Математическая статистика и анализ данных. Учебное пособие

Параметрами нормального закона служат m и 2, которые однозначно определяют этот закон, поэтому для нормального закона часто используют обозначение N(m, 2). Если случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами m и 2, то это записывают как~ N(m, 2).

Пусть ~ N(m, 2). Вычислим вероятность попадания такой случайной величины в интервал (a, b). По формуле (2.2) из предыдущего раздела для НСВ:

b

P(a b) f x dx

51

Каждый из интегралов в разности не берется в элементарных функциях.

Введем в рассмотрение функцию Лапласа1:

x t2

Ф x 1 e 2 dt.

2 0

С помощью функции (x) можно записать вероятность попадания в интервал ~ N(m, 2) (рис. 3.7).

f x

Рис. 3.7

1 Пьер-Симон Лаплас (1749–1827 гг.) усовершенствовал почти все разделы математики и астрономии. В книге «Аналитическая теория вероятностей» изложены основы работы со случайными величинами и доказательство предельной теоремы Муавра – Лапласа (см. раздел 4), приложения к математической обработке наблюдений, статистике народонаселения и «нравственным наукам». Наполеон наградил Лапласа титулом графа Империи, всеми мыслимыми орденами и должностями.

52

f x ȟaN 0

2ʌ

ба и сдвига начала координат, переводящее закон N(m, 2) в закон N(0, 1) (стандартизованный) (рис. 3.8). Используя формулу (3.1), получаем

~ N(m, 2),

P(a < < b) = (b) – (a).

Так как интеграл в функции Лапласа не берется в элементарных функциях, то функция Лапласа табулирована, т.е. ее значения при различных действительных x вычислены и сведены в таблицу (см. приложение 6). По таблице возможно нахождение функции Лапласа (x) для любого положительного значения x (рис. 3.9).

1)(–x) = – (x);

2)(0) = 0;

3)(+ ) = 0,5; (– ) = –0,5;

4)(x > 5) 0,5.

53

Функция Лапласа нечетная, поэтому для нахождения ее значений для отрицательных x нужно пользоваться свойством (–x) = – (x). Заметим, что при x > 5 функция Лапласа остается практически постоянной (см. рис. 3.9). Поэтому в таблице даны значения функции только для 0 x 5.

ĭx ɩɪɢx

Рис. 3.9

Функция Лапласа и функция распределения для ~ N(0, 1) связаны равенством

(x) = F(x) – 0,5.

Замечание.

1. Для нахождения необходимого значения функции (x) при заданном x в Excel необходимо в строку формул ввести

=НОРМ.СТ.РАСП(x; ИСТИНА) – 0,5

2.Для нахождения аргумента x по заданному значению(x) в Excel необходимо в строку формул ввести

=НОРМ.СТ.ОБР( (x) + 0,5)

Введенная поправка 0,5 компенсирует различие функции распределения F(x) нормального закона от функции Лапласа (x).

54

Контрольные вопросы

1.При каких условиях закон распределения Бернулли становится частным случаем биномиального закона? Что задает каждое из них?

2.Как с помощью свойств вывести математическое ожидание и дисперсию биномиального закона, используя закон Бернулли?

3.При каких условиях закон Пуассона можно считать предельным для биномиального закона распределения?

4.Приведите пример случайной величины, имеющей геометрическое распределение.

5.Приведите пример экспоненциально распределенной величины.

6.При каком условии время ожидания поезда в метро можно считать случайной величиной, распределенной по равномерному закону?

7.Как вычислить вероятность P(–1 < < 4), если имеет нормальный закон распределения?

8.Как из нормально распределенной случайной величины сделать величину со стандартным нормальным распределением?

9.Гауссиана – это график плотности или функции распределения? Для какого закона?

10.При каком условии нормально распределенная случайная величина называется стандартизованной?

11.Задает ли (x) функцию распределения нормального закона?

12.Если случайная величина имеет нормальное распре-

деление, каким будет распределение случайной величины (– )?

13.Найдите с помощью Excel и таблицы Лапласа в приложении 6 (1,23), (–2,35).

14.Известно, что (x) = 0,45. Найдите x с помощью Excel

итаблицы Лапласа.

55

РАЗДЕЛ 4 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ

– На это есть много причин, и первая из них та, что черное сменяется красным.

–О чем это вы, Пуаро? – воскликнул я.

–Я воспользовался терминологией рулетки.

Врулетке во время игры может долго выпадать черное, но в конце концов шарик остановится на красном.

Это математический закон вероятностей.

Агата Кристи. Убийство по алфавиту

1.Нормальный закон распределения занимает центральное место в классе предельных теорем.

2.Рассматриваемые предельные теоремы связаны с изучением неслучайного поведения последовательности сумм (или средних арифметических) большого числа независимых случайных величин. Предельные теоремы можно разбить на две группы.

3.Первая группа теорем формулирует условия, при которых совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к неслучайному результату. Они служат для приближенного вычисления вероятностей событий, связанных с очень длинными сериями независимых испытаний. Так, доля успехов в схеме Бернулли приближается к вероятности успеха в одном испытании.

4.Вторая группа теорем формулирует условия сближения среднего арифметического (или суммы) случайных величин с подходящим нормальным распределением, что позволяет в некоторых исследованиях заменять начальные распределения на нормальное.

4.1.Законы распределения НСВ

(продолжение)

Нормальный закон распределения, ~ N(m, 2).

56

Для ~ N(m, 2)1 найдем вероятность попадания случайной величины в интервал отклонения от среднего ее значения на величину :

Эта формула часто применяется в практических задачах для нахождения симметричного интервала относительно m.

Положим теперь, что = , 2 , 3 . Тогда получим следующее:

= , P(m – < < m + ) = 2 (1) 2·0,3413 = 0,683;

= 2 , P(m – 2 < < m + 2 ) = 2 (2) 2·0,4773 = 0,955;

= 3 , P(m – 3 < < m + 3 ) = 2 (3) 2·0,4987 = 0,997.

Заметим, что при k = 3 вероятность очень близка к единице, это говорит о том, что почти все значения данной случайной величины лежат в диапазоне ±3 от своего математического ожидания (правило «трех сигм», рис. 4.1).

(*1) Какую долю школьных платьев для девочек, имеющих рост менее 152 см, нужно предусмотреть в объеме производства для данной возрастной группы, если рост девочек возрастной группы 15 лет есть нормально распределенная случайная величина с параметрами m = 160 см и = 4 см?

1 Приведем правила нахождения вероятностей для односторонних промежутков:

57

P |ȟ – m| 3ı §

Рис. 4.1

Рассмотрим случайную величину = {рост случайно выбранной девочки 15 лет}. Найдем вероятность (рис. 4.2):

P( < 152) = P(– < < 152) = Ф b m – (– ) =

= (–2) + 0,5 = – (2) + 0,5 0,023.

f x

Рис. 4.2

58

Таким образом, около 2,3 % платьев для девочек с ростом менее 152 см необходимо предусмотреть в производстве.

Заметим, что при подсчете мы приняли левую границу для роста девочки «– », что становится возможным ввиду «легких хвостов» нормального распределения (т.е. с малой площадью), которыми можно пренебречь в контексте этой задачи (см. рис. 4.2).

Если заметить, что правая граница b = 152 = m – 2 , можно было найти искомую вероятность геометрически как площадь левого хвоста из известной площади для (m – 2 < < m + 2 ):

P(m – 2 < < m + 2 ) 0,955.

Основные сведения об изучаемых законах сведены в таблицу (см. табл. приложения 5).

4.2. Предельные теоремы теории вероятностей

Во второй половине XIX века в теории вероятностей сформировалось новое направление исследований – предельные теоремы теории вероятностей. Начало было положено нашими соотечественниками П.Л. Чебышевым, А.А. Марковым, А.М. Ляпуновым, и интенсивные исследования в этой области ведутся до сих пор.

Предельные теоремы можно разбить на две большие группы.

Первая группа – закон больших чисел (ЗБЧ) – формулирует условия, при которых совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.

Вторая группа связана с распределением суммы большого числа случайных величин. В частности, центральная предельная теорема (ЦПТ) устанавливает условия, при которых суммы большого числа слагаемых имеют распределение, близкое к нормальному. Существует несколько формулировок ЦПТ. Приведем одну из них.

59

Центральная предельная теорема (ЦПТ) (без доказательства). Пусть 1, 2, …, n – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Если дисперсии случайных величин конечны и отличны от нуля, то при достаточно больших n закон распределения суммы 1 + + 2 + … + n сколь угодно близок к нормальному закону распределения.

В условиях теоремы случайные величины независимы. Полагая

M( 1) = M( 2) =… = M( n) = m, D( 1) = D( 2) =… = D( n) = 2,

согласно свойствам (см. раздел 2) получим:

M( 1 + 2 +…+ n) = M( 1) + M( 2) +… + M( n) = nm; D( 1 + 2 +…+ n) = D( 1) + D( 2) +… + D( n) = n 2.

Тогда схематически ЦПТ можно сформулировать так: 1) 1, 2, …, n – независимые

Следствие. В условиях ЦПТ при росте n значения сумм математических ожиданий и дисперсий возрастают, поэтому удобнее рассматривать не просто суммы случайных величин, а их нормированные суммы и средние значения:

дартизацией величины ( 1 + 2 +…+ n) (см. приложение 2).

60