Математическая статистика и анализ данных. Учебное пособие

3.Попробуйте для каждого типа гистограмм подобрать правдоподобный пример. Для каких типов данных составляется гистограмма?

4.Какие оценки называются точечными, а какие интервальными, в чем их различие?

5.Какие критерии сравнения точечных оценок существуют (дайте определения для каждого свойства)? Какие из них являются желательными для того, чтобы продолжать работать с оценкой?

6.Является ли оценка математического ожидания x эф-

фективной?

ральной совокупности несмещенной, состоятельной и эффективной? В каком случае ее использование целесообразно?

8.Зачем для выборки НСВ данные объединяются в промежутки для анализа?

9.Для какого типа гистограмм нецелесообразно вычислять точечную оценку математического ожидания x (ответ поясните)?

10.Предположите расположение относительно друг друга на каждой гистограмме x и Me. У каких гистограмм одна мода; две?

11.Дайте определение доверительного интервала и доверительной вероятности.

12.Какую величину называют уровнем значимости? Что она показывает?

13.Верно ли, что по определению доверительного интер-

вала случайная величина должна попадать в него с вероятностью ?

14.Верно ли, что по разным сериям наблюдений для од-

ной и той же изучаемой случайной величины n будут получаться одинаковые доверительные вероятности с заданной ? Ответ поясните.

81

РАЗДЕЛ 6 ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ

А ведь именно отклонение от простого и обычного освещает дорогу разуму в поисках истины.

Э.А. По. Убийство на улице Морг

1.По результатам наблюдений для некоторых характеристик генеральной совокупности возможно построить интервальную оценку. К таким характеристикам относятся, например, математическое ожидание, дисперсия и вероятность успеха в схеме независимых испытаний Бернулли.

2.Интервальная оценка позволяет указать промежуток,

вкотором с заданной вероятностью находится интересующий параметр генеральной совокупности.

3.Чем больше выбрана доверительная вероятность, тем шире получается доверительный интервал (для однородной совокупности при заданном объеме выборки). Чем меньше доверительная вероятность, тем у\же будем получать интервал.

4.Увеличение объема выборки позволяет сузить границы доверительного интервала при фиксированной доверительной вероятности.

5.Вариабельность (изменчивость) данных выборки влияет на ширину доверительного интервала. При одинаковых доверительной вероятности и объеме выборки он будет шире для параметра той выборки, у которой вариабельность данных больше.

6.1. Доверительный интервал (продолжение раздела 5)

Дадим статистическую интерпретацию доверительному интервалу ( 1, 2), построенному для параметра с доверительной вероятностью .

Пусть проведено 100 выборок объема n. По каждой i-й выборке для параметра с доверительной вероятностью = = 0,95 построен доверительный интервал ( 1i, 2 i 1,100 ).

82

Тогда около 95 из них накроют истинное значение параметра , а 5 из них – нет (рис. 6.1). Если число выборок увеличить, то можно ожидать процент интервалов, накроющих истинное значение параметра, совсем близко к 95 %.

Рис. 6.1

Наиболее часто в математической статистике интересуют построения доверительных интервалов для математического ожидания, дисперсии и вероятности успеха в серии независимых испытаний.

6.2. Доверительный интервал для математического ожидания

Для математического ожидания будем строить доверительный интервал, симметричный относительно его точечной оценки X .

Случай большой выборки. Пусть закон распределения случайной величины X неизвестен. Неизвестны также M(X) и D(X), но известно, что D(X) < . Над случайной величиной проделано n независимых наблюдений и получена выборка из n значений x1, x2, …, xn. Напомним, что элементы выборки есть не что иное, как тоже случайные величины, рас-

83

пределенные по тому же закону, что и случайная величина X. Построим доверительный интервал для математического ожидания на основе точечной оценки X .

Ȗ

представляет собой сумму большого числа одинаково распределенных независимых слагаемых с ограниченной дисперсией. На основании ЦПТ можно утверждать, что X имеет закон, близкий к нормальному

n

X N M X ;D X .

Параметрами этого закона служат (вывод см. в подразде-

84

Из записи (6.1) следует, что

По определению из подраздела 5.3 формула (6.4) может задавать доверительный интервал для неизвестного математического ожидания с заранее заданной доверительной вероятностью для случая, когда:

1)дисперсия случайной величины D(X) известна;

2)число наблюдений достаточно велико (n 30).

Когда такое бывает на практике? Такая ситуация возникает, если измеряется постоянная величина прибором, который не имеет систематической ошибки.

85

Условие 2. Если же вместе с M(X) неизвестна и дисперсия D(X), то из тех же опытных данных можно получить несмещенную и состоятельную оценку для дисперсии (см.

Таким образом, формулу (6.5) можно использовать для любой случайной величины, для которой выполнены условия:

1)ограниченная дисперсия;

2)число наблюдений достаточно велико (n 30);

3)дисперсия заранее неизвестна.

Ключевую роль играет то, что при большом числе независимых наблюдений среднее арифметическое числа их результатов имеет закон, близкий к нормальному.

Случай малой выборки. При небольшом объеме наблюдений необходима информация о законе распределения, так как не работает ЦПТ. Рассмотрим важный случай, когда случайная величина X ~ N(m, 2).

Условие 1. Если 2 известно, а неизвестно лишь математическое ожидание m, то при независимых наблюдениях можно воспользоваться свойством устойчивости нормального закона распределения: сумма независимых случайных величин, подчиненных нормальному закону распределения, сама подчиняется нормальному закону распределения, поэтому X имеет нормальный закон распределения и при условии известной дисперсии становится возможным использовать формулу (6.4).

Условие 2. Если 2 неизвестно, то при небольшом числе наблюдений ее оценка на основе выборочных данных оказывается грубой, поэтому формула (6.4) становится неработоспособной.

86

Английский статистик Уильям Госсет23 для X ~ N(m, 2) с неизвестными параметрами m и 2 в предположении независимости испытаний изучил величину

t = X m , s/ n

где s2 – несмещенная оценка дисперсии; n – число наблюдений.

Получилось, что распределение статистики t не зависит от X и s, а зависит лишь от числа (n – 1). Докажем, что t имеет распределение Стьюдента с (n – 1) степенью свободы, рассмотрев предварительно утверждение теоремы Р. Фишера24 (без доказательства).

Теорема Фишера. Если (x1, x2, …, xn) – выборка случайной величины, распределенной по нормальному закону N(m, 2),

Напомним: в разделе 4 было рассмотрено следующее определение.

Распределение Стьюдента: ~ N(0, 1), ~ n2 – независи-

87

n 1

Плотность t-распределения не интегрируема в элементарных функциях, поэтому она табулирована. В настоящем пособии для удобства применения на практике таблица составлена для правого «хвоста» графика плотности распре-

Вернемся к построению доверительного интервала, обозначив M(X) = m:

P X m

Рис. 6.3

88

лице распределения Стьюдента для (n – 1) степени свободы можно найти соответствующее t .

Тогда, раскрывая модуль в верхнем равенстве, получаем

P X M X X = .

Формула (6.7) имеет такую же структуру, что и формула (6.5), но t в этих формулах определяется разными способами (по разным таблицам).

Замечание. Для нахождения необходимого значения t в Excel по таблице Стьюдента при заданном и числе степеней свободы k необходимо в строку формул ввести:

= СТЬЮДЕНТ.ОБР(1 – A; k),

где A задает площадь правого хвоста (для доверительного интервала A = 2 ).

(*1) Дано: выборка из нормального распределения, выборочное среднее X 10,4 , несмещенная оценка дисперсии s2 = 12,25, доверительная вероятность = 0,92, объем выборки n = 16. Построить доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности (иногда говорят: для генерального среднего).

Запишем интервал l в сокращенном виде:

89

где t находим по таблице Стьюдента с k = (n – 1) степенью свободы ввиду малой выборки. По таблице Стьюдента нахо-

10,4 1,88 3,54 10,4 1,65.

Ответ: l = (8,75, 12,05) с доверительной вероятностью = = 0,92.

6.3. Доверительный интервал для дисперсии

Рассмотрим важный случай, когда случайная величина X имеет нормальный закон N(m, 2).

Рис. 6.4

f(x) Ȥ2-ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ

Рис. 6.5

90