Математическая обработка результатов измерений. Ч.1. Основы теории погрешностей измерений. Практикум

№ 4096 М И Н И С Т Е РС Т В О Н АУ К И И В ЫС Ш Е ГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ГОРНЫЙ ИНСТИТУТ

Кафедра геологии и маркшейдерского дела

Н.П. Сапронова

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

ЧАСТЬ 1 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ

Практикум

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2020

УДК 622.1:004 С19

Р е ц е н з е н т канд. тех. наук, доц., Е.Н. Есина

(Департамент недропользования и нефтегазового дела Инженерной академии Российского университета дружбы народов)

Сапронова Н.П.

С19 Математическая обработка результатов измерений : Часть 1. Основы теории погрешностей измерений : практикум / Н.П. Сапронова. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2020. – 68 с.

Содержит задания, необходимые для совершенствования знаний и навыков при производстве маркшейдерских измерений. Предусмотрено повариантное выполнение заданий. Приведены краткие методические указания к решению задач, вопросы для самоконтроля.

Предназначен для студентов, обучающихся по направлению подготовки 21.05.04 «Горное дело», по профилю «Маркшейдерское дело».

УДК 622.1:004

Сапронова, Н.П., 2020

НИТУ «МИСиС», 2020

3

ВВЕДЕНИЕ

Учебная дисциплина «Математическая обработка результатов измерений» включена в состав учебного плана (Б1.В.ОД7) по направлению подготовки 21.05.04 «Горное дело» с последующим распределением студентов по профилю «Маркшейдерское дело».

Для освоения учебного материала по дисциплине «Математическая обработка результатов измерений» студентам необходимо опираться на знания и навыки, полученные при изучении следующих учебных дисциплин: «Геодезия», «Маркшейдерское дело», «Информатика», «Инженерная и компьютерная графика» и др.

Дисциплина «Математическая обработка результатов измерений» является базовой для освоения дисциплины «Анализ точности маркшейдерских работ» и ряда других дисциплин, предусмотренных соответствующим учебным планом.

Приобретенные знания, умения и навыки при изучении дисциплины «Математическая обработка результатов измерений» студентам целесообразно использовать при решении задач в процессе прохождения производственных практик, а также при разработке выпускной квалификационной работы.

Целью изучения дисциплины «Математическая обработка результатов измерений» является формирование у студентов знаний и навыков самостоятельного выполнения различных видов маркшейдерских работ, основанных на знании теории погрешностей маркшейдерских измерений, связанных с определением положения и состояния горных выработок, горно-геологических особенностей разрабатываемого месторождения, процессов, возникающих в массиве при ведении горных работ; предусматривающих математическую обработку результатов маркшейдерских измерений с анализом и оценкой их точности.

Первая часть практикума предназначена для студентов, изучающих теорию погрешностей маркшейдерских измерений, являющихся основой большинства видов маркшейдерских работ и имеющих большое практическое значение для дисциплины, направленной на изучение законов возникновения и действия неизбежных погрешностей, сопровождающих любые измерения.

4

При составлении практических заданий использованы материалы коллектива кафедры маркшейдерского дела МГИ НИТУ «МИСиС».

Учебным планом предусмотрено проведение аудиторных занятий (лекционных и практических), а также самостоятельная работа студентов.

На практических занятиях студенты знакомятся с поставленными практическими задачами и после кратких методических указаний приступают к их решению. Самостоятельная работа студентов предусматривает выполнение заданий во внеаудиторное время.

Практические задания выполняются самостоятельно, в соответствии с индивидуальным вариантом. По итогам выполненных работ каждый студент составляет отчет о проделанной работе. К отчету в обязательном порядке на электронном носителе прикладывается проект (группа файлов) в формате разработки (вычисления: *.xls; текст: *.doc, *.pdf; графика: *dxf, *.dwg). Отчет о практических работах выполняется аккуратно, с учетом действующих требований к текстовым документам.

5

Практическая работа 1

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Задание 1. При измерении углов в триангуляции 4-го класса получены невязки суммы углов в треугольниках, значения которых приведены в табл. 1.1. Требуется вычислить среднюю квадратическую погрешность суммы углов в одном треугольнике и оценить точность ее получения, среднюю и вероятную погрешности той же суммы и среднюю квадратическую погрешность одного угла.

Методические указания

1. На основе MS Office Excel создать электронную таблицу для вычислений по форме, приведенной в табл. 1.2, и ввести исходные данные с учетом варианта в соответствующие ячейки.

При решении задачи в ячейки рабочего листа MS Office Excel ввести соответствующие формулы, используя при этом функциональные возможности программы. Формулы можно вводить непосредственно с клавиатуры, а также с помощью вызова «Мастера функций» (рис. 1.1) комбинацией клавиш [Shift+F3].

Рис. 1.1. Вызов команды «Мастер функций»

6

Перечень и краткая справка по использованию функций MS Office Excel приведены в приложении.

Примечание. При необходимости таблицу для вычислений можно расширить, добавив дополнительные строки и (или) столбцы.

2. На основании того, что сумму углов в треугольнике можно рассматривать как измеренную величину, истинное значение которой 180°, невязки треугольников можно считать истинными погрешностями ∆. Необходимо возвести в квадрат значения истинных погрешностей по каждому треугольнику и определить среднюю квадратическую погрешность суммы углов в треугольнике по формуле

3. Из-за ограниченного количества измерений величина m находится с некоторой погрешностью, которая оценивается по формуле

m 2n

4. Просуммировать абсолютные значения истинных погрешностей и определить среднюю погрешность по формуле

5. Средняя погрешность через среднюю квадратическую погрешность определяется по формуле связи:

6. Для определения вероятной погрешности r истинные погрешности следует расположить в ряд в порядке возрастания их абсолютных величин (проранжировать). Тогда член ряда, расположенный в середине, будет представлять собой вероятную погрешность. Если число членов ряда четное и в середине ряда встречается два числа, то за вероятную погрешность принимают среднее из них.

7

Вероятная погрешность через среднюю квадратическую опре-

7. В теоретических расчетах предельную погрешность прини-

Погрешности, превосходящие предельную, следует считать грубыми и исключить из ряда измерений.

8. Среднюю квадратическую погрешность измерения угла в треугольнике вычислить по формуле

9. Для проверки свойств случайных погрешностей можно воспользоваться одним из предложенных вариантов.

Первый вариант предусматривает, что диапазон рассеивания невязок необходимо разбить вправо и влево от нуля на интервалы, равные m, и подсчитать количество невязок, попавших в каждый интервал.

Сопоставить частоту попадания невязок в симметричные относительно 0 интервала. Подсчитать суммарную частоту попадания невязок в каждую пару симметричных интервалов и сравнить их между собой.

Вычислить средние арифметические из 5, 10, 15 … n невязок и, проследив за их изменением, проверить свойство компенсации по сходимости предела:

9

Второй вариант основан на графическом представлении вариационного ряда путем построения гистограммы с помощью команды MS Office Excel, вызов которой возможен во вкладке Вставка Главного меню – Вставить гистограмму… (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Вызов команды «Вставить гистограмму…»

По оси абсцисс необходимо отложить отрезки, пропорциональные интервалу вариационного ряда, в данном случае равные m; по оси ординат – высоты прямоугольников, пропорциональные частотам интервалов, в данном случае равные количеству невязок, попавших в каждый интервал. Затем выполнить анализ представленных результатов измерений.

Степень приближения действительного распределения погрешностей к нормальному можно оценить по отклонению значений m, θ, r, вычисленных по данным измерений и формулам связи.

Задание 2. Длина линии измерена стальной рулеткой 10 раз (табл. 1.3). Эта же длина была измерена светодальномером; данное значение принято за точное (истинное). Требуется оценить влияние систематической погрешности, вычислить среднюю квадратическую погрешность одного измерения, оценить точность вычисления средней квадратической погрешности, определить предельную погрешность, относительную среднюю квадратическую погрешность измерений, а также среднюю и вероятную погрешности.

10