Математическая статистика и анализ данных. Учебное пособие

4) 2 < x 3, тогда F(x) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8, так как

5) x > 3, тогда F(x) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1, так как

x 3

{ < x} { = 0; 1; 2; 3},

т.е. событие обязательно произойдет.

0, если x 0,

0,125, если 0 x 1,

F x 0,5, если 1 x 2,

0,975, если 2 x 3,

1, если x 3.

Заметим, что функция распределения имеет разрывы в точках 0, 1, 2 и 3 – именно в тех точках, где принимает значения с ненулевой вероятностью.

31

Свойство функции распределения ДСВ. Функция распределения ДСВ растет только в точках разрыва, в каждой точке = xi с ненулевой вероятностью она имеет скачок величиной pi.

2.2. Системы случайных величин. Независимые случайные величины

С каждым случайным экспериментом может быть связано несколько случайных величин. Например, с самочувствием человека может быть связан не только показатель артериального давления, но и температура, частота сердечных сокращений... В подобном случае принято говорить о системе случайных величин или о случайном векторе.

Для системы двух ДСВ ( , ) распределение можно задать в виде табл. 2.1, в которой перечисляются пары возможных значений (x, y) и их вероятности.

Таблица 2.1

Распределение дискретной двумерной случайной величины

32

Определение 8. Функцией распределения системы двух случайных величин и называется вероятность совместного выполнения неравенств < x и < y, рассматриваемая как функция переменных x и y, т.е.

F(x, y) = P( < x; < y), x, y R.

Определение 9. Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какое значение приняла другая случайная величина.

Теорема (без доказательства). Для того чтобы случайные величины и были независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы ( , ) была равна произведению функций распределения величин и , т.е.

F(x, y) = F1(x) · F2(y).

Следствие. Случайные величины и были независимы тогда и только тогда, когда плотность вероятности / вероятность системы ( , ) равна произведению плотностей вероятности/вероятностей каждой из величин.

(*4) Эксперимент: подбрасывают две монеты достоинствами 5 и 10 руб.

Пусть = {число орлов}, = {сумма выпавших цифр}. Составить таблицу распределения. Выяснить, зависимы эти случайные величины или нет.

33

p12 = P( = 0, = 0) = 0, p13 = P( = 0, = 5) = 0, p14 = = P( = 0, = 10) = 0, так как отсутствие орлов влечет появ-

ление всех цифр, вследствие чего сумма цифр заведомо может быть равной только 15.

Тогда p11 = P( = 0, = 15) = P( = 0) = ¼. Аналогично можно рассчитать оставшиеся вероятности, представлен-

ные в табл. 2.2. Заметим, что, составляя такую таблицу, мы получаем ряд распределения отдельно для случайной величины , вероятности которой стоят в правом столбце, и для случайной величины , вероятности которой располагаются в нижней строке таблицы (в этом случае говорят о маргинальных распределениях).

Несложно увидеть, к примеру, что

0 1/4 1/4

P 0, 5 P 0 P 5 .

Так как найден случай, когда равенство не выполняется, случайные величины и следует признать зависимыми.

2.3. Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения случайной величины дает исчерпывающую информацию о случайной величине. Но часто этого недостаточно. Например, можно указать закон распределения осадков, но в первую очередь нас будут интересовать некоторые числовые показатели, т.е. числовые характеристики. Наиболее важными служат показатели среднего и рассеяния.

Определение 10. Математическим ожиданием ДСВ

(или ее средним значением) называется число

M( ) = M = xk pk .

k

Если ДСВ имеет бесконечно много значений, то в правой части формулы стоит ряд, который должен абсолютно схо-

34

диться. Если он не сходится, то у такой ДСВ нет математического ожидания.

Определение 11. Математическим ожиданием НСВ

(или ее средним значением) называется число

M( ) = M = x f x dx .

Если для НСВ интеграл в правой части формулы абсолютно не сходится, то у такой НСВ нет математического ожидания.

Физический смысл математического ожидания1.

Рис. 2.5

Пусть имеется невесомый стержень, в каждой точке xi стержня подвешен грузик массой pi (рис. 2.5). Если считать, что на всем стержне распределена единичная масса, M будет координатой центра тяжести прямой. Если M существует, то стержень с грузиками, подвешенный в этой точке, будет находиться в состоянии равновесия.

Свойства математического ожидания:

1 M(C) = C · 1 = C (математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной);

1 Более подробно можно прочесть в монографии: Благовещенский Ю.Н. Тайны корреляционных связей в статистике. М.: Научная книга, 2009. 158 с. («Библиотека Солев»).

35

2 M( + ) = M + M при условии существования каждого слагаемого. Данное свойство верно для любого конечного числа слагаемых;

3 M( · ) = M · M при условии, что случайные величины и – независимы1. Данное свойство верно для любого конечного числа слагаемых;

4 Если a < < b, то a < M < b.

Следствие: M(C · ) = C · M( ), т.е. константу можно выносить за знак математического ожидания.

Свойства 2 –3 примем без доказательства2; свойство 4 очевидно из соображений физического смысла, что центр тяжести стержня не может находиться вне отрезка, если вся масса сосредоточена на этом отрезке.

Определение 12. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D( ) = D = M( – M )2.

Для вычисления дисперсии иногда удобно пользоваться формулой

D = M( – M )2 = M( 2) – 2M · M + M( )2 = M( 2) – M( )2.

Получаем

D = M( 2) – M( )2.

Свойства дисперсии (основные):

1 D(C) = 0 (дисперсия постоянной величины равна нулю); 2 D( ± ) = D + D при условии, что случайные величины и – независимы (данное свойство верно для любого

конечного числа слагаемых);

3 D(C · ) = C2 · D( ) , где C – константа; 4 D(C + ) = D( ), где C – константа.

1 Обратное утверждение неверно: из равенства M( · )= M · M не следует независимость и .

2Доказательство каждого свойства возможно после изучения темы

вприложении 2, где с некоторыми из них можно ознакомиться.

36

Замечание. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины1. Это лишает наглядности дисперсию как числовую характеристику, поэтому для наглядности разброса значений случайной величины используется среднеквадратическое отклонение2 (СКО), которое равно квадратному корню из дисперсии

= Dо .

Тогда D = 2. СКО имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

Свойства 1 –2 примем без доказательства. Докажем свойство 3 .

D(C · ) def M(C · – M(C · ))2 = M(C · – C · M )2 =

= M(C2 · ( – M ))2 = C2 · M( – M )2 = C2 · D( ).

Определение 13. Квантилью уровня p называется число xp: F(xp) = p.

Определение 14. Медианой (Me) называется квантиль уровня p = 0,5.

Определение 15. Модой (Mo) случайной величины называется точка максимума на графике плотности / многоугольника распределения.

Вообще говоря, распределение может иметь и 3, и 4, и более мод.

1 Обоснование, почему выбрана для дисперсии размерность «квадрат», можно встретить в статье Efron B., Tibshirani R. Statistical Data Analysis in the Computer Age // Science, New Series. Jul. 26, 1991. Vol. 253. No. 5018. P. 390–395.

2 Вместо названия среднеквадратическое отклонение (СКО) в литературе встречается название стандартное отклонение (СО).

37

Рис. 2.6. Функция плотности (а), функция распределения некоторой НСВ (б)

Замечание. Квантили заданного уровня и медиану удобно изображать на графиках функции распределения, тогда как остальные числовые характеристики случайных величин – на графике плотности / многоугольнике распределения (рис. 2.6).

Контрольные вопросы

1.Дайте определение случайной величины. Для чего нужны случайные величины?

2.Сколько значений может принимать дискретная случайная величина, непрерывная?

3.Есть ли общий способ задания ДСВ и НСВ?

4.Что показывает плотность распределения и для какой случайной величины?

5.Чему равен интеграл от плотности распределения по всей прямой?

6.Принимает ли плотность распределения отрицательные значения, значение 1; 2?

7.Какой вид имеет функция распределения ДСВ? Чему равны величины ее скачков?

8.Как по графику функции распределения ДСВ восстановить закон распределения?

38

9.Может ли функция распределения НСВ иметь разрывы?

10.Чему равна P( = x) для НСВ?

11.Как по функции распределения найти плотность распределения?

12.Дайте определение математического ожидания для ДСВ, для НСВ.

13.Математическое ожидание случайной величины – число или функция?

14.Может ли математическое ожидание случайной величины быть меньше 0, равно 2?

15.Какой физический смысл имеет математическое ожи-

дание?

16.У любой ли случайной величины существует математическое ожидание?

17.Могут ли разные случайные величины иметь равные математические ожидания?

18.Что показывает дисперсия? Какую размерность она

имеет?

19.Можно ли привести пример случайной величины

сдисперсией, равной 0; –1?

20.Как меняются математическое ожидание и дисперсия случайной величины, если случайную величину увеличить втрое?

21.Всегда ли математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий? Всегда ли дисперсия суммы равна сумме дисперсий?

22.Какими будут математическое ожидание и дисперсия для = 5 + 7, если для случайной величины известно: M = m, D = 2?

39

РАЗДЕЛ 3 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Детский рисунок – домик с трубой и дымом, круглое солнце с лучами, … – модель окружающего мира, где ухвачены главные черты восприятия ребенка.

Я.И. Хургин. Да, нет или может быть…

1.Знание закона распределения случайной величины дает исчерпывающую информацию о ее вероятностном поведении.

2.Некоторые случайные величины, характеризующие разные процессы, задаются одинаковыми законами. Некоторые из таких законов тщательно изучены в общем виде и применяются на практике.

3.Среди известных законов ДСВ выделим закон Бернулли, биномиальный, закон Пуассона, геометрический, гипергеометрический. Среди известных законов НСВ выделим равномерный, экспоненциальный, нормальный. Для работы

стакими законами достаточно знать параметры, которыми они задаются.

4.Отдельное место среди перечисленных занимает нормальный закон распределения, работа с которым ведется по специальной таблице (Лапласа) ввиду неинтегрируемости в элементарных функциях плотности распределения.

3.1. Законы распределения ДСВ

Рассмотрим несколько важных для приложений законов распределения.

1. Закон распределения Бернулли1, ~ B(p). Случайная величина может принимать значение 1 с вероятностью p и 0 – с вероятностью q = 1 – p.

1 Фамилия Бернулли является уникальной в области как математики, так и физики, так как целых девять представителей этого известного рода достигли необычайных высот в этих областях. Якоб Бернулли (1655–

40