Математическая статистика и анализ данных. Учебное пособие

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК. ПЕРВИЧНЫЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ

П3.1. Метод моментов и метод максимального правдоподобия

Рассмотрим метод моментов.

Определение 1. Начальным моментом k-го порядка μk

случайной величины X называется математическое ожидание k-й степени X: μk = M(Xk).

Заметим, что μ1 = M(X), μ2 = M(X 2) = D(X) +(MX)2.

Определение 2. Центральным моментом k-го порядка

0k случайной величины X называется 0k = M(X – MX)k. Заметим, что 10 0, 20 M X MX 2 = D(X).

Таким образом, если закон распределения случайной величины зависит от некоторых параметров, то от этих параметров зависят и ее моменты.

Метод моментов был предложен Карлом Пирсоном. Пусть проделано n наблюдений (x1, x2, …, xn) над случайной величиной X. Пусть известен вид закона распределения, но не известны его параметры. Для их оценки приравнивают выборочные моменты к соответствующим им теоретическим, причем число уравнений соответствует числу неизвестных параметров. Из полученной системы определяются искомые оценки.

(*1) Найти оценку параметра показательного закона распределения по методу моментов.

Для показательного закона функция плотности имеет вид

151

Так как неизвестен один параметр, то достаточно рассмотреть теоретический и выборочный начальные моменты 1-го

Так как неизвестны два параметра, то рассматриваются два момента, причем для этого случая удобно взять первый начальный и второй центральный моменты:

Решая систему, находим оценки параметров:

mˆ x ; ˆ = s.

С методом максимального правдоподобия можно ознакомиться в учебниках, указанных в основном списке литературы.

Замечание. Метод моментов является самым простым. Оценки параметров, полученные разными методами, могут различаться. При этом метод максимального правдоподобия дает эффективные оценки параметров, если такие для оцениваемых параметров существуют.

П3.2. Систематизация и начальная обработка данных

При систематизации данных необходимо учитывать, дискретные они или непрерывные. Далее рассмотрим два примера систематизации для ДСВ и НСВ.

152

(*3) Проведено исследование посещаемости популярного интернет-сайта в течение обеденного часа (за год).

Пусть X = {число посетителей сайта в обеденный час} – –ДСВ.

1.Ранжирование (упорядочение данных по не убыванию).

2.Составление вариационного ряда по данным выборки. Данные собираются в таблицу по возрастанию значений

xi встречаемого признака с частотами ni:

Объем выборки n = ni = 365.

3. Составление полигона частот. По оси абсцисс отмечаются значения xi, а по оси ординат – частоты ni или nni для

полигона относительных частот, который служит аналогом многоугольника распределения случайной величины. Для полноты исследования также можно построить график выборочной функции распределения.

153

Рассчитываются выборочные характеристики:

(*4) Измерена масса 22 шоколадных батончиков партии. Пусть X = {масса шоколадного батончика, г} – НСВ.

1. Ранжирование (упорядочение данных по неубыванию):

по данным выборки.

Данные группируются в интервалы равной длины. Это делается для того, чтобы собрать близкие данные в группы, в которых они будут считаться «одинаковыми» для дальнейшей их обработки. Если же этого не сделать, то полигон частот по построенной выборке не даст понимания их строения из-за сильной изменчивости данных НСВ.

а) Рассчитывается число интервалов по формуле Стерджеса:

k log2 n + 1.

Данная формула носит рекомендованный характер. В нашем случае

k log2 22 + 1 5.

Так как log2 22 не является натуральным числом, то число интервалов k может быть выбрано как 5, так и 6, но нечетное число интервалов чаще предпочтительнее.

б) Рассчитывается длина интервала

h xmax xmin .

k

154

Округление всегда осуществляется в бо\льшую сторону, чтобы гарантировать накрытие всех данных полученным числом интервалов. В нашей задаче

в) Данные собираются в таблицу по интервалам с указанием частот ni. При этом от самого малого числа можно сделать небольшой отступ влево (но так, чтобы последний интервал накрыл наибольшее число выборки).

3. Составление гистограммы. По оси абсцисс отмечаются интервалы, на которых строятся прямоугольники такой высоты, чтобы площадь всех прямоугольников равнялась 1,

т.е. ni (см. рис.). График выборочной функции распреде- n h

ления строится по принципу накопления интервальных частот и называется кумулятой (рис. П3.2, б).

155

4. Рассчитываются выборочные характеристики (при этом берутся не сами первоначальные данные, а середины их интервалов xi0 ):

Замечание. Если выборка для дискретных данных велика, то часто систематизация данных делается как для непрерывного случая.

156

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. СТАТИСТИКИ И ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ НЕКОТОРЫХ

РАСПРЕДЕЛЕНИЙ В EXCEL

157

ПРИЛОЖЕНИЕ 5. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

158