Математическая статистика и анализ данных. Учебное пособие

Определение 3. Мощностью статистического критерия называется величина 1 – (т.е. вероятность принять верную гипотезу H1).

Чем больше эта величина при заданном значении , тем мощнее критерий.

(*2) продолжение. В случае если к подсудимому будут применяться разные критерии оценки его действий, мощнее будет тот критерий, который будет с большей вероятностью осуждать виновного.

7.3. Проверка параметрических гипотез. Случай одной выборки

а) Проверка гипотезы о значении математического ожидания при известной дисперсии. Пусть X ~ N(m, 2), причем параметр m неизвестен, а параметр 2 известен.

Рассмотрим алгоритм.

1. Проверяется гипотеза H0: M(X) = m0 против H1: M(X) > m0.

2.Выбирается уровень значимости .

3.В качестве статистики критерия выбираем выборочное среднее X , которое, как известно, является хорошей оцен-

кой для математического ожидания M(X). Тогда согласно формулам из подраздела 7.1 имеем

z = X m0 ~ N(0, 1).

/ n

Рассчитаем по выборке эту величину zрасч = X m0 .

/ n

4. Определим критическую область W0.

Ясно, что если верна гипотеза H0, то X мало отличается от m0. Если же верна альтернативная гипотеза H1, то X существенно больше m0. Отсюда следует, что критическая область будет правосторонней (рис. 7.5).

101

– Į Į

Рис. 7.5

5. Найдем такое критическое значение zкр по таблице Лапласа, что P(z < zкр) = , т.е. такое, что (zкр) = 12 .

Если zрасч > zкр, т.е. zрасч попадает в критическую область W0, то основная гипотеза H0 отвергается в пользу аль-

тернативной гипотезы H1.

Если zрасч < zкр, т.е. zрасч не попадает в критическую область W0, то основная гипотеза H0 принимается.

Замечание.

1. Если H1: M(X) < m0, то критическая область левосторонняя (рис. 7.6) и (zкр) = 12 .

Į– Į

ízɤɪ 0

Рис. 7.6

102

Если zрасч < – zкр, т.е. zрасч попадает в критическую область W0, то основная гипотеза H0 отвергается в пользу аль-

тернативной гипотезы H1.

Если zрасч > – zкр, т.е. zрасч не попадает в критическую область W0, то основная гипотеза H0 принимается.

2. Если H1: M(X) m0 , то критическая область двусто-

Рис. 7.7

Если |zрасч| > zкр, т.е. zрасч попадает в критическую область W0, то основная гипотеза H0 отвергается в пользу аль-

тернативной гипотезы H1.

Если |zрасч| < zкр, т.е. zрасч не попадает в критическую область W0, то основная гипотеза H0 принимается.

б) Проверка гипотезы о значении математического ожидания при неизвестной дисперсии (рис. 7.8). Алгоритм проверки остается прежним. Но, как описано в подразделе 7.1, имеется

следующее распределение статистики: t = X m0 ~ tn–1. s/ n

Рис. 7.8

103

Рассчитаем по выборке эту величину tрасч = X m0 . s/ n

Для критического значения будем использовать таблицу Стьюдента с (n – 1) степенью свободы следующим образом:

H1: M(X) > m0 или H1: M(X) < m0, находим tкр = t ; H1: M(X) m0, находим tкр = t /2.

в) Проверка гипотезы о значении дисперсии. Пусть X ~ ~ N(m, 2), причем параметры m и 2 неизвестны. Рассмотрим алгоритм.

1. Проверяется гипотеза H0: D(X) = 02 против H1: D(X) > 02.

2.Выбираем уровень значимости .

3.В качестве статистики критерия выбираем выбороч-

ную дисперсию s2 , которая, как известно, является хорошей оценкой для дисперсии D X . Тогда согласно формулам

Ȥɤɪ

Рис. 7.9

104

Ясно, что если верна гипотеза H0, то s2 мало отличается от 02. Если же верна альтернативная гипотеза H1, то s2 существенно больше 02. Отсюда следует, что критическая область будет правосторонней (рис. 7.9).

Найдем критическое значение 2кр по таблице Пирсона 2- распределения с (n – 1) степенью свободы, что P 2 2кр = .

Если 2расч 2кр , т.е. 2расч попадает в критическую область W0, то основная гипотеза H0 отвергается в пользу аль-

тернативной гипотезы H1.

Если 2расч 2кр , т.е. 2расч не попадает в критическую область W0, то основная гипотеза H0 принимается.

Į – Į

Ȥɤɪ2

Рис. 7.10

105

(см. подразделы 7.1 и 6.2). Рассчитаем по выборке величину

k p0

zрасч = np0q0 ,

n

где q0 = 1 – p0, и воспользуемся результатами описанного в п. а) алгоритма.

(*3) Рассмотрим задачу с массой пачек чая, поставленную в начале раздела. Пусть имеется выборка объема n = 25, выборочное среднее их массы составляет x 98 г, исправленная выборочная дисперсия s2 = 25 г2. На уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу, что масса пачек чая соответствует эталону m0 = 100 г, если известно, что данные масс этих пачек чая хорошо описываются нормальным законом

107

Так как tрасч > – tкр (рис. 7.12), то основная гипотеза H0 принимается на уровне значимости = 0,05.

Ответ: разница в 1 г выборочной массы пачек чая относительно эталона признается статистически незначимой на уровне = 0,05, т.е. обусловлена случайностью выборки.

Формульные итоги проверки параметрических гипотез для одной выборки сведены в табл. 7.1.

Контрольные вопросы

1.Какая статистическая гипотеза называется параметрической?

2.Приведите пример, когда параметрическая гипотеза проверяется для одной выборки.

3.Пусть H0: пациент болен ковидом, H1: у пациента не ковид. Назовите, что будет служить в этом случае ошибкой первого рода, второго рода?

4.Что происходит с вероятностью ошибки второго рода, когда снижается вероятность ошибки первого рода?

5.Придумайте, как снизить ошибку второго рода в примере вопроса 3 без изменения вероятности ошибки первого рода.

6.Дайте определение мощности статистического критерия.

7.Какие выборки могут попадать в критическую область?

8.Каких видов бывают критические области? От чего зависит их вид?

109

9.В каком случае при проверке гипотезы о равенстве математического ожидания эталону применяется закон Стьюдента, нормальный закон?

10.Пусть имеется выборка из нормального закона: n =

=16, x 10, s2 = 1, = 0,05. Критическая область при про-

верке гипотезы правосторонняя. Найдите zкр и tкр, сравните. Какая статистика в этом случае правильная? Для неправильной статистики критическое значение получилось меньше или больше? Чем это расхождение можно объяснить?

11.Верно ли, что z-статистика может принимать как по-

ложительные, так и отрицательные значения, t-статистика,2-статистика?

12.Как на практике можно поступить в случае, если критическое значение статистики совпадет с расчетным при проверке параметрической гипотезы для одной выборки?

110