Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математическая обработка результатов измерений. Ч.1. Основы теории погрешностей измерений. Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

545 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Методические указания

1.На основе MS Office Excel создать электронную таблицу для вычислений по форме, приведенной в табл. 1.4, и ввести данные соответствующего варианта. Вычисления выполнить, используя функциональные возможности MS Office Excel.

Примечание. При необходимости таблицу для вычислений можно расширить, добавив дополнительные строки и (или) столбцы.

2.Для оценки систематической погрешности вычислить отклонения:

	εi =l1 −L .	(1.9)
3.	Выполнить оценку систематической погрешности:
	Θ = [ε].	(1.10)
	n
4.	Истинные погрешности вычислить по формуле

∆i =εi −Θ.

(1.11)

5. Среднюю квадратическую погрешность отдельного измерения вычислить по формуле (1.1) и с учетом совместного влияния случайных и систематических погрешностей по формуле

[ε]

m =

−

−Θ .

(1.12)

6.Точность определения средней квадратической погрешности оценить по формуле (1.2).

7.Предельную среднюю квадратическую погрешность вычислить по формуле (1.6).

8.Относительную среднюю квадратическую погрешность вы-

числить по формуле (1.13), принимая во внимание, что l = [nli ] :

f	=	m	=	1	.	(1.13)

отн		l		l:m

Таблица 1.3

Результаты измерения длины линии светодальномером и стальной рулеткой

№ измерений						Варианты результатов измерений l, м
	1	2		3		4	5	6	7			8		9	10	11	12
Точное (истинное)	26,752	88,987		136,117		75,053	54,072	46,156	203,221			34,463		87,106	73,725	42,438	51,913
значение L, м
1	26,753	88,980		136,127		75,065	54,082	46,166	203,238			34,473		87,118	73,737	42,448	51,923
2	26,750	88,988		136,110		75,040	54,061	46,145	203,209			34,452		87,093	73,712	42,427	51,902
3	26,755	88,985		136,118		75,061	54,078	46,162	203,231			34,459		87,114	73,733	42,444	51,919
4	26,748	88,990		136,115		75,054	54,065	46,149	203,214			34,456		87,099	73,718	42,431	51,916
5	26,756	88,983		136,120		75,051	54,073	46,160	203,225			34,467		87,110	73,729	42,441	51,911
6	26,745	88,991		136,113		75,056	54,070	46,157	203,217			34,459		87,102	73,728	42,436	51,914
7	26,758	88,996		136,121		75,049	54,075	46,154	203,222			34,466		87,109	73,723	42,439	51,909
8	26,741	88,974		136,099		75,057	54,068	46,159	203,219			34,464		87,104	73,726	42,434	51,917
9	26,762	88,999		136,134		75,046	54,076	46,152	203,224			34,461		87,107	73,721	42,442	51,906
10	26,752	88,987		136,117		75,053	54,072	46,156	203,221			34,463		87,106	73,725	42,438	51,912

№ измерений						Варианты результатов измерений l, м
№ измерений	13		14		15	16	17	18		19	20		21		22	23
	13		14		15	16	17	18		19	20		21		22	23
Точное (истинное)	114,447		41,126		175,288	47,336	35,475	113,554		38,646	25,723		106,834		63,987	21,173
значение L, м
1	114,457		41,122		175,291	47,334	35,476	113,550		38,650	25,733		106,851		63,999	21,183
2	114,453		41,129		175,286	47,337	35,473	113,555		38,642	25,712		106,816		63,974	21,162
3	114,450		41,124		175,289	47,339	35,478	113,552		38,647	25,729		106,844		63,996	21,179
4	114,445		41,127		175,284	47,332	35,471	113,557		38,644	25,724		106,827		63,980	21,166
5	114,448		41,130		175,292	47,340	35,479	113,558		38,649	25,721		106,835		63,991	21,117
6	114,443		41,119		175,281	47,329	35,468	113,547		38,639	25,726		106,832		63,988	21,169
7	114,451		41,132		175,298	47,342	35,481	113,564		38,652	25,719		106,837		63,985	21,173
8	114,440		41,115		175,270	47,325	35,464	113,536		38,635	25,727		106,830		63,990	21,171
9	114,436		41,136		175,301	47,346	35,481	113,571		38,656	25,716		106,838		63,983	21,176
10	114,445		41,123		175,286	47,335	35,474	113,551		38,646	25,722		106,834		63,986	21,173

				Таблица 1.4
	Форма для создания таблицы вычислений

№ изме-	Результат из-	Истинная по-	Квадрат истинной	Формулы
рения	мерения li, м	грешность ∆, мм	погрешности, ∆2
1	2	3	4	5

1
2

…

Сумма:

9.Среднюю и вероятную погрешности вычислить по формулам (1.3), (1.4) и (1.5) соответственно.

10.Оценить значимость влияния на результаты измерений величины систематической погрешности по формуле

Θ≤t	m		.	(1.14)

		n

Задание 3. Для нахождения наиболее надежного значения измеренного горизонтального угла и оценки его точности данный угол измерен многократно в одинаковых условиях. Результаты измерений приведены в табл. 1.5. Значения угла принять в соответствии с вариантом задания: 72°10′**, *″, где * – номер варианта. Требуется выполнить математическую обработку результатов равноточных независимых измерений.

Методические указания

1.На основе MS Office Excel создать электронную таблицу для вычислений по форме, приведенной в табл. 1.6, и ввести данные соответствующего варианта. Вычисления выполнить, используя функциональные возможности MS Office Excel.

2.Вычислить наиболее надежное (вероятнейшее) значение измеряемой величины, которым является среднее арифметическое (арифметическая середина):

a =	[li ]	=l +	[εi	]	(1.15)
a =		=l +			(1.15)
0	n	0	n
	n		n

где l0 – приближенное значение результата измерений, близкое к арифметической середине. В качестве l0 рекомендуется выбирать наименьший результат из ряда измерений;

εi – уклонение измерений от наименьшего результата l0 = lmin, определяется как

εi =li −l0 .

(1.16)

3. Вычислить уклонения каждого измерения от среднего арифметического:

ui =li −a0

(1.17)

4. Выполнить контроль вычисленных значений среднего арифметического и уклонений:

	[u]=0 .			(1.18)
5. Выполнить контроль величины [u2] по формуле
u2	= ε2	−	[ε]2 .	(1.19)
			n

6. Вычислить среднюю квадратическую погрешность отдель-


ного измерения по формуле Бесселя:

		2
m =		u	.	(1.20)
m =			.	(1.20)
	n −1

7. Вычислить среднюю квадратическую погрешность по фор-

муле Петерса:
	1,253		u
	1,253		u
m =				.	(1.21)

		n −0,5
		n −0,5

8. Определить надежность средней квадратической погрешности отдельного результата измерений:

mm =		m	.	(1.22)


	2(n −1)
	2(n −1)

Таблица 1.5

			Результаты измерений горизонтального угла 72°10′*, ″

	№ приема					Варианты результатов измерений, ″
	№ приема
		1	2	3	4		5	6	7	8	9	10	11	12

	1	10,3	12,4	13,9	14,7		14,3	15,3	16,8	17,4	19,8	19,0	21,0	21,6

	2	10,6	12,5	13,4	13,8		13,8	15,6	17,5	18,1	18,6	19,7	20,4	22,2

	3	10,1	11,8	11,8	13,5		15,5	15,1	16,4	18,3	19,2	19,4	20,8	21,4

	4	11,1	11,9	13,5	14,5		14,8	16,1	17,2	17,3	18,8	21,0	21,1	23,3

	5	11,6	12,0	13,6	14,3		14,7	16,6	17,3	17,8	19,2	20,1	20,5	21,9

	6	11,1	11,2	13,6	13,2		14,8	16,1	17,1	17,6	18,8	20,6	21,5	21,4

	7	11,9	11,3	12,7	13,6		16,3	16,9	16,3	19,0	19,7	20,5	21,7	23,2

	8	11,3	12,2	13,3	15,0		15,7	16,3	16,8	19,2	19,1	20,7	21,2	20,7

	9	10,9	13,0	12,4	14,1		15,0	15,9	17,7	17,5	18,7	19,3	21,9	22,0

	10	11,1	11,8	11,9	13,2		15,0	16,1	17,0	17,9	18,1	19,6	20,1	22,1


	№ приема				Варианты результатов измерений, ″
	№ приема
		13	14	15	16		17	18	19	20	21	22	23

	1	22,5	24,1	25,1	26,0		26,9	26,6	29,0	29,6	31,5	31,7	33,5

	2	22,6	24,6	24,6	26,0		25,6	29,2	28,5	30,8	31,1	31,4	31,5

	3	23,3	24,0	23,9	25,9		27,6	28,1	28,1	31,5	32,1	32,3	33,1

	4	22,2	25,3	24,9	26,6		27,7	27,5	30,4	30,0	30,3	31,7	34,4

	5	23,2	23,9	24,3	26,9		26,5	27,2	29,6	30,2	30,4	33,1	34,3

	6	22,9	25,1	25,8	25,8		27,0	29,5	29,1	29,6	30,8	30,7	32,6

	7	23,4	23,0	25,2	25,3		26,7	28,4	31,2	29,3	30,5	31,6	33,2

	8	23,1	23,4	25,0	26,3		28,3	28,3	27,3	29,1	30,5	32,0	32,4

	9	23,0	23,3	25,4	24,8		27,3	27,8	28,4	29,4	31,8	33,1	32,5

15	10	23,7	23,4	25,6	26,1		26,5	27,4	28,4	30,6	31,2	32,3	32,6
15

							Таблица 1.6
	Форма для создания таблицы вычислений

№ при-	Результат	Уклонения от		Уклонения от средне-		ε u
ема	измере-	наименьшего		го арифметического		ε u	Формулы
ема	ния, li″	ε	ε2	u	u2
	ния, li″	ε	ε2	u	u2
1	2	3	4	5	6	7	8
1
2
…
Сумма:

9. Вычислить среднюю квадратическую погрешность средне-

го арифметического:

	m				2
M =	m		=	u		.	(1.23)
M =			=			.	(1.23)
		n		n(n −1)

10. Определить надежность средней квадратической погреш-

ности среднего арифметического:
m	=		M	.	(1.24)

M		2(n −1)

Практическая работа 2

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ФУНКЦИЙ НЕЗАВИСИМЫХ ИЗМЕРЕННЫХ ВЕЛИЧИН

Методические указания

В маркшейдерской практике часто значения величин (например, приращений координат, площадей, превышений и пр.) находят косвенным путем, т.е. по результатам непосредственных измерений углов, линий и др.

Так как значения измеряемых величин (аргументы) сопровождаются случайными погрешностями, то и результаты косвенных определений как функции этих аргументов будут иметь погрешности. В данном случае величина средней квадратической погрешности функции непосредственно измеренной величины зависит не только от погрешностей непосредственно измеренных величин (аргументов), но и от вида функции, связывающей их.

Средняя квадратическая погрешность функции общего вида y = f(x1, x2, ..., xn), аргументы которой x1, x2, ..., xn независимо измерены со средними квадратическими погрешностями m1, m2,

..., mn, определяется из выражения

= ±

m2 +

+...+

(2.1)

1 d

где

– частные производные данной функции, вы-

численные для соответствующих значений аргументов.

Другие функции можно рассматривать как частные случаи функции общего вида.

Рассмотрим простейшие функции измеренных величин.

1. Алгебраическая сумма измеренных величин

y =a ± b ± c ± ... ± q ,

причем a, b, c ..., q определены со средними квадратическими погрешностями ma, mb + ... +mq :

m2	=m2		+m2		+ ... +m2		;	(2.2)
y		a		b		q

m =		m2		+m2		+ ... +m2 .		(2.3)
y		a		b		q

Частный случай.

Если в формулах ma =mb =... =mq =m , то при числе слагаемых, равном n:

my =m

(2.4)

2. Произведение двух независимых величин и произведение постоянного числа на измеренную величину

y = a z,

где величины определены соответственно с погрешностями ma и mz:

m2	=a2m2	+z2m2 .	(2.5)
y	z	a

Для произведения постоянного числа k на измеренную величину а, т.е. y = k a:

my =k ma .

(2.6)

3. Линейная функция общего вида

y =k1x1 +k2x2 + ... +knxn ,

(2.7)

где x1, x2, …, xn – независимые величины (аргументы), измеренные с погрешностями m1, m2,mn; k1, k2,…, kn – коэффициенты.

m2	=k2m2		+k2m2	+...+k2m2	(2.8)
y	1 1		2 2	n n
или

m =		k2m2 +k2m2 + ... +k2m2 .			(2.9)
y	1 1		2 2	n n

Приведен пример решения задачи 1.

Задача 1 (Пример). Сторона а треугольника определена по теореме синусов по значению стороны b и двум углам треугольника A и B.

Известно:

b = 146,41 м (db – относительная погрешность стороны b = 1/3000);

A = 58°09,2′ (mA = ±0,5′); B = 68°55,6′ (mB = ±0,3′).

Необходимо определить СКП стороны a (ma).

Решение.

Вычисление стороны a производится по формуле a =b sinsin BA .

Запишем члены подкоренного выражения для СКП параметра a:

–– для аргумента b: (mb sin A /sin B)2 ;

–– для аргумента A : (bmA cos A /r′sin B)2 ,

где r′ = 3438 (число минут в радиане; для выражения угловой

меры СКП угла в меру радианную);

–– для аргумента B: (bm sin A cosB/r′sin2 B)2 .

Следовательно:

mb sin A 2

mAbcos A 2

mBbsin A cosB 2

ma =±

sin B

r′sin B

′

r sin

После подстановки значений аргумента получим ma = ±0,05 м.

Задание 1. Решите следующие задачи.

Задача 2. Углы α и β треугольника измерены со средними квадратическими погрешностями mα = ±6,8″; mb = ±7,3″. Необходимо определить среднюю квадратическую погрешность третьего угла γ, вычисленного по двум измеренным углам.

Задача 3. Измерены две линии: а = 205,00 м со средней квадратической погрешностью ±5,3 см; b = 178,30 м со средней квадратической погрешностью ±3,2 см.

Определите, с какой точностью будут вычислены расстояния, равные сумме двух линий и их разности.

Задача 4. Угол измерен двумя полуприемами, в результате чего получены значения угла βКЛ и βКП. Средняя квадратическая погрешность измерения угла в полуприеме 1′, то есть mβ′КЛ =mβ′КЛ =1′. Требуется определить среднюю квадратическую погрешность mβ угла, измеренного полным приемом.

Задача 5. Длины сторон a = 85,32 м и b = 76,52 м земельного участка прямоугольной формы измерены с относительной погрешностью fотн = 1:2000. Найдите абсолютную и относительную средние квадратические погрешности определения площади участка.

Задача 6. Сторона квадрата a = 45,00 м измерена со средней квадратической погрешностью ma = ±0,02 м. Определите среднюю квадратическую погрешность площади квадрата в абсолютных и относительных величинах.

Задача 7. Задана средняя квадратическая погрешность определения объема камеры mV = ±20 м3. Найдите, с какой точностью необходимо измерять длину a ≈ 25 м, ширину b ≈ 15 м и высоту h ≈ 5 м камеры.

Задача 8. Найдите средние квадратические погрешности приращений координат, если известны длина линии S = 58,00 м и дирекционный угол α = 32°30′.

Задача 9. Определите среднюю квадратическую погрешность в превышении, вычисленном по формуле h =Stgν , если S = 98,132 м 1/3000 и n = +12°30,0′ ± 0,17′.

Задача 10. В результате тригонометрического нивелирования измерены следующие величины: наклонная длина l = 58,753 м ±10 мм; угол наклона d = 28° 12′ 30″ ± 30″; высота сигнала i = 0,621 м ±2 мм; высота инструмента v = 0,854 м ±2 мм. Необходимо определить среднюю квадратическую погрешность превышения.

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]