Математическая статистика и анализ данных. Учебное пособие

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Заметим, что A + B = A + A B и B = AB + A B. Это несложно понять, изобразив графические диаграммы. События A и

A B несовместны, так же как и события AB и A B. Поэтому из свойств вероятности вытекает:

P(A + B) = P(A) + P( A B);

P(B) = P(AB) + P( A B).

AB A

Рис. 1.5

Выражая из последнего равенства P( A B) и подставляя в первое равенство, получаем утверждение теоремы.

Следствие. Для трех случайных событий формула примет вид

P(A + B +C) = P(A) + P(B) +

+ P(C) – P(AB) – P(BC) – P(AC) + P(ABC).

Доказательство следует из теоремы 1 и свойств операций над событиями после введения обозначения A + B = D.

21

Теорема 2 (теорема умножения вероятностей).

A и B – случайные события P(A·B) = P(A) · P(B|A).

Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного события, умноженной на вероятность другого события, вычисленную при условии, что первое событие произошло.

Доказательство следует из определения 8 условной вероятности.

Из теорем сложения и умножения вытекают важные формулы теории вероятностей: формула полной вероятности, формула Байеса, формула Бернулли (см. приложение 1).

В практических вопросах для определения независимости редко используют проверку выполнения равенства P(AB) = P(A) · P(B), обычно пользуются интуитивными соображениями, основанными на опыте. Но важно понимать, что независимость в вероятностном смысле не диктует причинную независимость.

Контрольные вопросы

1.Какие события изучает теория вероятностей?

2.Какое событие называется элементарным? Могут ли два элементарных исхода одновременно случиться в опыте?

3.Что такое достоверное событие, невозможное событие?

4.Монету подбрасывают трижды. Перечислите все элементарные исходы эксперимента.

5.Запишите событие, состоящее в том, что из событий A, B, C произошло хотя бы одно.

6.Запишите событие, состоящее в том, что из событий A, B, C не произошло ни одного.

7.Запишите событие, состоящее в том, что из событий A, B, C произошло ровно два.

8.Когда два случайных события несовместны?

9.Могут ли два несовместных события быть независимыми?

22

10.Приведите пример несовместных событий, которые зависимы. Приведите пример двух независимых событий, которые совместны.

11.Каких значений не может принимать вероятность?

12.Что такое нормированность вероятности, неотрицательность, аддитивность?

13.Чему равна вероятность достоверного события, невозможного? Как связаны вероятности прямого и противоположного событий?

14.Что больше: вероятность суммы событий или сумма вероятностей?

15.Какие условия должны выполняться для применения классического, геометрического подходов расчета вероятностей?

23

РАЗДЕЛ 2 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Все, что познается, имеет число, ибо невозможно ни понять ничего, ни познать без него.

Пифагор

1.Каждый элементарный исход опыта можно заменить действительным числом и работать только с числами, построив случайную величину.

2.Случайная величина служит количественной «оценкой» эксперимента.

3.В зависимости от значений случайной величины она может быть дискретной или непрерывной. Несмотря на это существует общий способ ее задания с помощью функции распределения.

4.У случайной величины как функции от элементарных исходов можно находить числовые показатели, которые позволяют охарактеризовать ее.

5.В практических задачах часто приходится иметь дело не с одной, а с несколькими взаимосвязанными случайными

величинами (например, набором показателей, характеризующих здоровье человека). Набор 1, 2, …, n из нескольких случайных величин называют случайным вектором (много-

мерной случайной величиной).

2.1.Понятие случайной величины

Скаждым случайным экспериментом связано множество его возможных исходов: = { 1, 2, …, n} – пространство элементарных исходов. Обычно интерес представляют не сами

исходы, а некоторые их числовые характеристики, т.е. экспериментатор обычно не просто наблюдает, а замеряет ка-

кой-либо результат эксперимента. Итак, каждый случайный эксперимент завершается элементарным исходом . Пусть итогом этого случайного эксперимента служит число ( ).

24

Определение 1. Случайной величиной называется числовая функция от элементарного исхода , заданная на пространстве элементарных исходов :

= ( ),

где .

Можно сказать, что случайная величина есть проекция пространства на подмножество действительных чисел.

(*1) Эксперимент: трехкратное подбрасывание монеты. Пусть = {число выпавших «решек»}. Эту случайную ве-

личину можно описать следующей таблицей:

Заметим, что значение «2» в таблице может появляться чаще, чем значение «3» или «1». Поэтому, чтобы задать случайную величину, нужно знать не только значения, которые она принимает, но и вероятности этих значений. Для данного примера (расчет вероятностей ведется по формуле Бернулли):

Определение 2. Всякое соотношение, устанавливающее связь между всеми возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется

законом случайной величины.

Если такой закон задан, то считается, что случайная величина описана полностью.

Определение 3. Случайная величина называется дискретной (ДСВ), если множество ее возможных значений конечно или счетно, т.е. эти значения можно занумеровать с помощью ряда натуральных чисел.

25

(*2) Эксперимент: проведение лотереи в телепередаче «Орел или решка», сезон включает четыре передачи. Случайными событиями, например, служат: {ведущий выиграл только в первый раз}, {ведущая выиграла в двух последних передачах}, ….

Случайную величину, связанную с этими случайными событиями, можно составить следующую:

( ) = {число выигрышей ведущей в сезоне из четырех передач}.

Несложно понять, что ( ) может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4.

Определение 4. Случайная величина называется непрерывной (НСВ), если множество ее возможных значений составляет целый промежуток (конечный или бесконечный). Это определение не является строгим, оно будет уточнено далее.

(*3) Эксперимент: проводятся измерения роста случайно взятого человека. Случайными событиями, например, служат:

{рост человека больше 165 см}, {рост человека от 180 см до 190 см}, ….

Случайная величина, связанная с этими случайными событиями:

( ) = {рост случайно выбранного человека}.

Несложно понять, что ( ) может принимать значения из целого конечного промежутка.

Рост, вес, время меняются непрерывно.

Как можно задать случайные величины (ДСВ и НСВ)?

Определение 5. Для ДСВ закон распределения называется рядом распределения.

26

Характеристическое свойство ряда распределения ДСВ:

n

pi 1 .

i 1

Ряд распределения можно изобразить графически. Для этого в каждой точке xi на горизонтальной оси откладывают соответствующую вероятность pi (рис. 2.1). Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

p

Рис. 2.1

Но построение ряда распределения возможно только для ДСВ, так как только для нее можно перечислить все возможные значения. Для НСВ это неприемлемо из-за несчетности множества возможных значений.

Каков же общий способ задания случайных величин?

Такой способ существует, если рассматривать не вероятности отдельных значений, а вероятности попадания в интервал, так как вероятность принять одно конкретное значение для НСВ заведомо равна нулю. Введем функцию распределения случайной величины как общий способ ее задания.

Определение 6. Функцией распределения случайной величины называется функция

F(x) = P( < x), x R.

Эта функция задает для каждого значения x вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение меньше x. Общий вид графика функции распределения представлен на рис. 2.2.

27

Рис. 2.2

Свойства функции распределения приведены ниже.

1 0 F(x) 1. Это следует из того, что функция распределения есть вероятность, границы изменения которой, со-

{ < – } и { > + } являются невозможным и достоверным соответственно.

2 F(x) – неубывающая функция.

Действительно, если x1 < x2, то появление события < x2 эквивалентно одному из двух несовместных событий: < x1 и x1 < x2. Поэтому

F(x2) = P( < x2) =

= P( < x1) + P(x1 < x2) P( < x1) = F(x1).

Таким образом, для x1 < x2 получили F(x2) F(x1), т.е. F(x) – неубывающая функция.

4 Для любого x, согласно формуле (2.1), получаем

28

Если предел справа равен нулю, то x – точка непрерывности функции F(x). Если же x – точка разрыва функции F(x), то предел в правой части равен скачку этой функции в точке x.

Значит, для точки x непрерывности функции F(x) имеем

P(x1 < x2) = P(x1 < < x2) = F(x2) – F(x1).

Определение 4*. Непрерывной случайной величиной будем называть только случайную величину с непрерывной функцией распределения.

Определение 7. Если для НСВ функция распределения

подынтегральную функцию f(x) называют плотностью распределения. Значит, f(x) = F (x).

Выразим для такой НСВ вероятность попадания ее значений в интервал, используя формулу Ньютона – Лейбница:

Геометрически это означает, что вероятность попадания НСВ в интервал (a, b) численно равна площади, которая опирается на этот интервал и ограничена сверху кривой f(x) (рис. 2.3).

Свойства функции плотности распределения:

1 f(x) 0 (как производная от неубывающей функции);

2 f x dx = 1 (условие нормировки). Геометрически это

означает, что площадь, заключенная между осью абсцисс и графиком плотности распределения, равна единице.

29

f x

3a ȟ b )b – )a

Рис. 2.3

(*3) Эксперимент: трижды подбрасывается правильная монета. Рассмотрим ДСВ = {число выпавших решек}. В (*1) для был составлен следующий ряд распределения:

Составим для случайной величины функцию распределения и изобразим ее график.

По определению 6 функция распределения F(x) = P( <

<x), x R. Заметим, к примеру, что для x = 1 эта функция меньше, чем для x = 3, так как {F(x = 1) = P( < 1) = 1/8} <

<{F(x = 3) = P( < 3) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8}. Тогда необходимо разбить множество всех x R на промежутки точками

так, что, переходя через них функция распределения будет

меняться. Очевидно, что эти точки соответствуют значениям случайной величины :

1)x 0, тогда F(x) = 0, так как не принимает значения меньше нуля;

2)0 < x 1, тогда F(x) = 1/8, так как в этом случае

0 x 1

{ < x} { = 0};

3) 1 < x 2, тогда F(x) = 1/8 + 3/8 = 1/2, так как

30