Математическая статистика и анализ данных. Учебное пособие

Очевидно, что данное распределение имеет только один параметр p, и случайная величина с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха p: либо успеха нет, либо один успех. Таким образом, эта случайная величина служит «счетчиком» числа произошедших успехов в одном испытании.

Числовые характеристики: M = p, D = pq.

Найдем математическое ожидание и дисперсию этой ДСВ по определению (определения 10, 12 раздела 2):

M = xk pk = 1 · p + 0 · q = p;

k

D = M( 2) – M( )2 = 1· p + 0 · q – p2 = p(1 – p) = pq.

2. Биномиальный закон распределения, ~ Bi(n, p). Случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, …, n. Каждому значению случайной величины = k соответствует вероятность P( = k) = Cnk pk qn k , где p + q = 1.

Параметрами этого закона служат числа n и p, которые однозначно определяют возможные значения случайной величины и их вероятности. Случайную величину, подчиненную этому закону, можно назвать числом появлений события в n независимых испытаниях, если p – вероятность появления события в одном опыте (схема Бернулли, см. приложение 1).

Числовые характеристики: M = np, D = npq.

1705 гг.), швейцарский математик, имя которого носит закон, ввел значительную часть современных понятий теории вероятностей и сформулировал первый вариант закона больших чисел (см. раздел 4).

41

Указание: заметить, что такая случайная величина есть сумма n случайных величин-«счетчиков», распределенных по закону Бернулли, воспользоваться свойствами математического ожидания и дисперсии.

(*1) Эксперимент: наблюдение за числом дней на предприятии из 5 рабочих на неделе, в которые расход воды превышает заданную норму. Известно, что на предприятиях такого типа вероятность превысить за день норму составляет p = 0,6 (т.е. в среднем в 60 % случаев). Случайная величина = {число дней с превышением нормы} распределена по биномиальному закону с параметрами n = 5, p = 0,6, т.е.~ Bi(n = 5, p = 0,6).

На рис. 3.1 представлен многоугольник распределения, из которого видно, что наиболее вероятное число дней с превышением нормы расхода воды равно k = 3.

3. Закон Пуассона1, ~ П( ). Случайная величина принимает значения 0, 1, 2, …, k, … . Каждому значению случайной величины = k соответствует вероятность

P( = k) = k e , k!

где – параметр, равный среднему значению этой случайной величины (см. далее доказательство).

На практике пуассоновский закон имеет число событий, происходящих на заданном отрезке времени, если на этот

1 Симеон Пуассон (1781–1840 гг.) – французский математик (изначально обучался медицине, но после первого неудачного опыта, когда молодой Пуассон вскрывал нарыв на руке больного ребенка, Пуассон отчаялся и наотрез отказался продолжать учение). Пуассон явно ввел понятие о случайной величине, но назвал ее «вещь А».

42

Числовые характеристики: M = D = .

Найдем математическое ожидание этой ДСВ (определение 10 раздела 2):

k 1

e e e .

k 1 k 1 !

Мы показали, что параметр, определяющий закон распределения пуассоновской случайной величины, равен среднему значению этой величины.

Найдем дисперсию (определение 12 раздела 2, обозначим M = m):

43

e e e 2 1 2 .

(*2) Эксперимент: независимо друг от друга поступают звонки в службу такси. В среднем за каждые 20 мин поступает 14 звонков. Известно, что число звонков описывается законом Пуассона. Найти наиболее вероятное число звонков за 10 мин и вероятность того, что поступит хотя бы два звонка.

Рис. 3.2

44

Рассмотрим = {число звонков в службу такси за 10 мин},~ П( = 7).

Построенный многоугольник распределения имеет колоколообразный вид (рис. 3.2). Наиболее вероятное число звонков k = 6; 7 за 10 мин.

Найдем вероятность, пользуясь противоположным событием для простоты расчетов:

P( < 2) = 1– P( = 0) – P( = 1) = 1 70 e 7 71 e 7 0,993. 0! 1!

Замечание. Распределение Пуассона является предельным распределением биномиального закона, когда число испытаний n увеличивается, а соответственно вероятность

успеха p ~ уменьшается. Поэтому распределение Пуассона n

называют иногда распределением числа редких событий.

Теорема Пуассона1. Пусть имеется n независимых испытаний схемы Бернулли, причем n и p 0 так, что np> 0. Тогда для биномиально распределенной случайной величины получаем

Геометрический закон распределения, ~ G(p). Если производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна p, а вероятность его непоявления равна q = 1– p, то случайная величина , равная числу опытов до первого появления события А, имеет геометрическое распределение:

1 Рекомендовано пользоваться теоремой Пуассона как предельной для биномиального закона при условии, что p < 0,1 и n 30 так, что np 10–12.

45

q Числовые характеристики (без вывода): M = 1/p, D = p2 .

Рис. 3.3

Гипергеометрическое распределение. Пусть случайная величина равна числу белых шаров среди n шаров, выбранных наудачу и без возвращения из урны с K белыми и (N – K) черными шарами. Заметим, что требование выбора k белых шаров среди K имеющихся предполагает, что из (N – K) черных шаров должно быть выбрано (n – k), так как общее число изъятых шаров равно n (рис. 3.3). Распределение такой случайной величины называется гипергеометрическим распределением.

Случайная величина принимает целые значения k = 0, 1, …, n с вероятностями

46

Числовые характеристики (без вывода):

3.2.Законы распределения НСВ

1.Равномерный закон распределения, ~ R[a, b]. Функция плотности и функции распределения для равномерного зако-

на имеют вид

Рис. 3.4. Функция плотности (а), функция распределения (б) для R[a, b]

Плотность на отрезке постоянна, поэтому это можно трактовать как равновозможность всех значений случайной величины из этого отрезка (рис. 3.4, а).

(*3) Равномерный закон, например, имеют ошибки округления при вычислениях. Если при вычислении результат, допустим, округляется до второго знака после запятой, то

47

ошибка округления равномерно распределена в [–0,005;

2. Показательный закон распределения (экспоненциальный), ~ Exp( ). Функция плотности и функция распределения имеют вид

Рис. 3.5. Функция плотности (а), функция распределения (б) для ~ Exp( )

Параметром показательного закона служит , который однозначно определяет этот закон, поэтому для него часто используют обозначение ~ Exp( ).

Числовые характеристики: M = 1/ , D = 12 .

x e x |0 e xdx

0

1 e x |0 1 .

48

Ɍɨɱɤɚ ɩɟɪɟɝɢɛɚ /2

Рис. 3.6. Функция плотности (а), функция распределения (б) для N(m, 2)

График плотности (гауссиана) имеет максимум в точке x = m, а точки перегиба отстоят от точки m на расстояние . При x ± функция плотности асимптотически приближается к нулю (см. рис. 3.5, а). Расположение графика функции плотности в системе координат зависит от значений параметров m и (параметр m определяет положение точки максимума, а – положение абсцисс точек перегиба m ± ). Статистическая суть его состоит в том, что заметные отклонения встречаются значительно реже, чем средние величины1.

Числовые характеристики: M = m, D = 2.

1 Моделирование нормального закона распределения наглядно демонстрирует доска Гальтона, изготовленная им впервые в 1873 г. Подробно о моделировании нормального закона можно прочесть на сайте, посвященном Френсису Гальтону: https://galton.org/.

Через воронку кидаются шарики. Сталкиваясь со штырьком, шарик каждый раз с одинаковой вероятностью может повернуть либо направо, либо налево, попадая затем между перегородками. Образуют столбики, которые тем выше, чем ближе к середине доски (при достаточно большом числе шариков внешний вид столбиков приближается к кривой нормального

распределения). Рисунок заимствован из книги Китайгородский А.И. Невероятно – не факт. М.: Молодая гвардия, 1972. 255 с.

50