2 – m2) =

=D 1 + D 2 ± 2 cov( 1, 2).

Свойство 2 вытекает из расчетной формулы ковариации, свойства 3 , 4 служат прямым следствием формул 1 и 2 .

150